基于發展高中生直觀想象素養下的教學設計與反思

卓俊宜

【摘要】本文以“雙曲線及其標準方程”教學內容為例，進行直觀想象教學案例設計，提出在高中數學課堂中發展學生直觀想象素養的教學策略。1.實物直觀的感知，激發學生直觀想象的愿望;2.教學方式的變革，提供學生直觀想象的機會;3.滲透類比推理思想，引導學生掌握直觀想象方法;4.巧用數形結合，幫助學生提升直觀想象的能力。

【關鍵詞】直觀想象;雙曲線;高中生;教學設計

為落實立德樹人的根本任務，新課程改革制定的《普通高中數學課程標準》中提出了六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象、數據分析。其中，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是高中生非常重要的數學素養，它的運用是“幾何直觀”和“空間想象”的完美結合。課堂教學是培養學生數學核心素養的主要途徑，下面以人教版選修2-2第二章中“雙曲線及其標準方程”的教學為例，談談在課堂教學中如何培養落實學生的直觀想象素養。

一、教學片段

環節一：從直觀感受到理性思考，學生實驗操作，認識雙曲線

教師通過PPT課件演示生活中的雙曲線。從學生熟悉的物體如“廣州塔”“冷卻塔”“對頂圓錐組合體”引出雙曲線，幫助學生從感官上認識雙曲線。

實驗探究。數學家歐拉曾說過：“數學這門科學需要觀察，也需要實驗。”因此，本節課做好課前實驗準備，以4人為小組實驗合作探究，其中三個人合作畫圖，一個人填寫實驗報告。

實驗用品：圖釘2個，一條拉鏈，筆，剪刀，白色A4紙

實驗步驟：

①為了實現“距離差為定值”，將準備好的拉鏈拉開一部分，并且把其中一邊剪斷;

②用圖釘將拉鏈兩端固定在A4紙上;

③將筆尖套進拉鏈拉環內，帶動拉環拉開拉鏈，在紙上記錄筆尖走過的軌跡。

實驗一：觀察曲線的形狀并思考。筆尖在紙上移動的過程中，什么量變化什么量不變？從筆尖到兩定點的距離大小有怎樣的關系？

實驗二：將兩個長短拉鏈的固定位置互換，再重復實驗一的步驟，觀察形成的圖形并思考發現了什么？

學生思考并由小組代表展示交流成果。利用外部刺激激發學生自我探索的欲望，利用開放式的教學方式，讓學生自己動手畫圖，觀察總結，利用圖形直觀小組討論思考，教師作為協助者通過不同的設問幫助學生透過圖形本身深入的思考問題并且準確的表達出來，將實驗融入課堂教學中，既可以鍛煉學生的合作探究的能力，也可以發展學生直觀想象的素養。

環節二：幾何畫板演示，探究雙曲線定義

教師借助幾何畫板演示雙曲線軌跡形成的過程，學生可以直觀看到平面內任意一點P到兩定點F1，F2的距離|PF1|和|PF2|長度數值不斷變化過程中，他們的距離之差一直保持定值，形成的點P的軌跡。結合環節一體驗的實驗操作可以幫助學生得到：

當|PF1|>|PF2|，得到雙曲線的右支;

當|PF1|<|PF2|，得到雙曲線的左支。

緊接著，引導學生得到左支和右支合起來叫做雙曲線。

抽象出雙曲線的符號||PF1|-|PF2||=2a（0<2a<2c），定點F1，F2，焦距|F1F2|=2c

環節三：類比聯想，探究雙曲線標準方程，提升直觀想象素養

雙曲線的標準方程是學生在學習了橢圓的定義以及標準方程的基礎上來學習的，有一定的研究基礎。因此類比橢圓的定義，教師提出以下幾個問題：

（1）類比定義

問題1：類比橢圓的定義，你能給出雙曲線的定義嗎？

學生：我們把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。

問題2：同學們是否還記得橢圓標準方程的建立步驟？

學生：建系→設點→列式→代入→化簡

問題3：那么類比橢圓標準方程的建立過程，同學們分組來建立雙曲線的標準方程。

學生通過分組討論以及自主探究，完成學案中的思維導圖。

（2）類比方程

類比橢圓的標準方程的推導過程，展示學生對問題3的解題思路。

（3）類比結構

老師：類比橢圓的標準方程和雙曲線方程的結構，你是否能得到焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么？又是如何通過雙曲線方程判斷焦點的位置？

學生：方程中將x，y交換位置.焦點在y軸得雙曲線的標準方程為：

-? ? =1（a>0，b>0）

二、教學反思

1.關于課堂的三個環節

（1）環節一

這個環節重點是實驗操作。學生通過拉鏈畫雙曲線，認識雙曲線，讓學生感受數學實驗活動的樂趣。“放手”讓學生自己動手觀察，自己總結，以運動的觀點看待平面圖形形成的軌跡，以幾何直觀感知圖形的形態與變化，理清知識之間的邏輯關系。

（2）環節二

這個環節重點是利用幾何畫板演示平面內到兩定點的距離在不斷變化過程中，距離差一直保持定值，可以直觀看到動點形成的軌跡，這里需注意“距離差的絕對值”也可以通過數值的變化直觀的看到，得到雙曲線的定義就顯得水到渠成了。突破了教學重難點，優化了教學方式。

（3）環節三

這個環節重點是通過類比橢圓的定義和橢圓標準方程概括得到雙曲線的定義以及雙曲線標準方程。在推導雙曲線標準方程的過程中，將雙曲線的定義概括出代數式，再運用數形結合的思想方法，以數解形，抽象思維與形象思維完美結合，從而推導得到標準方程，為追求數學的簡潔、對稱美，最后簡化雙曲線的標準方程。與橢圓方程相得益彰。將橢圓的定義和方程與雙曲線的定義和方程作類比，滲透類比推理，聯系新舊知識，培養學生邏輯推理能力，提升創新遷移思維。

2.課堂教學中直觀想象素養發展的教學策略

（1）實物直觀的感知，激發學生直觀想象的愿望

實物直觀是通過直接感知要學習的實際事物而進行的一種直觀方式。很多學生對于直觀想象的認知還是比較抽象，基于學生的“最近發展區”創設情境，實驗操作，問題驅動，鋪設平臺，讓學生通過直觀感知從而在短時間內從形象的圖形中抽象出數學模型，促進學生數學直覺的敏感，提升直觀想象的思維。實物直觀可以給予學生真實感，親切感，激發學生直觀想象的愿望。

（2）教學方式的變革，提供學生直觀想象的平臺

現代信息技術的發達有力的推動了數學教學的發展，“以動襯靜”“動靜結合”結合現代信息技術發展的教學方式，能夠將復雜問題簡單化，不再拘泥于教師主講，學生只是模仿的傳統課堂模式。正所謂“授之以魚，不如授之以漁”。教師結合現代信息技術軟件創設思考實驗操作的平臺讓學生自主實驗，自主認識，自主探索。這樣就要求教師首先要熟練掌握相關軟件的操作方法如PPT制作、幾何畫板、幾何圖霸的應用，運用技術軟件直觀的展示動點的軌跡、圖形的變換、數量變化關系。比如在正余弦函數探究周期性，奇偶性以及單調性等性質時，運動幾何畫板表現函數圖像圖形變化，可以直觀的獲得性質，學生的思維方式也從感性認識上升理性認識。

（3）滲透類比推理思想，引導學生掌握直觀想象方法

數學教學中，當遇到新知識的盲區時，運用類比推理方法，將兩個不同的對象挖掘出他們具有的某些相同或相似的性質。比如學習立體幾何中三棱錐的外接球和內切球V內切球=? ? （S1+S2+S3+S4）R，可類比三角形的外接圓和內切圓，S內球圓=? ? （a+b+c）r三棱錐的內切球是通過類比三角形分割成三個小三角形的面積和，將三棱錐分割成四個小三棱錐的體積和，從而得到相似的結論，再比如等差數列類比等比數列。

（4）巧用數形結合，幫助學生提升直觀想象的能力

華羅庚先生曾說：“數缺形難直觀，形缺數時難入微。”數形結合通過“以形助數”“以數解形”“數形結合”，將抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形聯系起來。站在上帝的視角，把抽象的問題具象化，化繁為簡。數形結合的方法恰恰彌補了抽象思維脫離具體可感的背景材料而陷入思維困境的不足。

總之，學生借助觀察、經驗、實驗、類比推理對事物進行直觀感知認識，可以將枯燥的邏輯推理化繁為簡，易于記憶，理解知識。簡潔直觀的圖形易于描述和表達抽象的數學問題，開拓學生解題思路。直觀想象素養的培養有助于開拓學生解題思路，提高數學直覺能力，空間想象的能力，樹立空間概念。因此教師在教學設計和教學課堂中，作為開拓學生直觀想象能力道路的引路人，應有意識融入直觀想象素養的培養目標，并落實教學實踐中，從而培養學生優秀的數學思維品質。

【參考文獻】

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