探究數學建模教學，培養中學生核心素養

鄧云麗

摘 要：本文以“停車距離問題”教學為例，采用問題驅動的教學方式與小組合作的學習方式開展數學建模活動，發展核心素養，培養具有綜合實踐能力的人才.

關鍵詞：數學建模;核心素養;停車距離;小組合作

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題.數學建模過程包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.由于數學建模活動的主體是學生，所以教師不能干預太多，否則會剝奪學生在建模活動中的體驗感，教師又不能完全交權給學生，否則就會出現“低效”的數學建模活動，因此目前的數學建模課面臨兩難的抉擇，如何上好一節數學建模課是一個亟需解決的問題.基于育人方式改革的指導意見，以《數學課程標準（2017年版）》第116頁的“停車距離問題”為例，探究數學建模教學的實施策略.

一、問題的提出

“五一當天省內高速路單日流量是平日的2.4倍，節日期間全省高速公路網共發生突發事件138起，造成道路擁堵31次，平均單次擁堵時間2.56小時，突發事件中交通事故101起，交通事故中追尾事故77起，單方事故18起，占到事故總數的94%.”（源自2019年5月5日“西部網”《超速和駕駛不規范惹的禍！五一小長假陜西高速路發生事故101起》）

問題1：結合這段新聞，你能提出哪些問題？

生：如何控制車流量、如何解決道路擁堵、怎樣預防追尾事故等.

問題2：有哪些因素導致車輛追尾？

小組討論后回答：車速、與前車的距離、車的重量、車型、輪胎與地面的摩擦力、剎車性能、人的反應速度、天氣情況等.

問題3：怎樣才能避免車輛追尾？

生：與同車道的前車保持安全距離.

設計意圖：由生活情境導入，學生通過小組合作交流引出研究主題，盡管用時較多，但學生充分感受了提出問題的環節，這是數學建模的第一環節.

二、模型建立

問題4：安全距離的最小值就是停車距離，有哪些因素影響停車距離？哪些是主要因素？

生：車速、車的重量、車型、輪胎與地面的摩擦力、剎車性能、人的反應速度、天氣情況等，其中車速和人的反應速度是主要因素.

問題5：如何用數學語言表述停車距離d？

學生小組討論后回答：由發現障礙物到剎車的過程中，車輛行駛了一段路程記為d1，由剎車到停下來，車輛又行駛了一段路程記為d2，則停車距離d等于d1與d2之和.

問題6：我們稱d1為反應距離，d2為制動距離，那么d1、d2與車速v之間有什么關系？

學生小組討論后回答：根據物理知識知，在反應距離過程中，汽車以之前的速度做勻速運動，則d1=vt.在制動距離過程中，汽車受制動力F作用做減速運動，根據能量守恒定律知，又根據牛頓第二定理知F=ma，由二式解得.

師：由d1=vt與可知，反應距離d1與車速v成正比，制動距離d2與車速v2成正比，故作以下假設：d1=αv，d2=βv2，其中α、β為待定參數，即停車距離d=αv+βv2.

設計意圖：教師借助“問題鏈”的教學方式啟發誘導學生，學生在小組合作交流的學習方式中提出觀點，增強了學生對數學建模活動的參與感和投入感.在數學建模過程中，學生體會到了數學與其他學科知識的相互交融.

三、模型求解

問題7：課前各小組已經通過網絡收集了大量的數據，如何從這些數據中確定參數的值？接下來由各組組長確定中心發言人、數據整理員、計算員、驗證員分工后合作交流，求解參數的值.

學生小組討論后回答：可以利用散點圖來確定參數值，具體操作如下：

首先根據美國公路局公布的實驗數據（表1、表2），利用Excel軟件繪制出d1與v、d2與v2的散點圖（圖1、圖2），再借助Excel軟件進行線性擬合，得到d1=0.74v，d2=0.08v2，并且計算得到擬合R2=0.9，說明擬合效果較好.最后停車距離d=0.74v+0.08v2.

設計意圖：數學建模活動不是靠學生的“孤軍奮戰”，而是需要團隊合作才能完成，小組內部合理的分工不僅可以發揮個人價值，而且提高建模速度，所以在數學建模課上采用小組合作學習的方式可以取得事半功倍的效果.

四、模型評價

為了避免車輛追尾，本文基于線性回歸知識對停車距離進行預測研究，學生在建模前收集相關數據，小組合作交流建立回歸直線模型，通過利用Excel軟件畫出散點圖，進而擬合出函數模型.科學家利用該模型設計出一款智能汽車，當它發現前方有障礙物時，汽車會自動減速避免追尾事故發生.

小結：

數學建模課靠學生的“孤軍作戰”無法完成，然而教師又不能干預過多，所以建議采用問題驅動的教學方式與小組合作的學習方式開展數學建模活動，教師需要注意的是各小組成員的數量相當，彼此互補，分工合理，這樣才能讓學生在建模活動中凸顯個人價值，發展核心素養，培養具有綜合實踐能力的人才.

參考文獻：

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