如何培養學生的創新思維

鄧流北

摘 要：一個國家，民族的進步與知識的創新性息息相關。創新思維是指以新穎獨到的方法解決問題的思維過程，它的特征具有新穎性，多元性。創新思維可以增加人類知識的總量，推進人類社會不斷進步。隨著新高考改革的不斷推進，教師在教學過程中，應注意培養學生的創新意識，提高學生的創新思維能力，激發學生創造力。本文以一道八省聯考的數列題為例，通過一題多解的形式，說一說在新的高考背景、新的評價體系下如何培養學生的創新思維。數列問題不僅是高中數學教學的重要內容，也是每年高考必考的知識點，學生不僅要學會解決求數列通項的一般方法，更要在方法上總結創新，提高解決問題的思維能力。

關鍵詞：創新思維;創造力;新高考改革;數列

“創新是民族的靈魂，是國家興旺發達的不渴動力”，隨著新課標的改革和素養教育的加強，創新思維和創新能力成為了各個學科的共同要求。什么是數學創新思想？如何培養學生的創新思維？是值得我們研究的課題。創新思維指的是人們在探索未知領域的活動過程中，用新穎獨特的思維方法，創造出有社會價值的新觀點、新理論、新知識。培養學生的創新思維，就是培養學生的創新意識和創造能力，最終目的是培養創造性人才。2021年，我國的廣東、河北、遼寧、江蘇、福建、湖南、湖北、重慶八個省啟動高考綜合改革，而2021年八省聯考的數學試題大興機場求多面體曲率問題也一度上了新聞熱搜，題目非常新穎，考查到了學生的創新性思維能力。同時社會民眾非常關注數學新高考改革新動向和數學學科教育改革問題，新高考數學考什么怎么考將會成為人們一直關注的焦點。本文以一道八省聯考的數列題為例，通過一題多解的方法，說一說數列題考查的知識點發生了哪些變化，以及如何利用創新思維求解數列的通項公式。

一、創新是對原有知識認識的升華

在高考考查數列的通項公式知識解答題中，所給的數列一般都不會是簡單的等差或等比數列，往往給出的是遞推關系的數列。為了解決這樣的數列通項公式問題，直接利用通項公式求解是不可能的，這時就要用創新思維，把一般的數列通過變形、構造，整體替換思想，或利用相消法把一般數列化成我們能認識的、新的等差或等比數列，再利用我們熟悉的等差或等比通項公式或求和公式，就可以解決高考中求一般數列的通項公式問題。

以下求解數列通項公式的一般流程圖：

為了求解一般數列的通項公式，我們要具備以下知識。

1、公式法

公式法是用于題目給出已知該數列為等差或等比數列，又給出了首項和公差或公比情況下，可以利用公式法來求解，或者給出了前n項和和通項公式的關系，也可用公式法求解。

設是等差數列，首項為，公差為d， 則其通項公式為。

設是等比數列，首項為，公比為q，則其通項公式為。

已知數列的前n項和為，則，求解時要注意對n進行分類討論，通項能合并時一定要合并。

2、構造法

構造法，指通過對一般數列進行變形，構造，整體代換，利用函數思想，構造出兩個結構一樣的式子。例如：，從數列的結構看，它既不是等差數列，也不等比數列。通過構造法的思想，設未知數x，構造出，化簡，對照原式，容易得到，即，這樣我們就構造出一個新數列，且新數列符合等比數列的特征，后一項與前一項的比為2，此時的新數列就可以通過等比數列辦法來求解了。

有些數列題求通項之所以讓學生感覺求解困難，很大一部分原因是解題思路方向搞錯了，在高考的數列題中，給出的數列往往不會直接是等差、等比數列，而是一些遞推關系的數列，形式結構上會有些復雜。但不管怎樣復雜結構的數列，我們的目標就是通過對該數列變形，構造，整體代換，轉化成等差、等比形式。例如：2015年新課標2，理科16題，設是數列的前n項和，且______

通過觀察結構發現，若等式兩邊同除以，就可以構造出一個等差數列的形式，，則是一個首項為，公差為-1的等差數列，則于是。這種方法稱為倒數成等差法。

我們再看一道形式上更復雜的2011廣東理科高考題，設，數列滿足，求數列的通項公式。觀察的結構發現，要想構造出一個新數列，使它的結構向等差方向轉化，取倒數得，這樣就得到兩個結構一致的式子，換元設，則，然后分兩種情況討論，當，為等差數列，求出，當，此時還不是等差或等比數列，利用上面提到的方法再構造一次成等比數列，就可以求出，從而得到的通項。

3、相消法

相消法，這個名字主要來源于“裂項相消法”。作者發現，對于高考中考查累加法，累乘法，裂項相消法，我們一般都是可以通過數列自身變形以及對數列進行加減乘除運算后，抵消大部分的項，從而達到化簡的目的，求出通項公式。因此我把這種能自我抵消的方法叫做相消法。

例如：

累加法，

題目求解如下：

，

把這n-1條式子累加起來，便得到：

，

又，故，且

故

以上三種方法是解決一般數列求通項的方法，特別是后兩種方法，它是高考考查的熱點也是難點。它是在考查學生對等差、等比數列有了一定認識之后，是否能通過對已知給出的數列變形、構造，整體替換基礎上，利用創造性思維，構造出一個新的數列。構造變形后，對于解決這樣一個新數列問題，它的難度就比解決原來的數列的難度簡單許多，這個思路是解決求數列通項問題的一般方法。

二、創新要有一題多解、發散思維的能力

“一題多解”是高中數學教學中提高學生解題能力的常用手法。實踐證明，

解法越多的學生思維越活躍，視野越開闊，創新意識越強。近幾年來，高考中的

解答題，考生的解法多樣性，層出不窮，因此，教師在課堂上要注重“一題多解”

思想的滲透。現以一道2021年八省聯考數學題數列為例，用一題多解的五種解法說明如何用構造法和相消法求數列的通項。

1、用構造法的三種解法解題

以2021年八省聯考數學題為例：已知各項都為正數的數列滿足

證明：數列為等比數列;

若求的通項公式。

第一問分析：要證明一個數列為等比數列，其實也是考查數列的構造法思想，構造出，不難得到.

證明：

（1）

因為該數列各項為正數，故

首項，公比為3，故

解法一：（2）分析：這是一個遞推形式的數列，為了形式好看，我把數列寫成，從結構來看，此數列類似等比數列結構，但后面還多了一項。為了構造出等比數列的形式，可以把拆成兩部分，一部分放在等式左邊，一部分放在等式右邊，構造出這樣一個式子：，此時等式左邊結構和右邊的結構是完全一致的，就可以把看成一個新的等比數列求解，再通過待定系數法，求出x，最后利用等比數列的通項公式就可以求出。

解：，設未知數x，構造一個新數列為

對照原式，容易求得

故

所以的常數列。

，

故

解法二：分析：觀察結構發現，可以通過兩邊同除以，得，化簡得

再通過換元，令，得，利用構造法思想求出，從而求出通項。

解：

解法三：分析：觀察結構發現，這個式子給出是遞推關系有三項，通過第一問給我們的提示，這三項相鄰兩項組合可以構成新的等比關系，如，還有其它形式使它構成等比關系的組合嗎，我發現有，如，于是便有了解法三。

解：

則是首項為的一個常數列，故

則是一個首項為，公比為3的等比數列，

總結，上面三種方法都是用到了構造法，一種創造型方法，解決了原數列既不是等差數列，也不是等比數列通項問題。構造法，可以把形如以下的數列，，或（其中為一次型），通過兩邊同添上一個數或一個式子來構成新數列。如果是指數型，還可以同除以，使之構成類等比關系的數列;如果給出的式子是三項的遞推關系，可以通過相鄰兩項的運算組合，使這個組合整體成一個新的等比數列。這種方法最終目的利用創造性思維構造出新的等差或等比數列，再利用公式求解。

2、用相消法的兩種解法解題

繼續以八省聯考這道數列題為例，看能否用相消法解答。從從結構來看，想用到累加法，必須要有兩項相減才行，因此想到再列一條式子，再把這兩式一減，得到：，這就是一個隔項相減問題，這時可以用累加法求解。

解法四： ①

②

②-①得

當n是奇數時，

把這些式子累加起來，得到

，

（n為奇數）

當n是偶數時，由得

，（因n為偶數，則n+1 為奇數，則）

綜上所述，

解法五：分析：要想通過累加法相消，必然想到構造兩式相減，，但這兩項是相加的，為了變成兩項相減，我們再次利用構造法思想，兩邊同時乘以得，化簡得，此時和結構一致，可以通過換元得到，剩下的就可以用累加法解決了。

解：

化簡：

令，得，

當，我們可以列出

……

將n-1條式子累加得：

，

，兩邊約掉，

所以，

且當n=1，也成立。

結束語：

培養學生創新思維是時代的要求，也是學生自身素養能力達成的要求。高中數學教學中培養學生的創新思維是多方面的，如何培養學生的創新能力一直是教師教學的重點關注的環節。本文總結了求數列的三種常見的辦法，公式法，構造法，相消法。同時通過對2021年八省聯考的一道數列解答題的研究分析，通過一題多解的五種解法，讓我們看到了求解一般數列的通項公式通法，思路是把非等差、非等比數列向等差、等比數列方向轉換。

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