利用試探波函數估計簡諧振子基態能級*

伊 雯，邱環環，汪劍津

(江西科技師范大學物理系，江西 南昌 330013)

1 引言

量子力學作為物理系本科生的一門必修課程，由于涉及很多的數學以及與經典物理觀念產生強烈的沖突常常被學生冠以難懂難學的名號。針對這種情況，學生唯有多做習題、勤加練習才能攻堅克難學好量子力學。正如櫻井在他經典的《現代量子力學》序言中所說的那樣：如果一個人學完全書但不會做練習那么他什么也沒學到[1]。由此可見，習題的訓練對學習量子力學的重要性。而實際上不僅僅對于量子力學，對于其他任何一門理工科課程都是如此。

通常來講，量子力學主流的表述方法有三種，即波動力學，矩陣力學以及路徑積分，它們的代表人物分別是薛定諤，海森堡，費曼。波動力學的核心是薛定諤方程，它的地位猶如經典力學中的拉格朗日方程或者哈密頓正則方程，規定了微觀粒子如何運動。矩陣力學的核心是希爾伯特空間，希爾伯特空間即由系統正交歸一化的能量本征態所支起來的空間，波函數可以理解為希爾伯特空間的一個向量。路徑積分的核心是由作用量所定義的傳播子和費曼圖，路徑積分在高能物理和量子場論中具有極其深遠的影響。由于路徑積分所要求的基礎理論物理知識和數學知識要高于波動力學和矩陣力學，所以通常的本科學習階段接觸的主要是波動力學和矩陣力學。

如果說波動力學的核心是薛定諤方程，那如何求解形如下式的定態薛定諤方程是波動力學的核心任務：