小學生數感的培養

杜萌田

摘要：數感是人對數與運算的一般性理解，這種理解可以幫助學生用靈活的方法做出數學判斷和為解決復雜的問題選擇有用的策略。數感也可以提升學生對于數字（數量）的敏感及鑒別能力。這對學生以后的學習很有幫助。

關鍵詞：數感;“數學化”思考;數學素養

數感是我們既熟悉又陌生的一個概念，目前人們對這一概念的認識是多元的。教育部《義務教育數學課程標準（2011版）》中關于數感的表述是：“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。”

一、小學生數感能力培養的意義

（一）有助于學生“數學化”思考

數感是一種主動地、自覺地或自動化地理解和運用數與數量關系的態度和意識，是作為主體的人對數及數量關系的感覺、知覺，也包括人對感覺、知覺到的信息的加工和處理，既有“感”也有“悟”。建立數感可以理解為會“數學化”思考，有助于學生理解現實生活中“數”的意義，有效地進行計算等數學活動，理解并會表達具體情境中的數量關系。可以說，數感是將數學與現實問題建立聯系的橋梁，在數學的學習中非常重要。

（二）有助于學生解決問題能力的提升

解決問題的能力是小學生的重要能力之一，具體的情境有助于學生結合生活經驗思考并尋找解決問題的策略與途徑。而具備一定的數感，更易從現實情境中找到問題，從復雜情境中提出問題，并主動與一定的數學知識和技能建立聯系，找到數學模型，合理解決問題。所以，數感的培養有助于學生解決問題能力的提升。

（三）有助于學生數學素養的提升

數學素養是公民必備的素養之一。數學素養不只是用計算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量的，學生學會“數學化”思考問題，具有解決實際問題的數學敏感性，才是具備數學素養的重要標志。數感的培養能彌補教學中只重視知識技能訓練而忽視能力培養的不足，還有利于學生創新精神和實踐能力的培養，有助于學生對數學知識的自我構建，實現關鍵能力的提升。

二、基礎——在數概念的學習中培養數感

數感的建立不是一蹴而就的，需要在學習的過程中逐步體驗和建立起來。數概念的學習是培養數感的有效途徑，但數概念抽象難懂，其理解和掌握需要一個過程，在這個過程中，學生需要經歷有關的情境和實例，在現實背景下感受和體驗，更具體深刻地把握數概念、建立數感。

（一）數出數感

“各人眼中的20”是滬教版一年級第二學期“整理與提高”中的教學內容，通過這個內容的學習，學生學會一組一組地計數，把20分拆成相同數連加的形式，并在計數中豐富對數的認識，發展數感，同時為乘法的學習做準備。

各人眼中的20是怎樣的？學生應該按照自己的理解去數數，并通過交流溝通豐富對20的認識，完善認知，發展數感。教師的設計從認識“各人眼中的6”開始。小胖過生日的情境揭開了學習序幕。黑板上出示了6個蛋糕，教師要求小朋友數一數有幾個，并提出用圈一圈的方式表示自己數數的方法。學生很快數出了蛋糕，并上臺交流：第一個孩子數一個圈一個，數出了6個蛋糕，教師引導他說：“1個1份，圈了6份，共6個1，算式是1+1+1+1+1+1+1=6。”學生數后，教師肯定她這樣圈一圈數一數，把自己的想法表達得特別清楚。于是，第二個孩子上臺清晰表達：“2個1份，圈了3份，共3個2，算式是2+2+2=6。”后續上臺的同學都能用這樣的方法圈出一份、圈出同樣的幾份、得出共有幾個幾，并列出相同數連加的算式，加以清晰的表述：“3個1份，圈了2份，共2個3，算式是3+3=6。”“6個1份，只有1份，就是1個6。”

數蛋糕活動雖然看似簡單，但其實實現了對數認識的突破。在數蛋糕的過程中，學生理解了幾個一份、有幾份、是幾個幾，并能用連加算式表達。結合看到的圖、思考時畫的圈，他們對6有了新的認識：6個1、3個2、2個3、1個6;還能清楚地表達不同含義，如6個1表示每份1個蛋糕，共6份;3個2表示每份2個蛋糕，共3份…… 在圈圈、數數、說說的過程中，學生完成了6的一組一組的建構，豐富了對6的認識，實現了數感的培養。

（二）讀出數感

數學學習中的很多數學活動都能發展數學數感，除了數一數，讀一讀也是有效的活動之一。

例如，“幾分之一”是滬教版三年級第二學期“分數的初步認識”單元（一）的第一個內容。對于三年級學生來說，分數是一個全新的概念，無論是意義還是讀法、寫法，都與整數完全不同。如何讓學生認識分數？如何讓學生在讀數中體會其含義，完成對幾分之一的建構？筆者這樣設計：先出示6個蘋果，要求分給2個小伙伴，問學生分的結果。學生借助生活經驗，很容易得出各自蘋果的數量，并理解分的結果可以每人不同，也可以每人相同，而結果相同的分法就叫平均分。接著，筆者將2個蘋果分給2個小伙伴，問平均分的結果，學生很容易得出每人分得1個蘋果。最后，筆者再將1塊餅干平均分給2個小朋友，問每人分得多少餅干？學生有疑惑，但每人得到半塊餅干他們都能理解。此時，教師追問：這半塊餅干能不能用一個新的數來表示？個別學生說能用二分之一表示。“怎么寫這個數，你能上黑板寫一寫嗎？”筆者鼓勵學生把這個數寫出來。于是，有學生寫了 ?，也有學生寫了 ? 。到底哪個才是二分之一呢？筆者沒有馬上揭曉答案，而是組織大家進行了討論。討論后，學生大都認同第一種表示方法，認為這個寫法表示出把1塊餅干平均分成了2份，其中的1份就是半塊。小部分學生認為第二種寫法中的“2”就表示平均分成2份，“1”表示其中的1份，只不過是從上往下寫而已。在學生充分討論思考后，筆者告訴他們新的數叫分數，寫分數的時候規定先寫分數線（分數中的橫線），再在分數線的下面寫平均分的份數，在分數線的上面寫其中的1份，并演示書寫了 ? 。這個分數讀作“二分之一”。在中國，分數的讀法、寫法與分數表示的含義完全一致，所以在讀 ? ?的時候， 就等于讀出了它的含義：把一個整體平均分成2份，表示其中的1份。然后教師讓學生讀一讀 ? ?，邊讀邊體會含義。后續，筆者繼續引導學生探究，把一塊蛋糕平均分成4份、8份……，學生用 ? ， ? ……表示其中的1份。筆者讓學生大聲讀出這些分數，在讀的時候思考每個分數的含義。學生們邊讀、邊想、邊建構，讀出了幾分之一的內涵，讀出了數感！

（三）分出數感

理解數的意義是數學教育的重要任務。在義務教育階段，學生要學習整數、分數、小數、有理數等數的概念。這些概念本身是很抽象的，需要為學生提供充分的可感知的現實背景，并設計有意義的探究活動，學生才能真正理解數概念。比如，小數的產生是為了精準表達而不斷細分的需要，學生理解細分的原因和過程，就能對小數有深刻的理解，就能有效發展數感。

筆者先引入“欣欣苗圃”的情境，讓學生知道：苗圃中有待售的各種樹苗，苗木的價格與長度有關，所以出售前需要測量長度。接著，筆者出示了一根桂花樹苗（3分米），讓學生猜猜長度，并提供了一把自制米尺，說可以用來測量小樹苗的精確長度，米尺上只有0m刻度和1m刻度。看到米尺， 學生覺得無法用1米長的尺去測比1米短的小苗，此時，筆者微笑，讓大家再想想。經過思維碰撞，學生有了靈感，說可以把1米平均分成10份，那樣每一份就是1分米，以1分米為標準就能測出小苗長度了。按照這個方法，師生把1米平均分成了10份，再去測量小苗的長度，發現占了其中的3份。于是，學生用不同形式表達了小苗的長度。有的用3分米表示，因為把1米平均分成10份，每份是1分米，3個1分米就是3分米;也有的用 ? ? ?米表示，因為把1米平均分成10份，1份是它的十分之一，是 ? ? ? 米，3份就是 ? ? ? 米;還有的用0.3米表示，因為以米做單位的小數，小數點左邊表示米，小數點右邊第一位表示分米。經過討論，大家一致認為，這棵小苗的長度既可以用整數表示，還可以用分數、小數表示，3分米= ? ? ? 米=0.3米。

此時，利用多媒體呈現小苗長高了，筆者又拿出一根稍長一些的小苗，用剛才的米尺測量長度，發現小苗的長度在0.5米（5分米）和0.6米（6分米）之間，但不能確定精確的長度。“怎樣才能知道小苗的長度呢？”筆者引導學生思考并在學習單上嘗試。學生很快找到了解決問題的方法：把0.5米至0.6米這段再平均分成10份，也就是把0.1米再平均分成10份，那就相當于把1米平均分成了100份，就能知道每份是1cm，就能測出小苗長度了。這時，筆者演示把0.5米至0.6米這段平均分成10份，再引導生想象1米平均分成100份，最后呈現平均分成100份的米尺，理解每份是 ? ? ? 米，是1厘米，就是0.01米。這時再測小苗的長度，發現是5分米9厘米，能用0.59米表示了。在學生的驚喜中，筆者又提出新的挑戰：“當小樹苗超過0.59米，不到0.60米時，怎么表示長度？”學生思考后說可以繼續細分，把每個0.01再平均分成10份，也就是把1米平均分成1000份，每份是1毫米，就是0.001米，這樣就又能精準測量小樹苗的長度了。此時，學生對小數的認識是深刻的：為了精確測得小樹苗的長度，我們不斷把1米進行細分，從0.1米到0.01米，再到0.001米，無論小苗的長度是多少，我們都能用小數精確表達它的長度。因為需要精準表達，所以我們就不斷細分，也就產生了小數。在不斷分出更小的度量單位的過程中，學生的數感得到培養。

三、鞏固——在數的運算中培養數感

一直以來，“數的運算”都是小學數學中的重要內容。在這個內容的學習中，無論是對運算方法的溝通、判斷，還是運算結果的估計等，都能有效培養數感。

（一）在不同運算的溝通中培養數感

例如，在滬教版五年級上學期的“小數的四則混合運算復習”中，筆者先是出示了這樣一組口算題（如圖1所示）：

學生運用運算性質和運算法則很快得出了口算結果（如圖2所示）：

筆者引導學生觀察計算結果，學生發現8.7÷0.1的結果與8.7×10的結果相同，而8.7÷10與 8.7×0.1的結果也是相同的。“為什么會相等呢？”教師的提問引發了學生們的思考，經過獨立思考與交流，他們有了自己的發現，并能用自己的話說明道理：

8.7÷0.1，轉化成87÷1來計算，結果是87;8.7×10，計算時把8.7的小數點向右移動一位，結果也是87。所以，一個數除以0.1相當于這個數乘10。

8.7÷10，把8.7的小數點向左移動一位，商是0.87;而 8.7×0.1，先算87×1的結果是87，再把小數點向右移動兩位，結果也是0.87。所以，一個數除以10的結果與一個數乘0.1的結果也相同……

口算的方法雖然簡單，但是因為把乘法與除法進行了聯系，也就對不同算法背后的算理進行了聯系與思考，最終找到了乘法與除法結果相等的原因。此時，教師再引導學生寫出一些計算結果相等的乘法與除法算式，學生在猜想、驗證、歸納、發現中數感得到提升。

（二）在運算方法的選擇判斷中培養數感

數學問題的解決，有時需要精確結果，有時只需要近似數。究竟選用口算、筆算得出精確結果，還是用估算得出近似數解決問題，這與問題的所在情境有關系，也與學生的數感有直接關系。

教師應該讓學生具備面對問題時能迅速學會判斷、學會選擇方法的能力，并用最合理的方式解決，這也是數感培養的有效方法之一。

（三）在估算方法的選擇中培養數感

有研究發現大部分中小學生對估算概念理解膚淺，估算能力不強、意識較差、經驗有限。提高學生的估算能力，發展學生的數感，需要教師加強培養。

以滬教版四年級下冊的“解決問題”為例，購物情境與學生生活密切相關，學生看到題目，就會聯想到實際生活中的購物。對于“帶1000元錢夠不夠”的問題，學生有兩種想法（如圖3所示）。

相同的地方是都把34看作整十數來估，結果都小于1000元，是否兩種估算方法都正確？經過討論，學生們達成了一致意見，認為第二種方法更合理，把34看作40估算總價，如果總價夠了，那么用原價去精確計算一定也夠。但是，如果把34當作30去估算，那么得到的總價會比實際結果小，所以就不能確保錢一定夠。經過討論，大家都理解了生活中遇到購物估計帶的錢是否夠的問題，可以用進一法將物品價格估大再判斷。

學生每人都有過超市購物的經驗，對于打折、抽獎等活動也不陌生，充分利用這些熟悉的情境設計數學問題，讓學生體會估算方法在生活中的普遍使用，并比較得出不同背景下估算方法的選擇，這對于學生數感的培養、運算能力的提高都有著不可替代的作用。

四、提升——在數量關系的分析中培養數感

在列方程解決問題中，找到等量關系是非常關鍵的，因為方程的本質是表示一種相等關系，所以，只要能找到已知量和未知量之間的相等關系，就能列出方程求出解。這種能力對學生把握等量關系、理解方程的原理、發展代數思維、培養數感作用重大。

如：滬教版五年級下冊“列方程解決問題①”復習課。

教師出示例1（如圖4所示），讓學生找到等量關系后列式解答。

例1：小胖帶了80元去電影院買電影票，他一共買了5張兒童票，售票員找給他5元，兒童票多少元一張？

學生找到等量關系后列式解答，并在交流中體會找到不同的等量關系，列出的方程也就不同。這時，教師出示例1的變式題：小胖帶了80元去電影院買兒童票，已知每張兒童票15元，售票員找給他5元，小胖買了幾張兒童票？

學生把變式題與例1做了比較，很快找到了等量關系并列方程完成了解答。之后，教師引導學生再次比較兩題，發現兩題所求的問題不同，前者求單價，后者求數量，但所用的等量關系是相同的，都是“付出的錢-用去的錢=找回的錢”。

通過對例題的變式，學生深刻體會找到等量關系在列方程解決問題中的重要性，同時對方程解法中，一個等量關系能解決一類題的優勢有了較深的體會，這種對等量關系的感悟在數感的培養中不可或缺。

重視數感，強調使學生在數學學習的過程中建立數感，是基礎教育數學課程改革中必須重視的一個問題。在研究數學知識的本質、分析并設計數學學習的過程中，我們還可以做更多的努力和嘗試。

參考文獻：

[1]許欣然.小學數學核心素養之數感的培養[J].課程教育研究，2017（26）.

（責任編輯：奚春皓）