高中數學解題中平面向量方法的應用

梁禮華

摘 要：向量是溝通代數、幾何和三角函數的一種工具。解題中通過平面向量方法的應用能夠很快地找到解題的突破口，明顯地提高解題效率，因此高中數學教學中應注重平面向量知識的系統、深入講解，同時通過經典例題的展示，使學生更好地把握平面向量方法在解題中的應用細節，促進其解題能力更好地提升。

關鍵詞：高中數學;解題;平面向量;應用

高中數學中的平面向量涉及很多的概念以及一些定理。為使學生在解題中能夠靈活應用，應注重給予學生學習上的引導，使其做好基礎知識的整合，構建系統的知識網絡，尤其做好相關的篩選與講解，更好地鍛煉學生的思維，提高其應用平面向量方法解題的靈活性。

一、用于解答三角形問題

平面向量的幾何運算遵循矢量三角形以及平行四邊形法則，和三角形有著緊密的聯系。高中數學中的一些習題常將向量和三角形結合起來設問，考查學生向量知識的掌握與應用熟練程度。運用平面向量方法解答三角形問題時總的來講共有兩大思路：（一）純粹地運用向量的幾何運算法則。解題的過程中需要具體情況具體分析，必要情況下做出相關的輔助線，通過線段的等量代換、向量的加法、減法等，實現不同線段的靈活轉化，以達到求解的目的。（二）運用向量的坐標運算。通過構建平面直角坐標系，確定各個點的坐標，將幾何知識轉化為數學運算，以求解除相關的參數。例如：下題應用向量的坐標運算成功地求出正確結果：

已知邊長為2的等邊△ABC的AB和AC兩邊上分別存在一點E、F，若滿足=λ，=μ，若，，則λ+μ的值為（ ）

A. B. C. D.

取邊BC的中點為O，以BC所在直線為x軸，以OA所在直線為y軸建立平面直角坐標系。易得A（0，），B（-1，0），C（1，0），則=（-1，-），=（1，-），∴=λ=（-λ，-λ），=μ=（μ，-μ），則=+=（-λ，-λ），=+=（μ，-μ），又∵，∴（-）·（-）=（-1+λ，λ-）·（1-μ，μ-）=λμ-λ-μ+1=①。同理，∵，∴（-）·（-）=λμ-2λ-2μ+1=-②。①-②得：λ+μ=，選擇C項。

二、用于解答函數問題

函數是高中數學的重點、難點，習題情境復雜多變。在教學中，教師應展示平面向量方法在解答函數問題中的具體應用，使學生深刻地體會具體的應用過程，把握應用細節，給其以后解答類似的習題帶來切實可行的參考，避免在解題中走彎路。例如：課堂上可向學生講解如下習題：

在函數y=x2的圖像上存在一點P，過點P作圓：x2+y2-4y+3=0的兩條切線，切點為A、B，則·的最小值為（ ）

A. B.2-3 C.0 D.-

∵圓的方程為x2+y2-4y+3=0，即，x2+（y-2）2=1，設其圓心為M，則圓心坐標為（0，2），半徑為1。如圖1所示：

∵cos∠APB=cos2∠APM=1-2sin2∠APM=1-2（）2 = 1-

設點P（m，m2），∴|PM|2=（m-0）2+（m2-2）2=m4-3m2+4=（m2-）2+≥。由對勾函數性質可知，在[，+∞）單調遞增，因此，（）min=+-3=-，選擇A項。

三、用于解答不等式問題

不等式是高中數學非常重要的知識點。教學中為使學生認識到平面向量方法在解答不等式問題中的重要性，提高平面向量方法在解答不等式問題中的應用意識，應注重為學生剖析平面向量與不等式之間的內在關聯以及相關習題的常考方法。同時，應注重創設相關的問題情境，組織學生進行針對性的訓練，更好地拓寬視野，鍛煉其應用能力。課堂上可要求學生積極聯系所學的平面向量知識，解答如下習題：

已知兩個非零向量a、b，若對任意實數t，均有|b+ta|≥|b+a|，則（ ）

A.|a|>|a+b| B.|a|<|a+b| C.|b|>|a-b| D.|b|<|a-b|

∵|b+ta|≥|b+a|，不等式式兩邊平方得到：t（2a·b）+t2|a|2≥a·b+|a|2，∴|a|2t2+（2a·b）t-|a|2-a·b≥0，∵|a|≠0，∴Δ=4（a·b）2-4|a|2（-|a|2-a·b）≤0，整理得到：（|a|2+a·b）2≤0，則|a|2+a·b=0，即，|a|2+2a·b=0，∴a·b<0。若|a|2+2a·b=0兩邊均加上|b|2，則（a+b）2=b2，則|a+b|=|b|。若|a|2+2a·b=0兩邊均加上|b|2-4a·b，則（a-b）2=|b|2-4a·b，∴|a-b|2-|b|2>0，∴|a-b|>|b|，選擇D項。

四、用于解答數列問題

數列在高中數學中以抽象而著稱，對學生分析問題的能力要求較高。教學中應注重做好數列問題常規的解題思路，使學生切實打牢基礎。同時，告知學生數列習題也可與向量知識結合起來，要求學生在日常的學習中提高認識，多加留意，并要求學生在課堂上做好聽課的總結，認真揣摩平面向量與數列知識是如何融合在一起的、解題的過程中應用了哪些技巧、從中獲得了哪些啟發等，真正地將相關的解題技巧吸收、掌握。如下題：

如圖2，在平面四邊形ABCD中S△ABC=3S△ACD。在數列{an}中a1=1，a2=3，當n≥2時，恒有=（an-an-1）+（an+1-2an），則數列{an}的前6項和為（）

A.2020 B.1818 C.911 D.912

根據題意連接BD和AC交于點E。∵S△ABC=3S△ACD，∴BE=3ED，=-3，設x=an-an-1，y=an+1-2an，則=λ=x+y=x（+）+y（+）=（x+y）+x+y，∴[λ-（x+y）]=（-3x+y），∵和不共線，∴-3x+y=0，即=3，∴=3，整理得到：an+1-2an=3an-4an-1，即，an+1-an=4（an-an-1），則=4，n≥2。數列{an+1-an}是以2為首項，以4為公比的等比數列，∴an+1-an=2·4n-1，則a2-a1=2·40，a3-a2=2·41，a4-a3=2·42，，···，an-an-1=2·4n-2，累加得到：an=，∴Sn=n+（40+41+42+···+4n-1）=，則S6=912，選擇D項。

五、用于解答圓錐曲線問題

圓錐曲線是高中數學的重點知識，是高考的必考知識點。相關習題常和平面向量知識相結合，難度較大。教學中為使學生掌握相關的破題思路，一方面，與學生歸納運用平面向量方法解答圓錐曲線習題的常用知識點，主要是向量的幾何、坐標運算法則、圓錐曲線的相關定義、直線的平行以及常規圖形的一些幾何性質等，使學生在解答相關習題時能夠有意識地聯想這些知識點。另一方面，組織學生多開展相關的專題訓練活動，并要求學生養成良好的學習習慣，做好訓練總結的同時與其他學生共同交流學習心得，相互學習高效的解題思路與解題方法。如下題既需要應用平面向量知識，又需要應用直線的平行知識：

已知橢圓+（a>b>0）的一個焦點為F。橢圓E上存在一點P，若線段PF和圓x2+（y-）2=相切于點Q，O為坐標原點，且（+）·=0，則橢圓E的離線率為（）

A. B. C. D.

設橢圓的下焦點為F1，圓的圓心為A，線段PF的中點為B，畫圖如圖3：

∵（+）·=0，∴（+）·（-）=0，∴OB⊥PF，||=||=c，又∵OB∥PF1，∴PF1⊥PF，∵PF和圓切于點Q，∴AQ⊥PF，∴PF1∥AQ，即，=，又∵|FF1|=2c，|AQ|=，|AF|=，∴|PF1|=b。由橢圓定義可得|PF|=2a-b，∴（2a-b）2+b2=4c2，即，=，則e===，選擇B項。

結束語

高中數學教學中為提高學生運用平面向量方法解答數學習題的靈活性，講解理論知識時應注重鼓勵學生自己進行探究，歸納相關的結論，深化對基礎知識的認識與理解。同時，在課堂例題的講解、習題訓練環節應注重給予學生引導，使其把握正確的思考方向，做好聽課與訓練的總結，不斷地改進解題中的不足。

參考文獻

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