抓結構 撥迷霧 看本質*
——一類幾何題簡潔處理策略

安徽省合肥市一六八中學(230601) 武前煒

初中平面幾何對于特殊三角形——等腰三角形、直角三角形的考查尤其多,往往需要重新構造幾何圖形之間的關系或者利用幾何變換構造全等或者相似三角形,這就需要同學們根據圖形特點適時添加輔助線.在實際的教學中,學生對于稍微復雜的幾何圖形,知道要添加輔助線,卻又不知道從哪里加,如何添加更合理.本文以一類貫穿初中幾何始終的問題談簡潔處理策略.

1 原題呈現

題目:如圖1,已知:P是正方形ABCD外一點,PA=3,PB=4,求線段PC的最大值.

圖1

圖2

本題解法眾多,以下從圖形結構入手談這一類輔助線添加入口.D點與本題關聯不大,所以圖形可簡化為圖2.

圖中有A,C,B,P四個點,其中A,B,C三點形狀確定-——等腰直角三角形,P為單獨一個點,為了形象敘述起名為——流浪點,A,B,C三點始終形狀確定為等腰直角三角形——溫暖的家,輔助線的來源就是給流浪點(P)造一個同樣溫暖的家(等腰直角三角形),于是在B處為直角頂點造等腰直角ΔBPP′,如圖3、圖4.

從而圖3可得ΔPBC∽=ΔP′BA(SAS)?PC=P′A,PP′=而AP+PP′≥P′A,即P′A≤3+當且僅當A,P,P′共線時取得最大值,從而PC最大值為3+同理圖4中可得ΔPBA∽=ΔP′BC(SAS)?PA=P′C,PP′=而PP′+P′C≥PC,即PC≤當且僅當C,P,P′共線時取得最大值,從而PC最大值為

圖3

圖4

解題回顧:本解法從靜態角度看是構造了一個等腰直角三角形,得到三角形全等,如圖3中ΔPBC∽=ΔP′BA,如圖4中ΔPBA∽=ΔP′BC;從動態角度看是將一個三角形作旋轉變換,如圖3中ΔPBC繞點B逆時針旋轉90°至ΔP′BA,如圖4中ΔPBA繞點B順時針旋轉90°至ΔP′BC.初中階段常見幾何變換有平移變換、軸對稱變換、旋轉變換,這些屬于全……