一道教材習題的探究與思考

江蘇省蘇州市吳中區碧波中學(215128) 王 春

教材是教師上課之本,學生認知之本.習題是教材重要組成部分,它承擔著對基礎知識、基本思想、基本方法的鞏固與訓練.因此教師要重視對教材習題的歸納、變式、拓展和引申,提升和挖掘其潛在功能.這樣可以切實減輕學生解題訓練量,而達到事半功倍的效果.事實上,不少考題就是教材例題、習題的變式、拓展和引申,習題因探究而精彩.

1 問題呈現

問題1(蘇科版七下第166頁)如圖1,在五角星形ABCDE中,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和等于多少度?請加以證明.

解析1:若此題為選擇或填空題,則可轉化為正五角星形.問題等價求∠A,在等腰ΔAPQ中,即求∠APQ,因∠APQ是正五邊形外角,利用多邊形外角和為360°,所以∠APQ=360°÷5=72°,因此∠A=36°,故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

解析2:由解析1結論特征,問題1可轉化為三角形內角和問題.利用∠APQ是ΔPBD的一個外角,所以∠APQ=∠B+∠D;同理∠AQP=∠C+∠E,利用三角形內角和定理易得結論.此解析利用解析1結論特征,把五角星形五角和問題轉化為ΔAPQ內角和問題.

著名數學家華羅庚認為:善于“退”,一直“退”到原始而不失重要性的地方,是學習數學的一個重要訣竅.特殊性寓于普遍性之中,通過具體分析,往往能獲得解題的重要信息,達到縮減思維過程,降低推算難度目的.因此在選擇或填空等客觀問題中,注意特殊化思想的使用.

2 歸納結論

問題2(蘇科版七下第154頁例2)如圖2,AC、BD相交于點O,求證:∠A+∠B=∠C+∠D.

在ΔAOB和ΔCOD中,∠AOC分別是ΔAOB與ΔCOD外角,由三角形內角和定理推論,易得結論.此時稱這兩個ΔAOB與ΔCOD為對頂三角形.

對頂三角形性質如圖2,在ΔAOB和ΔCOD中,若∠AOB和∠COD是……