認知視角下的初中數學建模

黃敏

[摘? 要] 提出核心素養之后，數學學科核心素養成為指導初中數學教學的新的指導方針. 而數學建模就是數學學科核心素養的要素之一. 在認知視角下形成的對數學建模的理解，可以使教師對數學學科核心素養的認識更深刻.

[關鍵詞] 初中數學;數學建模;認知視角

數學建模在初中數學教學中的受重視程度常因外界環境的變化而變化. 二十世紀八九十年代，包括數學學科在內的學科建模一度非常流行;課程改革之后，教師的興趣更多地集中在教學方式的變化之上，數學建模一定程度上被邊緣化. 近幾年，隨著核心素養概念的提出，數學學科核心素養成為指導初中數學教學的新的指導方針，而數學建模就是數學學科核心素養的要素之一. 在這樣的背景之下，數學教師對數學建模進行了重新認識與實踐，顯然這是一個好的現象.

在這一背景之下，思考初中數學教學中的數學建模，有著非常重要的現實意義. 這不僅是因為數學建模是數學學科核心素養的組成要素，還因為數學建模在數學教學中起著承上啟下的作用. 學生不僅可以通過數學建模更好地歸納自己所學的數學知識，還可以通過數學建模為數學學科核心素養的培育奠定基礎. 需要特別注意的是，數學建模不只是一個簡單的數學模型建立的過程，對數學建模的認識要避免就事論事，有效的數學建模過程應該是科學認知下的產物，而這個科學認知應當是學習心理視角下的認知. 因此，本文從認知視角談談初中數學建模的理解與實踐.

認知視角下認識數學建模的必要性

在認知視角下認識數學建模是非常必要的，因為當前初中數學教學研究的習慣容易讓人誤認為數學建模就是引導學生建立數學模型. 但事實并非如此簡單. 在教育發達的國家，數學建模本身就是一個研究重點，也是一個學習重點. 比較研究發現，鑒于數學建模具有強大的教育功能，美、英等國近二十年來已將數學建模列為數學的重要課程. 回到我國初中教學的實際，引導教師超越數學建模概念的本身，然后從認知的視角來認識數學建模，可以形成如下幾點認識：

一，對數學建模的認識，要認識其內涵與外延. 從最狹義的角度來看，數學建模就是建立一個數學模型;從廣義的角度來看，這個數學模型不只是嚴格意義上的模型，包括數學概念、數學規律、數學解題方法在內的內容，都可以視作數學模型，而生成這些數學模型的過程，可以理解為數學建模的過程. 這樣的數學建模外延理解，涵蓋了學生在數學學習過程中認知的大半過程，因而具有一定的代表性.

二，數學建模本身就是一個認知過程. 在數學學科核心素養的6個要素當中，數學建模被認為是綜合性最強的一個. 一個數學模型的得出，往往是學生認知心理中注意、動機、思維，以及抽象、概括的結果. 只有經歷了這些過程，并且最終用數學語言描述結果，數學模型才算真正建立了起來，這樣一個復雜的認知心理活動，構成了數學建模過程的全部.

三，從認知視角理解數學建模，可以更好地促進學生進行有效的數學學習. 學生的數學學習過程遵循了認知規律. 從廣義的角度建立的數學建模理解，與學生的數學學習過程大多重合，因此以數學建模為抓手，可以讓數學教師更好地認識學生數學學習的心理規律，從而促進有效教學的發生，進而讓數學學科核心素養可以更好地落地.

數學實驗能優化學生的數學建模過程

基于上述認識，到了具體的教學過程，仍然有一個需要注意的點，那就是將數學建模的認知理解轉化為具體的教學實踐的策略. 筆者在實踐中發現，數學實驗可以更好地優化學生的數學建模過程. 所謂數學實驗，是指學生運用有關工具，在內在思維活動的參與下，通過手腦并用，借助觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得體驗“關鍵性事件”的經驗，構建發展學生數學認知結構的素養型活動. 這里提到的“關鍵性事件”，從認知的角度看，可以理解為數學建模過程中的核心事件，如抽象與概括等，考慮到初中生的認知特點，數學實驗可以為學生的抽象與概括提供形象的思維載體，因而有著不可替代的作用.

例如，對于“實數”概念的建立，從數學知識的角度來看，實數概念是原來學生所理解的有理數概念的拓展;從數學建模的角度來看，實數其實是在有理數這一模型的基礎上建構起來的新的模型. 建立這一模型時，不妨借助數學實驗的思路來進行，具體的設計可以包括如下幾個環節.

環節一：復習有理數的概念，讓學生舉出有理數的例子;同時，教師講授數學發展史上“萬物皆數”的故事，讓學生對數有一個更加清晰的了解.

環節二：進行數學實驗. 這里的數學實驗是由動手畫圖和提出問題兩個環節組成的. 動手畫圖環節主要畫的是一個邊長為1的正方形，然后畫出其對角線;提出的問題是“對角線的長度是多少”. 這里主要是向學生介紹古希臘畢達哥拉斯學派的一個觀點，即“宇宙的一切事物都可以用整數或者整數之比來表示”，而正是畢達哥拉斯自己發現的勾股定理（可以在此先簡單介紹）打破了自己的判斷. 西帕索斯，畢達哥拉斯的學生，他發現邊長為1的正方形的對角線的長度既不是整數，也不可以用整數之比來表示……學生在畫出圖形之后，原本就在思考，聽到教師介紹的這段數學史之后，對產生了更濃厚的興趣. 這就是學生理解無理數的核心環節，是“關鍵性事件”.

環節三：引導學生分析與概括. 在上述兩個環節的基礎之上，學生發現除了有理數而外，還有一類無限不循環小數，而這就是無理數……到了這一環節，實數的概念也就建立起來了.

數學建模服務于初中生的數學認知

在上面這個案例當中，實數概念的建立不是教師簡單地說“有理數和無理數統稱為實數”，而是讓學生經歷一個動手動腦的過程（動手的過程雖然簡單卻不可忽略，因為這是強化學生思維對象的一個環節）. 從認知的角度來看，學生也經歷了一個抽象之后的分析與概括過程，學生大腦當中關于實數的理解，材料是豐富的，邏輯是清晰的，因此這樣的認知過程自然是合理的.

反過來，從促進學生數學認知的角度來看，數學建模的過程可以讓學生認識到，在初中數學中，哪怕是一個最簡單的概念，也是思維高度參與的結果. 而從其后的數學知識運用中，學生也可以發現，在數學建模的過程中，功夫下得越扎實，用起來也就越順手.

數學認知就是學生在數學學習過程中表現出來的認知特點，數學認知可以成為數學建模及其教學研究的一個重要視角. 之所以強調站在學生認知的角度去認識數學建模，是因為數學模型的建立可以認為是認知作用的結果，研究學生在數學學習過程中表現出來的認知規律，并且利用這些規律，可以讓學生的數學建模過程變得更加順利. 如果在模型建立的過程當中激活學生的認知，就可以培養學生的數學建模能力. 在能力培養的過程當中，又可以通過進一步的分析與概括，將這些能力上升為素養. 而數學認知將在這個過程當中發揮不可替代的作用.

總的來說，初中數學建模的目的是為初中數學教學服務，因此數學建模必須與平常的教學內容相結合，并把建模落實到培養學生的自主學習、合作探究的意識過程當中，讓數學建模真正成為學生數學認知的方法，并在數學建模中提升科學素養. 筆者的實踐表明，在認知視角下形成的對數學建模的理解，可以促進教師對數學學科核心素養有更深刻的認識，從而在教學中能夠做到得心應手. 同時，這樣的教學探索也可以為當下熱門的核心素養培育提供非常有價值的參考.