基于變式題組理念的教材課時整合教學

黃信永 施賢誼

[摘? 要] 文章以“等邊三角形”為載體，借助變式題組驅動教學活動的開展，憑借課時整合促進知識體系的構建，并針對教學實錄從“教學目標引領”“教學知識整合”和“變式題組設計”三個角度進行教學有效性的探討.

[關鍵詞] 變式題組;教材課時整合;初中數學

變式題組教學是中國數學教學的特征之一，顧明遠教授在其主編的《教育大辭典》中給出了變式的定義：在教學中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質特征以突出事物的本質特征[1]. 教材課時整合教學是一種針對教材進行深度再開發的教學行為，它立足于教材，依據課程標準和學生的學情，靈活地“用教材教”，而不是“教教材”，進一步“創造性地使用教材”. 憑借教材課時整合教學對同類問題進行探究，通過變式題組促進知識的正遷移，在給予學生充分探究時間的同時，有利于學生從整體上把握知識之間的內涵和外延，化知為智，達到融會貫通的教學效果.

教材是編寫者根據課程標準編制的承載知識的重要載體，凝聚著編者們的智慧和心血，具有典型性、科學性和示范性，但對于不同師生群體來說教材往往有其局限性，這對教師科學地使用教材提出了更高的要求，也為教師進行教材整合提供了廣闊的空間. “記問之學，不足以為人師”，教師應不斷地更新教育理念，以現有版本教材為改造范本，注重不同版本教材和相關資料的研究. 《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“教材內容的呈現要體現數學知識的整體性，教材的編寫要有利于調動教師的主動性和積極性，有利于教師進行創造性教學. ”[2]基于此，筆者不揣淺陋，以人教版教科書“等邊三角形”為例，談談基于變式題組理念的初中數學教材課時整合教學的實踐和思考.

基本情況

1. 教材分析

本節課選自人教版教材八年級上冊第十三章. “等邊三角形”內容安排有兩個課時，第一課時是等邊三角形的概念，等邊三角形的性質、判定方法及其軸對稱性;第二課時是探究和應用含30°角的直角三角形的性質. 本節課試圖將兩個課時的內容整合在一起進行授課，力求壓縮課時成本，提高課堂效率.

2. 學情分析

本節課的授課對象是玉環縣城關一中的八年級學生. 對于等邊三角形的知識，學生在小學階段已經有了初步的認識，但是只停留在感性的認識層面，系統性的知識在小學階段缺乏足夠的滲透. 在初中階段，學生已經學習了等腰三角形的性質和判定方法等內容，且他們思維活躍、情感豐富，具備了比較強的觀察、分析、歸納和總結的能力，這為教材課時整合教學的順利開展提供了有力的保障.

3. 重難點分析

授課對象是基礎知識扎實、學習經驗豐富的八年級學生，所以本節課的教學重點定位于探索等邊三角形的性質和判定方法，掌握含30°角的直角三角形的性質;等邊三角形的性質和判定方法的綜合應用是本節課的難點.

4. 教學目標

基于授課學生的實際情況，從學生的長遠發展考慮，筆者制定了如下教學目標：

（1）以題串知，通過“簡而不減”的以等邊三角形為背景的變式題組構建知識有機整體，驅動學生將“無限”變式問題轉化為“有限”本原問題.

（2）因題提能，引導學生在變式問題中了解等邊三角形的概念，探索并掌握等邊三角形的性質和判定方法以及含30°角的直角三角形的性質，提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

（3）借題示法，經歷“觀察—實驗—猜想—驗證—概括”的過程，培養學生分析問題和解決問題的能力，引導學生感受類比思想、轉化思想等數學思想和方法的重要性.

教學實錄與分析

1. 巧借變式題組，整合教材內容

師：（教師拿著一個等邊三角形學具模型）同學們，這是什么圖形呢？

生：等邊三角形. （學生異口同聲地回答）

師：是的，這是大家分別熟悉的等邊三角形，我們今天一起來學習等邊三角形的相關知識，那么等邊三角形ABC（圖1）具有怎樣的性質呢？（開放性問題1）

生1：AB=BC=AC.

師：對，我們知道等邊三角形是三邊都相等的等腰三角形. 反過來，若一個三角形三邊相等，那么這個三角形就是等邊三角形. 還能得到什么嗎？

生2：三個角相等.

師：為什么呢？

生2：因為AB=AC，由“等邊對等角”可得∠B=∠C;同理，∠A=∠C，故∠A=∠B=∠C，且都等于60°.

師：很好，還有沒有？

生3：等邊三角形是特殊的三角形，因此它是軸對稱圖形，并且有三條對稱軸.

師：好，現在增加一個條件，大家又能夠得到哪些結論呢？

開放性問題2：如圖2，在等邊三角形ABC中，作AD⊥BC，能夠得到哪些結論呢？

生4：由“三線合一”可以得到∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD=BC=AB=AC.

師：非常好，我們由此得到一個很重要的結論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的邊等于斜邊的一半.

師：假如再增加一個條件呢？

開放性問題3：如圖3，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，作DE∥AC交AB于點E，能夠得到哪些結論呢？

生5：由△ABC是等邊三角形，可得∠BAC=∠B=∠C=60°. 由DE∥AC，可得∠BED=∠EDB=60°，故BE=BD=ED，所以△DEB是等邊三角形.

師：是的，這是等邊三角形的另一個判定方法——三個角都相等的三角形是等邊三角形. 大家還能找到等邊三角形的其他判定方法嗎？

生6：如果等腰三角形的一個頂角等于60°，那么這個三角形是等邊三角形. 因為頂角等于60°，所以底角也等于60°，從而三個內角相等.

師：好，那假如把頂角改成底角呢？

生6：也可以，由底角等于60°，同樣可以推理出三個內角都相等.

師：由此我們找出了等邊三角形的第二個判定方法：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

（生7高高地舉起了手）

生7：有兩個角等于60°的三角形也是等邊三角形.

師：是的，我們容易知道這是真命題，但這不是定理，這一點大家要注意.

教學說明? 在教學目標的引領下，開門見山式地拋出開放性問題1，回歸學生已有的認知經驗，引導學生對等邊三角形進行探究. 借助問題1的驅動，教師通過增加條件呈現開放性問題2，具有層次性但又不失內容與方法的熟悉與深刻，從而激發學生的求知欲，為開放性問題3的引出奠定了基礎.

2. 再借變式題組，強化問題本原

師：我們接下來看這么一個問題.

問題4：如圖4，點D，E分別在等邊三角形ABC的兩邊上，且BD=CE=2. 若∠EDC=30°，求AE的長.

生8：因為∠C=60°，∠EDC=30°，所以∠CED=90°. 根據含30°角的直角三角形的性質，由CE=2，可得DC=4，CA=BC=BD+CD=6，從而AE=AC-CE=4.

師：好，我們現在增加條件.

問題5：如圖5，點D，E，F分別在等邊三角形ABC的三邊上，且AF=BD=CE. 求證：△DEF是等邊三角形.

生9：因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C. 由AF=BD=CE，可得BF=CD=AE. 由“SAS”可得，△AEF≌△BFD≌△CDE，從而DE=EF=FD，故△DEF是等邊三角形.

生10：我有第二種證明方法. 由△AEF≌△CDE，可得∠AEF=∠CDE. 由∠AED=∠C+∠CDE=∠AEF+∠FED，得到∠FED=∠C=60°;同理，∠EFD=∠EDF=60°. 所以△DEF是等邊三角形.

師：很好，同學們用兩種方法進行了證明，現在改變一下問題的條件.

問題6：如圖6，點D，E，F分別在等邊三角形ABC的三邊上，且AF=BD=CE. AD，BE相交于點G，BE，CF相交于點H，AD，CF相交于點I. 求證：△GHI是等邊三角形.

生11：因為AF=BD=CE，AB=AC=BC，∠FAC=∠BCE=∠ABD，由“SAS”可得，△ABD≌△BCE≌△CAF，故∠BAD=∠ACF=∠CBE，∠BDA=∠AFC=∠BEC，由此可得∠AIF=∠BGD=∠CHE，即∠GIH=∠IGH=∠GHI，故△GHI是等邊三角形.

生12：類似于問題5，利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，可得∠IGH=∠GBA+GAB=∠GBA+GBC=60°;同理，∠GIH=∠GHI=60°. 所以△GHI是等邊三角形.

教學說明? 基于教材知識的關聯性，在問題4的基礎之上，通過增加題目條件自然過渡到變式問題5，學生會有似曾相識的感覺，同時為變式問題6的引入埋下伏筆. 本環節通過架構知識與知識之間的橋梁，有利于鞏固等邊三角形的性質和判定方法以及含30°角的直角三角形的性質，在自主構建知識體系的同時，提升教學目標的達成度，做到綱舉目張.

教學思考

本教學案例始于本原，源于問題，基于變式，以題領題，構建命題之間的聯系，促使教學內容變難為易、化繁為簡，對課堂教學起到引領作用. 在這個過程中，學生體會變式題組的本質構成要素——等邊三角形，真正掌握模塊知識的核心. 筆者認為，用課程標準領航教學方向，用教學目標定位教學內容，用教材整合盤活教學體系，用變式題組創設靈動課堂值得一線教師倡導并踐行.

1. 教學目標引領，前赴后繼

在數學核心素養的導向下，教學目標自始至終統領著教學程序的設定、教學活動的組織、教學過程的優化和教學質量的評價. 本教學案例以幾何核心知識“等邊三角形”為載體，從學生已有的認知結構和知識的內部聯系出發，圍繞教學目標拾級而上. 因此，教學目標的核心地位不容動搖，由教學目標生成靈動的變式題組，可以杜絕課堂的盲目和低效，幫助學生快速正確地識別模式. 因此，教學必須遵循目的性原則，由此解決“為什么要變”“變什么”“怎么變”和“變到什么程度”等一系列問題，使課堂教學有章可循、有規可依.

2. 教學知識整合，上下聯系

教材課時整合教學并不是簡單地將兩節或兩節以上的課時合并為一個課時進行授課，也不僅僅是教學內容的簡單替換、刪減或補充，而是教師根據課程標準、不同的校情和學情，對教學資源進行整合再開發的過程. 因此，教材課時整合不具有普遍性，需要教師因地制宜地進行二次甚至二次以上的整合. 本教學案例基于知識的關聯性，通過“提綱挈領”式的授課方式，利用兩個主要教學環節、六個主要問題將等邊三角形兩個課時的內容進行整合，建立知識與知識之間的橋梁，促進點狀知識聯結成網狀知識.

3. 變式題組設計，左右開弓

變式題組教學通過不同問題情境加深學生對數學知識和思想方法的理解，體會問題生成的自然性，在“變”中感受“不變”的本質，在“不變”中體會“變”的規律，將學生思維推向縱深. 有效的變式題組教學并非機械重復式學習，亦非無序探究式學習，而是改變傳統的強制灌輸式學習，促進知識條理化、系統化和結構化，幫助學生形成合適的問題解決表征.

問題是數學的心臟和思維的起點. 根據維果斯基的“最近發展區理論”，教學應著眼于學生的最近發展區，考慮學生已經達到的水平，并要走在學生發展的前面，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，超越其最近發展區而達到下一發展階段水平. 因此，變式題組設計應具有層次性，立足于學生的最近發展區（可接受性），發展學生的高階思維. 本案例通過問題1到問題3和問題4，再到問題6的變式動態生成問題組，逐步給學生帶來了認知的矛盾沖突（挑戰性），從而既能給基礎薄弱的學生展示自我的機會，又能給基礎扎實的學生深度探究的空間，使得：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展[3]. 除此之外，變式教學題組要追求問題的開放性. “有開放才會有聚焦”，闡明了問題開放性的價值所在. 本教學案例的開放性問題1到問題3緊緊圍繞著教學目標，為學生提供了自主探究的舞臺和思維馳騁的空間. 開放性問題在激發學生問題意識和培養學生創造性思維的同時，有利于教師及時捕捉學生的思維動態，實現“低起點多層次”的個性化教學，對教學的有效性起到了畫龍點睛的作用.

參考文獻：

[1]顧明遠. 教育大辭典[M]. 上海：上海教育出版社，1998.

[2]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]劉乃志. 初中數學教材整合的思考和實施路徑[J]. 中學數學教學參考，2017（Z2）.