基于核心素養下的數學概念探究

【摘要】在數學概念教學中，提升學生的數學抽象素養是教學任務之一.數學概念是揭示事物的數量關系、結構關系、空間形式的本質特征的一種反映形式.教師如果把缺乏數學對象本質特征的揭示過程作為載體的思維探究活動來設計教學，將喪失“使學生經歷研究一個數學對象的基本過程”的機會，浪費了一個培養學生發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的好素材.探究過程中沒有實質性的數學思考，將使培養學生的數學抽象與數學建模能力、邏輯推理能力、發展學生的幾何直觀能力等核心素養落空.本文從反函數、相同函數的概念，以及運算性質、公式的推廣等方面對對數函數再認識，就是從概念的定義出發，由表及里，去偽存真，掌握概念的本質屬性，這是提升學生數學核心素養的必要條件，也是建議改動形式函數定義的一個原因.

【關鍵詞】核心素養;數學概念;概念修改

【基金項目】本文系甘肅省白銀市教育科學“十三五”規劃課題（課題批號BY[2019]G299號）研究成果.

一、問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》在課程“基本理念”中提出了“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培養科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養”的課程理念[1].數學學科的核心素養主要由數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六個方面組成，這些核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體.在數學概念教學中，提升學生的數學抽象素養是教學任務之一.數學概念是揭示事物的數量關系、結構關系、空間形式的本質特征的一種反映形式.數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.數學具有高度抽象的特點，要求我們能從具體事物中區分、抽取研究對象的本質特征，即抽象概括，通過抽象概括的過程，認識和理解研究對象.數學概念的獲得離不開數學抽象的過程，而數學抽象是數學六大核心素養之首，因此，數學概念的教學就成為培養和提升學生數學抽象核心素養的重要環節.

二、問題所在

回顧自己數學概念的教學和聽取幾位老師對有關數學概念課的教學評論，總覺得有些地方著力不夠.比如現實中，教師從一個特例揭示概念，學生通過單純的記憶掌握概念，這樣的情形還是普遍存在的，其結果往往是學生記住了概念的外在表述形式，但沒有深入理解概念的內在含義.這樣的學習，學生完全不了解知識內在的聯系，也很難形成學習方法上的建構，更難以提升數學核心素養.再如，在教學中既缺乏以數學概念的抽象過程為載體的學生認知過程分析，時有照本宣科的灌輸現象，又缺乏數學對象本質屬性的揭示過程為載體的思維探究活動設計，而對概念的機械性記憶和性質的程式化訓練樂此不疲.可見概念教學是中學數學至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數學的基礎，學好概念是學好數學最重要的一環.數學素養的差異關鍵是對數學概念的理解、應用和轉化等方面的差異.因此，抓好概念教學可提高大多數學生的數學素養，同時，數學素養的提高可以為學生的各項能力和素質的培養提供有利條件和必要保障[2].

例1 下列函數（1）y=3log43√x;（2）y=logπx;（3）y=2log2x;（4）y=log5x;（5）y=log3（x+1）中，對數函數的個數為（）.

A. 2B.3C.4D. 5

分析 一般地，我們把形如y=logax（a>0且a≠1）的函數叫作對數函數（logarithmic function），其中x為自變量，函數的定義域是（0，+∞）.

注意 ①底數：a是大于0且不等于1的常數;②真數：自變量是x，且大于0;③系數：對數符號前面的系數是1.

解析 對數函數定義與冪函數、指數函數類似，都是形式定義，需要注意辨別.如y=log3x3，y=log5（5x） 都不是對數函數，因為它們不符合y=logax對數函數的形式，只能稱其為對數型函數.

例1答案選A似乎正確.因為只有（2）（4）符合對數函數的形式定義，殊不知（1）（3）也為對數函數，應該選C.

由對數的運算性質logaMn=nlogaM?? （n∈R），

它們都是對數函數，但y=log2x2y=log2|x|卻不是對數函數.

另外，求（1）（3）兩個函數的反函數，得到的都是指數函數y=ax的形式.由于指數函數y=ax的反函數是對數函數y=logax，也說明這兩個函數都能化成對數函數的形式，故其為對數函數.

例2 下列函數（1）y=log2x;（2） y=log2x+2;（3）y=8log2（x+1）;

（4）y=logx6? （x>0且x≠1）;（5）y=log6x中，是對數函數的是.

答案 （1）（5）.

解析 就像y=3/x3與y=x2，y=x2與y=x是同一函數一樣，y=log2x 與y=log4x的定義域相同，值域相同，圖像也完全一樣，所以y=log2x就是對數函數y=log4x.

再如例3：

例3 如果函數f（x）=（m2+2m-2）x1m2-1+2n-3是冪函數，求實數m，n的值.

解析 一般地，我們把形如y=xa的函數叫作冪函數（power function），其中x為自變量，a為常數.

注意：y=xa中，xa前面的系數是1，后面沒有其他項.

解 由題意，得m2+2m-2=1，m2-1≠0，2n-3=0，解得m=-3，n=32.

例4 已知函數y=（a2-a-5）ax是指數函數，則a=，指數函數的解析式為.

解析 一般地，函數y=ax（a>0且a≠1）叫作指數函數（exponential function），其中x是自變量，函數的定義域是R.

注意 ①ax的系數是1;② 自變量x在指數位置;③底數是a>0且a≠1的常數.

解 依題意，令a2-a-5=1，解得a=3或a=-2.

又a>0且a≠1，所以a=3，

所以指數函數的解析式為y=3x.

三、問題解決

只要我們把課本中的形式定義“一般地，我們把形如……的函數叫作……”改為“一般地，我們把能夠化為……的函數叫作……”，雖然冪函數、指數函數、對數函數的概念修改前后變化不大，但能使上述問題迎刃而解.例如，把“一般地，我們把形如y=xa的函數叫作冪函數，其中x為自變量，a為常數”改為“一般地，我們把能夠化為y=xa的函數叫作冪函數，其中x為自變量，a為常數”，把指數函數、對數函數也都改成這樣的描述，則以下習題師生做起來不會再含糊不清.

教師將核心素養目標滲透到教學設計中，通過科學合理的數學教學活動，讓學生在數學學習中實現自我發展、自我超越、自我升華，從而培養學生的邏輯思維，發展學生的理性思維能力，使學生的學科素養在學習數學的過程中得到自主的發展.教師對概念的講解要從實際情景出發，精心設計體驗過程，要及時有效地解決教學過程中產生的問題，采用不同的教學方法，讓學生通過觀察、分析、揭示數學概念的本質.為學習新知識打下堅實的基礎，要讓學生真正理解概念，讓學生從死記硬背和“標準”解題步驟中解放出來.這就決定了教師需要站在更高層面，對數學概念有更深層次的理解，分析每個例題所蘊含的數學概念、數學思想方法，回歸數學的本質.數學概念的生成正是體現了數學的嚴謹性和精確性[4].

概念教學不可缺少思維，思維教學必須回到概念.概念的形成要從具體例子出發，歸納概括出一類事物的共同本質屬性，這一過程是一種帶有較多發現性的學習方式，所以在上課過程中必須積極指導，才能提高教學效果.在數學概念教學中，提升學生的數學抽象素養，這是數學教學任務之一，數學概念是數學知識體系的“細胞”，是建立數學理論的基礎，正確理解、掌握和運用數學概念是學好數學理論的前提.因此，數學概念教學必須通過一定的練習來分清易于混淆的界限，也可以通過研究討論其他的一些概念，如本文從反函數、相同函數的概念，以及運算性質、公式的推廣等方面對對數函數再認識，就是從概念的定義出發，由表及里，去偽存真，掌握概念的本質屬性，這是提升學生數學核心素養的必要條件.以上是本人對冪函數、指數函數、對數函數概念教學時的一些簡單思考與認識，提出共商榷.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]楊艷榮.以“核心素養”為培育目標的高中數學概念教學[J].雜文月刊（教育世界），2016（11）：129.

[3]王虎程.抓住概念核心，直擊概念本質：例談冪、指數、對數函數的概念[J].數學學習與研究，2018（22）：111.

[4]岑國勇.一堂數學概念課的反思[J].貴州教育，2008（6）.