基于翻轉教學，應用幾何畫板,培育建模素養

眭亞燕

【摘要】2016年7月，潘建明老師申報的課題《翻轉教學形態的變革與創新研究》被列為全國教育科學“十三五”規劃2016年度教育部重點課題，課題批號為DHA160378.翻轉課堂的核心是對教學理念和教學方式的翻轉，可以與傳統課堂優勢互補，要想創造優異的教學效果，新技術的支持是不可或缺的.筆者通過對翻轉教學中如何借助幾何畫板培養建模素養進行了深入研究：課前的淺層學習（模型的背景、由來、證明與建立），課內的深度學習（模型的甄別、強化、自創與挑戰）.翻轉教學突出了學生的主體地位，可以發揮學生的主觀能動性，增強學生學習的自組織能力，促進學生的個性化發展.

【關鍵詞】翻轉教學;幾何畫板;建模素養

《幾何畫板》是一種適用于幾何教學的軟件，它可以幫助學生動態地觀察、探索和發現對象之間的數量變化關系與空間結構關系，用形象生動的畫面幫助學生理解抽象、枯燥的數學概念、公式和法則，領會和把握知識之間的內在聯系，幫助學生深刻理解數學規律，有效突破教學重點和難點，因而深受廣大師生青睞.現代教育技術背景下的“自覺數學”教學思想利用教育技術的平臺、載體和技術手段構建滿足學生個性化學習和發展的教學生態環境，提供可選擇的課程資源，以學生發展為本，強調尊重學生的差異性，加強對學生數學學習的支持和服務，在平等對話的基礎上進行有效的因材循導和自覺體悟，做到學、教、做相統一和講、探、練相結合，關注少教多學，喚醒、激勵學生釋放出本質潛能，促進學生的學習品質、思維品質、道德品質不斷成長，形成學生面向未來的終身學習和發展的能力.本文以《經典幾何模型之“阿氏圓”》的教學設計為例，詮釋了如何實現以自覺課堂教學策略下主導自覺為主、幾何畫板支持為輔的自覺數學課堂.

【課前自覺學習】

一、模型背景

“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點，更是難點.當k的值為1時，其為“PA+PB”型的最值問題，此時可轉化為常見的“將軍飲馬”模型來處理，即轉化為軸對稱問題（和最小，找對稱）來處理.而當k取任意不為1的正數時，若再以常規的軸對稱思想來解決問題則無法進行，因此必須轉換思路.此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同進行分類，一般分為兩類進行研究，即點P在直線上運動和點P在圓上運動.其中，點P在直線上運動的類型稱為“胡不歸”問題，點P在圓上運動的類型稱為“阿氏圓”問題.

二、模型由來

圖1“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩定點 B，C，則所有滿足PCPB=k（k≠1）的點P的軌跡是一個圓.這個軌跡最早是由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的，故稱“阿氏圓”.在幾何畫板上觀察圖1，當點P在⊙O上運動時，PB，PC的長在不斷地發生變化，但PCPB的比值k始終保持不變.

設計意圖：借助幾何畫板，通過拖動點P，讓學生觀察當點P在⊙O上不斷運動時，PC和PB的數值雖

然在發生變化，但其比值始終保持不變，從而激發學生濃厚的學習興趣和參與熱情.

三、模型證明

圖2如圖2，P是平面上一動點，B，C是兩定點，PCPB=k（k>0且k≠1），M是BC的內分點（M在線段BC上），N是BC的外分點（N在BC的延長線上），且MCMB=NCNB=k，則點P的軌跡是以MN為直徑的⊙O.

證明這個定理的方法有很多，下面是筆者的分析與證明，僅供參考.

（一）知識儲備

為了證明阿波羅尼斯圓定理，先證明下面兩個定理.

圖3定理1：如圖3，已知M是△PBC的邊BC上的一點，且PCPB=MCMB，求證：PM平分∠CPB.（三角形內角平分線定理的逆定理）

證明：過點C作CD∥PM，交BP的延長線于點D，則PDPB=MCMB，又PCPB=MCMB，∴PDPB=PCPB，∴PD=PC，∴∠D=∠3.∵CD∥PM，∴∠1=∠D，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴PM平分∠CPB.

定理2：如圖4，N是BC的延長線上的一點，且PCPB=NCNB，求證：PN平分∠CPB的鄰補角∠CPE.

證明：過點C作CD∥PN，交BP于點D，則PDPB=NCNB，又PCPB=NCNB，∴PDPB=PCPB，∴PD=PC，∴∠3=∠4.∵CD∥PN，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1=∠2，∴PN平分∠CPB的鄰補角∠CPE.

（二）證明模型

有了上面兩個定理的證明，阿波羅尼斯圓定理的證明就不難了.現證明如下：

如圖5，連接PM，PN，∵M為BC的內分點，PCPB=MCMB=k，∴PM平分∠CPB，∴∠2=12∠CPB.∵N為BC的外分點，PCPB=NCNB=k，∴PN平分∠CPE，∴∠3=12∠CPE.∵∠CPB+∠CPE=180°，∴∠2+∠3=12（∠CPB+∠CPE）=90°，即∠MPN=90°，∴動點P到MN的中點O的距離等于MN（定值）的一半（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），點P的軌跡是以定比k內分和外分定線段BC的兩個分點的連線為直徑的圓.

四、模型建立

圖6如圖6，⊙O 的半徑為 r，點 A，B 都在⊙O 外，P 為⊙O 上一動點，已知 rOB=k，連接 PA，PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，點P的位置如何確定？

（一）模型解讀

圖8最早的“PA+PB”型問題應該出現在“將軍飲馬”問題中，而本題多了一個“k”，故如何確定“k·PB”的大小是關鍵.如圖7，在線段 OB上截取 OC，使 OCr=k.∵rOB=k，∴r2=OB·OC，即OP2=OB·OC，又∵∠O=∠O，∴△BOP 與△POC相似，∴PCPB=OPOB=k，即k·PB= PC，故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為求“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點，P為動點，故當A，P，C三點共線時，“PA+PC”的值最小，即“PA+k·PB”的值最小，如圖8所示.

（二）建構步驟

解決“阿氏圓”問題，關鍵是熟練掌握“共角共邊型”相似三角形（也稱“母子型”相似或“美人魚”相似）的構造方法.

第一步：找“阿氏圓”（或圓弧），如果動點P的軌跡是一個圓（或圓弧），不妨設圓心為點O，連接PO，得“阿氏圓”半徑OP;

第二步：構造母三角形，考慮到要求的是“PA+k·PB”的最小值，故母三角形的三個頂點分別為圓心O、動點P、定點B（一般選含有k的線段的兩個端點分別與圓心O連接而成）;

第三步：構造子三角形，分別計算出線段OP與OB的比、OP與OA的比，選取線段比為k的一組，如上例中的OPOB=k，在OB上取一點C，使得OCOP=OPOB=k（核心關鍵步驟），連接PC，得子三角形OCP，則△PCO∽△BPO，如圖7所示;

第四步：連接 AC，與⊙O 的交點即為點P（如圖8），此時“PA+PC”的值最小，即“PA+k·PB”的值最小.

（三）核心步驟

圖9回顧圖7，在OB上取點C，使OCOP=OPOB=k的目的是構建“共角共邊型”相似三角形，其構建是“阿氏圓”模型破解的“核武器”.

將圖7中的△BPO從圖中分解出來，如圖9所示，上色的△PCO∽△BPO，就是“母子型”相似模型.“母子型”相似模型的特點如圖10所示，△PCO與△BPO有公共角∠O（圓心角）、公共邊OP（半徑）.構造出△PCO∽△BPO后，可以得到OCOP=OPOB，進而求出OC=OP2OB，確定點C的位置后，連接AC，求出AC的長度，“阿氏圓”即可破解.

設計意圖：借助幾何畫板進行解讀模型、構建模型、分解模型、著色、標注等一系列操作后，有利于激活學生的思維，向學生揭示知識發生和發展的過程，從而幫助學生更好地掌握“阿氏圓”這一經典幾何模型，所以說幾何畫板是數學教學中解決問題的有效工具.利用幾何畫板在教學中“大顯身手”，不僅大大減少了課上板書的時間，使每節課都能向學生傳授更多的知識，而且能使學生對數學產生更濃厚的興趣，讓學習不再是負擔，不再是枷鎖，給學生的思維插上一對有力的翅膀.

【課中自覺強化】

五、典例講解：顯性阿氏圓（或弧）

圖11例1 如圖11，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4，AC=6，⊙C的半徑為2，P為⊙C上一動

點，連接 AP，BP，求 AP+12BP的最小值.

圖12解析 如圖12，連接CP，因為CP=2，AC=6，BC=4，則CPAC=13，CPCB=12，而題目中是求“AP+12BP”，其中的k=12，故不在 AC 上取構造點D，應選用CPCB=12，所以在CB上取一點D，使CD=CP2CB=1，則有CDCP=CPCB=PDPB=12.無論點P如何移動，△PCD 與△BCP始終相似，故PD=12BP始終成立，所以AP+12BP=AP+PD，其中 A，D為定點，故 A，P，D三點共線時有最小值，AP+12BP=AP+PD=AD=AC2+CD2=37.

變式1 例1的已知條件不變，求13AP+BP的最小值.

圖13變式 2 如圖13，在Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，⊙C 的半徑為 2，點 P 是⊙C 上一動點，求23AP+PB 的最小值.

變式3 變式2的已知條件不變，求AP+12BP的最小值.

圖14變式4 如圖14，已知在扇形OCD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一點，求2PA+PB的最小值.

變式5 在變式4的條件下，求PA+65PB 的最小值.