再談本原性問題驅動下的高中數學概念教學

【摘要】數學概念教學對于學生掌握數學概念、打好數學學習基礎有著非常重要的作用.“本原性問題”著重于建立數學思想和理解數學概念，用“本原性問題”驅動數學概念教學的基礎是教師對數學概念“基本要素”或“基本構成”的洞徹與把握.本文以復數概念的教學為例，對“本原性問題”驅動下的高中數學概念教學進行了初步探討.

【關鍵詞】高中數學;概念教學;本原性問題

一、“本原性問題”的提出與發展

“本原性問題”這一概念源于張蔭南、張奠宙兩位教授的文章《新概念——用問題驅動的數學教學》.[1]

對“本原性問題”概念的界定，目前主要有三種觀點：

（1）數學課堂中的“本原性問題”是指在數學課堂教學中師生互動、自然生成的原發性問題.[2]（下稱觀點1）

（2）哲學中的“本原性”是指一切事物的最初根源或構成世界的最根本實體.把這一概念借用到數學教育中來，“本原性數學問題”（或稱為“數學的本原性問題”）就表現為數學教學中數學問題的“要素”或“基本構成”.[3]（下稱觀點2）

（3）數學問題多種多樣.有些問題是波利亞式的——純粹數學問題，有明確的條件和結論，找準解題策略之后依靠技巧獲得解決.還有一種問題是數學本原問題，著重數學思想，建立數學概念，構造思想體系，形成數學思想. [4]（下稱觀點3）

這三種觀點從三種不同的角度刻畫了數學“本原性問題”，觀點1著重于課程論角度，觀點2著重于認識論角度，觀點3則從純數學的角度闡釋了這一概念.三種觀點之間不是矛盾關系，而是互相補充，互相支持.

二、復數概念的內涵分析

中學教材中對復數的定義如下：形如a+bi（a，b∈R）的數叫作復數.

對復數內涵的理解從形態特征方面講應當包含以下三個方面：

（1）對實數a，b的理解

它體現了復數域的繼承特點.復數是在實數基礎上構造的新數，因此復數的內涵與實數的內涵有共性，這個共性主要表現為復數可以是實數（當b=0時）.

（2）對i的理解

它體現了復數域的推廣特點.復數域之所以是對實數域的推廣，主要是因為引入了新數“i”，“i”的介入使得復數產生了不同于實數的形式和運算上的差異.

因此，在理解復數概念時，抓住對虛數單位“i”的理解也就抓住了復數概念教學的重點和難點.

（3）對“+”的理解

復數1+i絕不是同種數量的累計，也不是距離的和，此處的“+”既有實數中多項式加法運算的過程含義，又有通過符號“+”把實數“1”和虛數“i”組合起來表達二元數“1+i”的結果含義.從語義學角度看，復數就是“復合的數”.此處如果改用其他符號，如“”來表達這種復合關系，也沒有任何問題，之所以用“+”，是因為早期數學家（邦貝利）在還沒有完全了解復數性質的時候，主觀地認為復數運算與實數的多項式運算是完全相同的.

三、復數概念的教學設計解讀

1.復數概念引入應該尊重什么

許多研究者或教師認為復數概念的教學應當尊重歷史，認為復數產生于解三次方程，因此，在向學生講授復數概念時應當以解三次方程為例，否則就是不尊重歷史.復數概念的引入固然要尊重歷史，但是更要尊重認知科學和教育規律，還要正視不同學生群體的數學基礎差異和數學能力差異，這就是為什么我們在復數概念引入上“百花齊放”的原因.離開教學對象的現實情況進行教學設計必然是空中樓閣，只是看起來很美.

2.實數系到復數系的擴充為什么不能類比整數系到有理數系

自然數是“數”出來的，分數是“分”出來的.自然數和有理數的概念依據學生的認知經驗是可以理解的，因此，對自然數和有理數概念的教學可以運用概念同化的方式.

無理數的概念是超經驗的，因此不能如自然數一樣“數”出來，也不能像分數一樣“平均分”出來.[5]因此，無理數的概念不能由有理數“同化”出來，只能采用概念形成（概念順應）的方式來學習.為了幫助學生更好地形成無理數的概念，無理數的幾何表示（邊長為1的正方形的對角線）顯然是必不可少的.因此，無理數概念雖然不能用代數方法“數”出來或“分”出來，但它可以用幾何方法“畫”出來，從而使無理數概念的學習有了好的理解平臺.

顯然，虛數概念也是超經驗的，不可能利用實數概念“同化”虛數概念，而且虛數也不可能像無理數那樣用幾何法“畫”出來，這就構成了虛數（復數）概念教學的一個重點.另外，復數與“整數”“有理數”“實數”有本質上的不同，之前所學的數都是一元形式，而復數是二元形式，這種特點構成了復數概念教學的第二個重點.

學習復數概念時，困擾學生的有兩個問題：（1）為什么用“i”表示-1的一個平方根？（2）數的形式由一維形式如何發展到二維形式？

因此，復數概念的教學有兩個難點需要突破：（1）為什么要繼續擴充實數系（擴充的必要性是什么）？

（2）為什么把復數表述成“a+bi”的形式（擴充的合理性是什么）？

四、基于“本原性問題”驅動的復數概念的教學設計

文獻2中提到復數概念教學中通過整體思維中的“悖論”為復數的發現提供“本原性問題”，筆者對這一說法是贊同的，因為它體現了文獻3中的理念：“每一個數學概念都有其產生、形成并不斷完善的過程.概念教學中，如果把教學活動設計成類似于數學家提煉概念并不斷完善數學概念的過程，可以發展學生深層次的概念理解，可以使數學教學中‘過程和結果并重.”但僅僅到這里，用“本原性問題”驅動數學教學的目標并沒有完全達到，因為到此只解決了一個問題：為什么要繼續擴充實數集？接下來需要進一步解釋擴充的合理性.下面的教學實錄是筆者采用中國傳統的“鋪墊”（過程性變式）理論獲得的.

【片段1】

師：我們知道自然數集N={0，1，2，3，…}中的數除了用于記數外，還可以進行運算，如通常的加法和減法運算.你們能舉一些自然數加減法運算的例子嗎？

生：加法：3+5=8，5+5=10，…

減法：3-5=-2，5-5=0，…

師：我們發現兩個自然數相加一定是自然數，而兩個自然數相減卻不一定是自然數，這說明兩個自然數相減以后可以產生一些不同于自然數的新數，為了表示這些數，我們引入符號“+”“-”，從而引入新數：負整數.將它和自然數合在一起，由此完成對數集N的擴充：Z={0，SymbolqB@1，SymbolqB@2，SymbolqB@3，…}.

該過程說明三個問題：

（1）數的擴充是為了滿足運算的需要（為數的擴充找到一種必然性）.文獻6中稱之為“進步性”.[6]

（2）新數的產生通過引進新的數學符號來完成（為解釋為什么用“±i”表示-1的平方根做鋪墊）.文獻6中稱之為“引新性”.

（3）新數與原來的數形成新的數集Z，保留了原來對加法和乘法運算的性質的同時，增加了對減法運算的性質（a，b∈ZSymbol^C@ a+b，a×b∈Z，且a-b∈Z，為進一步學習復數的運算法則找到必然性）.文獻5中只談到與原運算的一致性，其實此處運算也“進步”了.

【片段2】

師生互動：Q？R.

師：為什么要把有理數集Q進一步擴充？

生：因為有理數開方運算的結果不一定是有理數，如2的平方根.

師：為了表示這些非有理數，教材中是如何處理的？

生：引入符號“ ”表示開平方產生的非有理數，如 2.

師：這種非有理數并不是剛一出現馬上被人接受的，所以達瘙簚芬奇把“2”這樣的數稱為“無理的數”，這就是無理數名稱的由來.

此處進一步強化數集擴充的必要性——運算的需要，強化數集擴充的基本思路——引入符號表示新數，為學生理解用“i” 表示-1的一個平方根做進一步鋪墊.

通過數軸表示每次所產生的新數的位置，當實數充滿數軸后，把數的范圍擴展到平面就水到渠成了，難點（1）不攻自破.

師：負數不能開平方，是因為我們規定任何實數的平方都是非負數，負數開平方的結果不是實數，因而不能用實數表示.如何解決負數的開平方運算問題呢？

生：引入符號來表示負數的平方根.

師：我們知道若a<0，則a=（-1）（-a），由于（-a）的平方根可求，所以只要找到-1的平方根，即解方程x2=-1，即可求出任意負數的平方根.根據前面的學習我們知道，假設-1的平方根是存在的，則它一定是我們沒有見過的新數，為了表示它，我們必須引入符號.

生：但初中數學老師一直告訴我們負數沒有平方根.

師：對，正如無理數概念的產生一樣，17世紀德國天文學家開普勒稱-1的平方根為“不可思議的、虛幻的、虛構的數”，因而數學家笛卡兒就用英文單詞“imaginary”的第一個字母來表示-1的一個平方根.

以上三個片段合起來構成了教學中的有層次的推進（鋪墊），這種推進是靠有效的問題產生動力的，其在不斷強化兩個數學思想：（1）為什么要推廣數集產生新數？（完善運算的必要性）（2）新數是如何用數學方法構建的？（引入新符號表示新數的合理性）從而為解決難點（2）鋪平了道路.

結 語

“本原性問題”能夠驅動學生深刻理解并掌握數學概念，它不同于情境教學，也不同于問題解決，但它也不排斥情境教學和問題解決等教學模式，它只是強調數學教學是對數學思想和數學概念的教學，強調從數學概念本身的角度來設計教學，而不是從解決數學問題獲得數學技能的角度或者其他角度設計教學.

【參考文獻】

[1]張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅動的數學教學[J].高等數學研究，2004（03）：8-10.

[2]徐文彬，楊玉東.“本原性問題”及其在數學課堂教學中的應用[J].數學教育學報，2005（03）：14-16.

[3]楊玉東，李傳峰.用本原性問題驅動數學概念教學——以高一數學“函數單調性”為例[J].中學教研（數學），2006（01）：1-5.

[4]張奠宙.教育數學是具有教育形態的數學[J].數學教育學報，2005（03）：1-4.

[5]張奠宙，王華，司擎天.無理數教學三人談：超經驗數學研究之一[J].數學教學，2015（08）：封二-2.

[6]王克亮.思想與文化并重 探究與體驗并行：再上“數系的擴充”的體會與感悟[J].中學數學教學參考（上旬），2013（1-2）：17-20.