圓錐曲線極值求解方法的比較分析

劉蓓 趙世恩

【摘要】在中學和大學階段的解析幾何學習中，經常會涉及一些求極值的問題.圓錐曲線的知識點繁多、復雜，求解圓錐曲線極值時，綜合性強、難度較大，這導致學生對圓錐曲線極值求解的問題常感到束手無策.該類問題考查學生綜合運用數學知識、數學思想的能力.本文首先通過典型題目，對圓錐曲線的極值問題的求解方法和過程進行探究，然后對其運用的數學思想進行深入的剖析，最后通過比較中學和大學階段對于解決圓錐曲線極值問題的共同點和差異點，促進學生在數學知識體系上的運用和銜接.【關鍵詞】高中數學;高等數學;極值點;拉格朗日乘數法

1 引言

圓錐曲線極值問題可以幫助學生理解算法的由來、培養學生的數學運算思維、提高學生的計算能力.學生進行中學初等數學的學習時，可運用二次函數法、圓錐曲線基本定義對題目做最簡單的分析.

大學高等數學的極值求解問題早已形成了成熟的數學理論.求解曲線的極值存在難度是因其中一些參數存在各種約束條件，并不直接給出;求解條件極值常與微積分相聯系，通過轉化為求輔助函數的普通極值構建相關數學模型.

2 圓錐曲線極值求解的數學方法與思路

本文將通過兩道例題以及高中、大學教材中對于極值求解問題知識點的對比分析和方法運用，展開對中學、大學階段的圓錐曲線極值問題的解題方法、策略和蘊含的數學思想方法進行深入的剖析.結合實例參照拉格朗日乘數法對幾種方法加以對比，找到解析幾何在中學、大學階段的異同之處.

2.1 中學階段學生對圓錐曲線極值求解的認知水平

中學階段的解析幾何題目具有很強的規律性，若想求出目標函數與已知圓錐曲線的極值點之間的隱含的等量關系，需運用方程思想聯立曲線與直線方程得到交點.在求解圓錐曲線的最值、定值等難題的過程中，學生需靈活掌握：

（1）直線與圓錐曲線的三種位置關系：相離、相交和相切;（2）從代數角度，根據直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個數確定位置關系;（3）熟記平面解析幾何弦長公式、韋達定理及相關定義，并能夠靈活運用.

2.2 大學階段學生對于圓錐曲線極值求解的認知水平

大學的高等數學中的解析幾何不再僅僅是圖形分析，而是利用拉格朗日乘數法上升到了空間層面，加強了空間想象能力，構建了完整的數學體系;在中學解方程組的基礎上學生要能夠自己構建輔助函數，同時大學階段的高等數學加強了對多元函數、隱函數的理解，要求學生提高求解聯立方程組的能力.

求解圓錐曲線極值問題在中學與大學階段運用數學概念和方法的比較見表1.

3 圓錐曲線極值求解方法的異同

求解中學數學直線與圓錐曲線的位置關系，可歸結為求解直線與圓錐曲線的交點問題，抓住變化的量，將幾何問題轉化為代數問題，從而正確解題.

高等數學和初等數學的最大區別首先在于高等數學是以變量為研究對象，而初等數學是以常量為研究對象的.其次初等數學的解題方法技巧性強，但高等數學強調的是思想、概念，追求的是統一的方法，具有較強的工具性.

在圓錐曲線的極值求解的題目中，很多條件通過隱含條件推導出來，故而出現多種變量，多次方程，同時計算量加大，但是若能清晰地知道其中的由來，理清思路，正確計算輔助方程，解題就會容易很多.學生要學會運用不同的方法分析、總結同一類問題， 這樣便可以找到最佳的解題路徑， 提高效率.

4 結論

不論是中學數學還是大學數學的解題方法都反映了解析幾何的本質——幾何問題代數化.學生在高中數學學習中通過對類似于這類問題的深度探究，不僅可找到解決此類問題的關鍵數學思想——坐標化和運動變化，而且可以提高其對極值求解的綜合運用能力.

中學求解極值的方法在解答圓錐曲線一類問題時具有一定的基礎性，大學中的曲線方程的極值求解則更具有一般性、系統性.教師唯有讓學生以更寬廣的思維去理解高中數學課程下“圓錐曲線”的知識內容，才能激發學生的思考方式，從而幫助學生在深層次上掌握和運用數學知識，提高學生分析、解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]劉紅梅.對大學數學與高中數學課程內容的銜接問題的思考[J].南昌教育學院學報，2011（06）：46-47.

[2]黃如炎.把握本質規律 走出教學困境：2018年高考解析幾何試題分析與教學建議[J].中學教研（數學版），2018（10）：30-35.

[3]張玉勛.圓錐曲線極值問題的解題技巧[J].數學學習與研究，2017（10）：147.

[4]陳偉軍，南志杰，徐春芬.大學數學與高中數學課程內容的銜接[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2011（05）：80-82.

[5]石小麗. 高中數學圓錐曲線教學現狀分析及其研究[D].杭州：杭州師范大學，2011.

[6]王玉芳.應用初等數學方法求解極值問題[J].高等數學研究，2012（03）：31-34.

[7]朱永強.高等數學和初等數學解題方法在極值問題中的應用[J].科技咨詢導報，2007（14）：247.

[8]劉玉璉，等.數學分析講義：第五版[M].北京：高等教育出版社，2008.

[9]王金戰.數學是怎樣學好的[M].長春：吉林教育出版社，2011.