基于核心素養的問題教學法在數學概念課中的應用

彭文春

【摘 要】本文以廣西高中數學優質課《平均變化率問題》為例，闡述在教學中設計問題，以問題帶動和引導學生掌握概念，從而培養學生學科核心素養的策略。

【關鍵詞】高中數學 概念課 問題引導 核心素養

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）26-0116-03

新高考改革即將到來，如何在課堂中培養學生的學科核心素養是我們一線教師需要長期探索的一個課題。在數學概念課教學中如何培養學生的學科核心素養是非畢業班教學的重點。數學概念課教學應以問題為主線，以問題帶動和引導學生掌握概念，從而培養學生學科核心素養。本文以廣西高中數學優質課《平均變化率問題》為例，分四個環節闡述在概念課教學中以問題為主線培養學生的核心素養的方法。

一、巧設情境，導出問題，激發學生探究的興趣

尊重學生認知的規律，巧妙創設情境，從情境中提出問題，激發學生學習興趣，能使一節課“活”起來。一節好的概念課離不開巧妙的情境創設和有效的問題導出。

上課開始，教師在 PPT 中呈現一幅正在升起的五星紅旗畫面。這是建國 70 周年國慶大閱兵的場景。接下來讓學生欣賞一段國慶慶典晚會《奮斗吧，中華兒女》視頻片段。視頻展示中國幾十年來服務業增長、貨物進出口總額增長、外匯儲備增長、人均可支配收入增長等條形圖。讓學生注意觀察視頻中出現的條形圖（如圖 1）。

設置問題：“思考下面哪個時間段人均可支配收入增長最快？是 1990—2005，2005—2015 還是 2015—2017？”讓學生討論，這時大多數學生能根據圖象進行直觀判斷。教師對學生的回答給予肯定并作恰當的引導，然后示意學生通過動手計算來驗證自己判斷的準確性。學生在運算過程中有可能計算錯誤，或者是直接將末年支配收入減去首年支配收入。這個時候需要老師用啟發式的問題進行引導：“你覺得直接用減法來進行判斷對不對呢 ？因為前面兩個間隔 5 年，最后一個間隔 2 年。”由此學生容易想到應該計算每年平均增長值才是正確的。利用問題讓學生初步有了計算平均值的意識，為下面的學習作鋪墊。

通過新中國成立 70 周年國慶慶典場景的設計，課前導入讓學生眼前一亮，激發學生的興趣。在計算平均值的過程中巧設并利用問題一步一步地啟發學生進行思考，使學生充分理解求平均值的必要性，使整節課的開頭自然而和諧。

二、哲理思辨，巧設問題，用課本實例培養學科核心素養

一節好的概念課必須充滿哲理思辨、環環相扣，巧設問題、承上啟下、過渡自然。要做到哲理思辨，巧設問題，就要做到思想的錘煉、語言的揣摩和問題過渡的自然。

在引入課本內容時，教師用語言巧妙過渡。“世界上的所有事物都是在運動變化的，它們可能表現在量的變化、形狀的大小變化，或者速度的快慢變化等上面。剛才我們研究了量的變化，接下來我們來研究形狀的大小變化”，從而自然地導入學習的第一個問題“氣球膨脹率問題”。

為了讓學生更深刻地體會，教師讓學生動手做一個打氣球的實驗。教師拿出氣球與 3 個打氣筒，請三位男生上來實驗。第一位男生打氣 5 下，第二位男生打氣 10 下，第三位男生打氣 15 下。學生打完氣扎好氣球后并排站在同學們前面。教師讓學生觀察這三個氣球，并提問：“你有什么發現嗎？”啟發學生發現隨著氣球體積的增大，半徑增加得越來越慢的現象。為了能從數學的角度來描述這個現象，教師在此處恰當地拋出一個問題引導學生進行探究。

如果我們把氣球看作一個球。打氣 5 下的體積為 1 L，氣球沒打氣時的體積 v0=0 L，半徑 r0=0 dm;打氣 5 下體積 v1=1 L，半徑 r1≈0.62 dm;再打氣 5 下，體積 v2=2 L，半徑 r2≈0.78 dm;繼續打氣 5 下，體積 v3=3 L，r3≈0.85 dm。那么，我們如何用數字來描述剛才發現的這個現象呢？

這時，教師讓學生小組合作探究并通過數據展示的方式證明自己的發現：當半徑的差除以體積的差時，得到的數據越來越小，從而說明氣球半徑增加的速度越來越慢。

解決了第一個實例之后，教師再過渡：“剛才我們研究了物體形狀的大小變化，接下來，我們再一起來研究物體運動速度的快慢變化。”從而自然地引出課本的第二個實例：我們國家的跳水隊是中國的夢之隊之一，下面我們來欣賞一段高臺跳水視頻。請大家邊看視頻邊思考，如果把運動員看作一個質點，那么她在空中的運動軌跡是什么呢？

教師在此處播放一個 10 秒的小視頻，并在播放前給學生交代任務，讓學生帶著任務有目的地觀看視頻。播放完北京奧運會女子雙人 10 米跳臺跳水賽視頻后，教師讓學生回答前面提出的問題。學生都能理解跳水運動員在空中運動的軌跡類似二次函數圖形。教師再引出問題：

在跳臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度 h（單位：m）與起跳后的時間 t（單位：s）存在函數關系：h（t）=-4.9 t2+6.5 t+10，如何計算 0≤t≤0.5 與 1≤t≤2 兩個時間段的平均速度？

設計這兩個時間段是讓學生在計算中發現產生負數從而引導學生認識速度有正負之分，并引出在計算速度的增量的時候要給式子加上一個絕對值。通過與學生一起體驗教材中的兩個實例，教師以問題的形式引導學生計算平均變化率，為自然生成平均變化率的概念作重要的鋪墊。

在這個環節中，設計語言的過渡尤為重要，它能使整節課自然而順暢。在引導學生認識平均變化率時，需要教師反復揣摩學生在體驗及自我探究的過程中可能會出現的種種困難，需要教師能夠預測并能及時解決。例如，學生在計算實例一的氣球平均膨脹率時，對是半徑之差除以體積之差，還是體積之差除以半徑之差容易混淆。這是對膨脹率的概念理解不透徹造成的，教師要善于在此處加以引導。教師在學生探究的過程中還要注意使用恰當的語言進行激勵，肯定學生的表現，讓學生熱愛探究并敢于表達自己的觀點。張景中先生說“用數學的眼光看世界”，數學來源于生活而高于生活，從哲學的角度出發把創設的情境與課本中的兩個實例貫穿起來，使整節課顯得自然。在這一環節中，教師還應注重引導和鼓勵學生參與并體驗活動，自己動手，通過探究自主解決問題，培養學生發現問題、解決問題、計算能力等數學核心素養。

三、總結歸納，解決問題，鞏固對概念的理解

在一節數學概念課教學中，教師應該先讓學生體驗、感受概念提出的必要性，然后才引出概念，并指導學生歸納概念的準確含義。

本節課通過“氣球膨脹率”與“跳臺跳水”兩個生活中的實例，讓學生充分地感受平均變化率的真實含義。教師在此做恰當的引導，歸納得到平均變化率的定義。實例中的變化率可用式子? 表示，我們把這個式子稱為函數 y=f（x）從 x1 到 x2 的平均變化率。習慣上我們用 ?x=x2-x1，相對應的 ?y=y2-y1，于是平均變化率可以表示為：。歸納出平均變化率的計算公式之后教師可以在此處設計問題：“思考式中對 ?x 和 ?y 的范圍有要求嗎？”由于公式是以分式的形式出現，學生能夠快速地考慮到因為 ?x 為分母，所以不能等于 0，但可正可負;?y 可正、可負，也可以等于 0。教師趁熱打鐵，再與學生一起總結求平均變化率的主要步驟。

概念的形成是否讓學生有深刻而準確的認知，是衡量一節概念課教學前兩個環節是否成功的重要標準。在概念形成之后，本節課還在此處設計四道選擇題，目的主要是加深對概念“變化率”中的關鍵詞“平均”“函數值的增量”的理解。

四、巧設角度，拓展探究，學以致用

拓展概念是一節概念課升華的部分，也是最后一個環節。概念的升華往往涉及能力的轉移或者是為下一個探究的課題作必要的鋪墊。這個環節起到了畫龍點睛的作用。本節課在這個環節設計了兩個探究題。

〖探究一〗畫出函數 y=f（x）的圖象，并展示平均變化率的式子。提問：從幾何的角度看，它和我們前面學習過的哪個公式的結構相似呢？平均變化率又可以看成什么呢？

讓學生觀察平均變化率的式子 ，結合函數 y=f（x）的圖象，從幾何的角度，學生不難看出，它表示割線 AB 的斜率，這就是平均變化率的幾何意義。

〖探究二〗利用剛才的第二個實例，讓學生計算在跳臺跳水中運動員在? 這段時間里的平均速度，并思考運動員在這段時間是否靜止？用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題。

在此處學生計算有困難，畢竟有些學生在計算能力方面不是強項。教師可以提醒學生通過觀察圖象來解決問題。由于二次函數圖象關于對稱軸對稱，而? 恰好關于對稱軸對稱，學生把數據代入式子可以發現分子上的兩個因式相反，合為 0，于是便能快速地算出來。接著提出問題：“ 是不是說運動員在這段時間里是靜止的呢？”學生顯然覺得不是。“看來用平均速度描述運動員的運動狀態不準確，那么用什么來描述物體的運動狀態更準確呢？”由此問題引出“瞬時速度”。“如何求瞬時速度呢？”由于前面已經有了平均變化率的公式，學生不難想到只要使時間差不斷地趨近于 0 即可。“既然瞬時速度是使時間差不斷地趨近于 0，那么我們繼續探究：當點 B 逼近點 A 時，即 ?x→0 時，割線 AB 會有什么變化？此時的平均變化率又表示什么呢？”這樣的問題既能培養學生數形結合的思想，又能讓學生感知解決問題方法的多樣性，開闊學生的思維。之后，教師利用幾何畫板進行動態展示，學生通過觀察很快發現，隨著點 B 不斷地靠近點 A，割線 AB 逐漸變成點 A 處的切線。此時的平均變化率成為點 A 處的瞬時速度。由于 ?x→0，分母不斷趨近于 0。運用前面所學知識已經無法解決，從而引出了導數。本節課的最后為下一節課導數的概念做了必要的鋪墊。

第四個環節的兩個探究緊密聯系，側重培養數形結合思想和觀察能力。數形結合思想是數學中重要的思想，通過觀察圖象讓數學問題形象化，從而為解決問題提供了更多的方法，讓探究變得易于操作。動態的幾何畫板展示體現了數學的美，增加學生的興趣，培養學生數形結合的核心素養。

一節數學概念課教學，教師在備課與磨課的過程中應該注重設計，并引導學生去探究。設計問題的手段可以是播放視頻、游戲、模擬實驗等，學生在探究過程中可以采用小組合作探究、實驗探究等方式。教師在學生探究的過程中通過問題的引導讓學生的思維碰撞出火花，并在引導學生的過程中注意使用鼓勵性的語言激發學生往下探究的興趣。以問題引導學生收獲知識并培養數學學科素養是需要一線教師不斷探究并實踐的課題。教師要通過問題引導，使學生不斷地探究，從而上好每一節概念課。

【參考文獻】

[1]楊興剛.數學文化背景下基于數學核心素養的“平均變化率”教學設計[J].數學教學研究，2017（11）.

（責編 盧建龍）