數(shù)學開放題的起源、價值與運用

摘要 數(shù)學開放題是時代發(fā)展的產(chǎn)物。本文首先介紹數(shù)學開放題的起源，闡述數(shù)學開放題在中國的發(fā)展歷程;之后描述數(shù)學開放題的教育價值;最后從命題要素角度研究中考中的數(shù)學開放題，分析了開放題的特征和解題思路，為豐富和發(fā)展數(shù)學開放題提供參考。

關(guān)鍵詞 數(shù)學開放題 創(chuàng)造思維 創(chuàng)新精神

數(shù)學開放題是日本學者最早提出的一種題型，英文名是“Open-Ended Problems”。如果數(shù)學題是一個系統(tǒng){y，o，p，z}，y代表問題的條件、o代表問題的依據(jù)、p代表解決問題的策略、z代表問題的結(jié)論，在這四個元素中若有三個元素是未知的題稱為問題性題、有兩元素是未知的題稱為探索性題，那么問題性題與探索性題統(tǒng)稱為數(shù)學開放題。近年來，我國在結(jié)合“四基”“四能”和數(shù)學核心素養(yǎng)的教學中，設(shè)計了許多數(shù)學開放題。

一、數(shù)學開放題的起源

1971年以日本島田茂為首的學者群體，首先共同探究了“開放式結(jié)尾（open-ended）問題”。1977年該專家組在研究報告《算術(shù)·數(shù)學課的開放式問題——改善教學的新方案》中第一次采用“數(shù)學開放題”這個概念，并推介“數(shù)學開放教學方法”。1980年第四屆國際數(shù)學教育大會在美國伯克利召開，美國參會數(shù)學教育專家在大會討論中慎重宣布20世紀80年代中學數(shù)學教學的核心是“問題解決”。自此，數(shù)學教育中的“問題解決”日益受到人們重視，而在“問題解決”教學中以數(shù)學開放題為載體，被廣泛應(yīng)用在美國的中小學數(shù)學教學中。1998年第一屆東亞國際數(shù)學教育大會在韓國首爾舉行，倡議借鑒開放題創(chuàng)建新的教學方式，幫助提高學生的創(chuàng)新能力與培養(yǎng)學生的主體精神。

1980年日本學者澤田利夫在《外國教育》發(fā)表了論文《從“未完結(jié)問題”提出的算術(shù)·數(shù)學課的教學的方案》，這是第一篇涉及數(shù)學開放題的文章出現(xiàn)在我國期刊上。1984年浙江教育學院的戴再平老師在三所學校測試數(shù)學開放題，結(jié)果表明數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能的簡單累積和發(fā)展學生的創(chuàng)新思維沒有必然的聯(lián)系[1]。1988年王慧斌老師在《外國教育資料》發(fā)表了《數(shù)學教學的新方法——開智法簡介》、王凝老師在《課程·教材·教法》發(fā)表了《中小學數(shù)學的開放性教學評介》。1990年胡林瑞老師對初中和高中學生進行數(shù)學開放題的比較教學實驗。1993年戴再平老師又在浙江省的五所中學實施數(shù)學開放題的教學實驗。1996年全國教育科學規(guī)劃重點課題《開放題——數(shù)學教學的新模式》正式立項。開放題方法不唯一、答案多樣化，能夠發(fā)展學生的創(chuàng)造思維、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，這與1999年我國提出實施的新一輪基礎(chǔ)教育課程改革理念一致，極大地推動了新課改。

二、數(shù)學開放題的價值

1.有利于培養(yǎng)學生學習數(shù)學的信心

數(shù)學開放題教學讓學生經(jīng)歷問題解決過程，學生感到自己是一個探索者，能夠激發(fā)學習的興趣。由于無參考解決模式，探究過程多側(cè)面，結(jié)果不唯一，所以學生的認知結(jié)構(gòu)在研究中實現(xiàn)了重建，同時學生探究問題更接近思維的最近發(fā)展區(qū)，能促進更深入的思考。在寬松的學習環(huán)境里，點滴進步使學生不斷累積成功的喜悅，內(nèi)心深處將逐漸增強信心，對學生后續(xù)的學習與發(fā)展產(chǎn)生了積極的影響。教師的適時引導(dǎo)，啟發(fā)學生大膽質(zhì)疑、猜測，學生的被動地位徹底顛覆，學生的主體性得到了完全的展示，從而培養(yǎng)了學習數(shù)學的信心。

2.有利于提高學生的探究能力

數(shù)學開放題教學能做到知識縱橫貫通，思維或發(fā)散或收斂，是提高學生數(shù)學能力、培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效方式。在教學中，既有原始的感性思維，也有抽象的理性思維，更重要的是發(fā)展了批判思維。有了批判思維，在學習中學生能夠自覺地思考一切可能的情況，不斷探索，不斷否定，去偽存真，就能獲得獨特的解決問題方案。同時在問題解決中能夠再引出新問題，得出更一般的結(jié)論。數(shù)學開放題教學提供了學生交流、共享智慧的合作平臺，使知識的接受過程變?yōu)橹R的共生共長過程。在這種學習氛圍中，實現(xiàn)了各種思想的碰撞，這是增強學生創(chuàng)造力、提高學生探究能力的重要途徑[2]。

3.有利于促進學生形成創(chuàng)新意識

創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是國家發(fā)展的不竭動力。數(shù)學開放題教學不完全告訴學生問題的條件、結(jié)論或方法，要求學生借鑒多種方式如觀察、猜想、分析、歸納、論證等，自己得出條件、結(jié)論或方法。數(shù)學開放題教學，引導(dǎo)學生從不同角度掌握、應(yīng)用數(shù)學知識，主動搭建知識之間的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系，這樣在面對復(fù)雜問題時更容易激活數(shù)學思維。數(shù)學開放題激發(fā)了學生的求知欲，發(fā)展了學生的發(fā)散性思維，從而形成了學生的創(chuàng)新意識。開放題教學還要求根據(jù)已解決、未解決的問題，再提出新問題，對新問題的進一步探索，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神。

三、數(shù)學開放題的類型及運用

根據(jù)分類標準的差異，數(shù)學開放題有不同的類型。從命題要素角度，可以分為條件開放型、結(jié)論開放型、方法開放型、綜合型。從內(nèi)容角度，可以分為數(shù)與式開放題、函數(shù)開放題、幾何開放題、綜合性開放題。不管如何分類，數(shù)學開放題都有顯著的特征，如條件的不完備性、過程的探究性、解決的層次性、思維的發(fā)散性等。

2000年教育部發(fā)布《關(guān)于初中畢業(yè)、升學考試改革的指導(dǎo)意見》，指出編制數(shù)學試題要求有“開放性問題”，于是開放題在各地中考中成為必考試題[3]。現(xiàn)在從命題要素角度以近幾年中考數(shù)學開放題為例，分析各類開放題的特征及解題思路。

1.條件開放型

確定問題結(jié)論，讓學生分析要推出此結(jié)論成立需要滿足的條件，而結(jié)論成立的條件又有多種，此類題是條件開放型試題，這類開放題多以填空題形式出現(xiàn)。

例1 已知四邊形ABCD是平行四邊形，若點E在邊BC上、點F在邊AD上，連接AE、CF，請從三個備選條件中，選擇一個恰當?shù)臈l件，使四邊形AECF是平行四邊形，并予以證明，備選條件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD。選擇添加的條件是：__________。

分析：首先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，還有AF∥CE，要使四邊形AECF是平行四邊形，探索還需要添加一個給定的條件。結(jié)合顯性和隱性條件，然后分三種情況討論能否推理出四邊形AECF是平行四邊形。

點評：本題利用了分析綜合等數(shù)學思想方法，能夠提高學生分析問題和解決問題的能力[4]。

解條件開放型題的一般思路是：從已知結(jié)論開始，執(zhí)果索因，探尋條件，不斷篩選，最終得到符合要求的條件，這是一種分析型思維方式。

2.結(jié)論開放型

給出問題的條件，讓學生根據(jù)條件研究可能推出的所有結(jié)論，并且可能的結(jié)論是多樣的，此類題是結(jié)論開放型，這類開放題多是解答題。

例2 如圖1，直線AC∥BD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分。當動點P落在某個部分時，連接PA，PB構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角。

（I）當動點P落在第①部分時，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD;

（II）當動點P落在第②部分時，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

（III）當動點P落在第③部分時，全面探究∠APB，∠PAC，∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動點的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論，選擇其中一種結(jié)論加以證明。

分析：要確定給定的三個角的數(shù)量關(guān)系，顯然要根據(jù)平行的性質(zhì)先找出其中任意兩個角或部分角的數(shù)量關(guān)系，再通過純粹數(shù)學運算確定這三個角的數(shù)量關(guān)系。可以直接利用已有的平行關(guān)系，也可以再構(gòu)造平行分割角去解決。問題（I）和（II）比較簡單，為后面的問題奠定了基礎(chǔ)。關(guān)鍵是問題（III），要先確定一個討論標準，保證能夠涉及所有情況，既不重復(fù)，也不遺漏，如圖2。

點評：本題利用了類比歸納等數(shù)學思想方法，可以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，提高學生的抽象概括能力。

解結(jié)論開放型題的一般思路是：觀察、分類、歸納，全面研究各種可能情況，最后再論證給出判斷，屬于類比歸納型思維方式。

3.方法開放型

思維方式與解決辦法不唯一，此類題是方法開放型，這類開放題一般出現(xiàn)在閱讀題中。

例3請你創(chuàng)作一個故事情境，故事中出現(xiàn)的一對變量x、y滿足圖3的關(guān)系，要求：

（I）說明變量x和y的含義;

（II）根據(jù)圖3中的數(shù)據(jù)描述這對變量變化過程的實際意義，需要涉及“速度”這個量。

分析：首先觀察圖象，通過數(shù)據(jù)分析，可以得到整個過程分三階段。第一階段y隨x均勻增加，第二階段y穩(wěn)定不變，第三階段y隨x均勻減少。然后結(jié)合實際問題給出變量x和y的含義。最后由于要涉及“速度”這個量，充分直觀想象只要準確描述時間及路程的變化關(guān)系即可。

點評：本題利用了數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法。對于此類問題，要求學生思維敏捷，敘述要準確，符合生活現(xiàn)實。

解方法開放型題的一般思路是：理解題意，分析、想象和選擇，結(jié)合生活經(jīng)驗，使數(shù)學模型合理化和最優(yōu)化，這是一種發(fā)散型思維方式。

4.綜合型

條件、結(jié)論、方法中至少有兩項不確定，需要學生根據(jù)給定的信息，按照題目具體要求進行解答，此類題是綜合型。這類問題往往僅提供較少的條件，需要完善條件，設(shè)計結(jié)論，并要求論證。

例4如圖4，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，點A、B、C、D在同一直線上，有三個關(guān)系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF。

（I）請用其中兩個關(guān)系式作為條件，另一個作為結(jié)論，寫出你認為正確的所有命題;

（II）選擇（I）中你寫出的一個命題，說明它正確的理由。

分析：要分類討論。如果①②，那么③，命題成立;如果①③，那么②，命題成立;如果②和③，那么①，是假命題。

點評：此題利用了分類討論等數(shù)學思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學嚴密的邏輯性這一重要特征。

解綜合型題的一般思路是：掌握關(guān)鍵點，積極發(fā)散思維，不斷優(yōu)化思路和方法，這是一種綜合型思維方式。

簡單的題型和單一的測試目標約束了學生的思維，阻礙了學生的發(fā)展，開放題是時代發(fā)展的產(chǎn)物。解數(shù)學開放題時，要進行觀察、分類、抽象、歸納，猜測條件、結(jié)論或方法，再推理論證，得到結(jié)果;要運用分析綜合、數(shù)形結(jié)合、分類討論、數(shù)學模型等數(shù)學思想方法[5]。數(shù)學開放題作為具有時代特征的新題型，它代表著一種新的教學發(fā)展方向，可以發(fā)展學生的創(chuàng)造思維、培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)、養(yǎng)成學生的創(chuàng)新精神。

參考文獻

[1] 戴再平.數(shù)學習題理論[M].上海：上海教育出版社，1996.

[2] 張俊忠.數(shù)學史融入初中數(shù)學教育的研究[D].武漢：華中師范大學，2015.

[3] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2011.

[4] 克萊因.古今數(shù)學思想[M].上海：上海科學技術(shù)出版社，2009.

[5] 張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育學概論[M].北京：高等教育出版社，2016.【責任編輯? 郭振玲】