在整體把握對應關系中發展學生空間觀念

董文彬

摘? ? 要?? ?圓柱與圓錐是小學數學圖形與幾何領域認識的最后一組立體圖形，在全面認識立體圖形的本質特征中發展空間觀念是整個單元教學的核心。針對圓柱與圓錐這一組含有曲面的、特殊的立體圖形，可以著重從運動視角立體刻畫圖形關系、從多元角度全面認識圖形特征、從圖形測量整體把握對應關系三個方面探討如何在立體圖形不同維度的變形轉換的認識中深入發展學生的空間觀念。

關鍵詞? 圓柱與圓錐 本質特征 對應關系 整體把握 空間觀念

圓柱與圓錐是小學階段圖形與幾何領域認識的最后一組重要的立體圖形。無疑，在認識立體圖形的本質特征中發展學生空間觀念是整個單元教學的重點。那么，圓柱與圓錐作為小學數學中一組含有曲面的特殊的立體圖形，如何全方位、多角度、多層次地整體把握它們的本質特征，如何在不同維度的變形轉換中尋找對應關系以發展學生的空間觀念，進而更深刻地達成對這兩種立體圖形本質特征的再認識，是我們在單元備課視角下要著重思考的命題。

一、從運動視角立體刻畫圖形關系，發展空間觀念

學生在小學階段深入認識與研究立體圖形一共有兩次，一次是五年級下冊學習“長方體和正方體”，一次是六年級上冊學習“圓柱與圓錐”。但仔細研讀北師大版教材，會發現一個十分有趣的現象：學生在開始認識長方體和正方體時是直接從實物抽象出概念直觀圖，再認識長方體、正方體面、棱、頂點的特征，而在認識圓柱與圓錐的特征時卻是從面的旋轉的角度開始認識的。

那么圓柱與圓錐的認識為什么要首先聚焦于面的旋轉呢？這樣的編排對學生認識圓柱與圓錐有什么好處呢？以往認識圖形都是從靜態的角度開始認識的，圓柱與圓錐的認識是從動態的角度認識圖形，從靜態到動態這樣的認知過程能夠幫助學生更加整體地認識圖形之間的關聯。一來通過點動成線、線動成面、面動成體的學習，可以幫助學生基于圖形元素的視界立體感悟點、線、面、體之間的聯系，從運動的視角整體把握圖形之間的關系;二來通過長方形繞某一軸線旋轉形成圓柱、直角三角形繞某一軸線旋轉形成圓錐，讓學生經歷不同平面圖形借助旋轉運動形成幾何體的過程，在觀察、想象與操作中感悟幾何體的形成過程，體會面與體之間的聯系，更有助于深度刻畫平面與立體圖形之間的關系。在此基礎上進一步深化對圓柱與圓錐各自的結構特征的認識，對學生來說這樣的認知視角是不一樣的，更有利于學生基于想象從關系的視角發展空間觀念。

二、從多元角度全面認識圖形特征，發展空間觀念

對于認識圖形來說，從靜態到動態這兩種視角缺一不可，圓柱與圓錐也是一樣。認識圓柱與圓錐，必須要讓學生經歷從現實世界的實物到數學世界的概念直觀圖的抽象過程，然后從整體辨認到局部刻畫進一步認識二者的結構特征。

基于圓柱與圓錐作為含有曲面的立體圖形的特殊性，筆者認為要從整體上達到對圓柱與圓錐的深刻認識，需要從以下四個角度全面認識圓柱與圓錐的特征，在不同維度的圖形轉換中尋找對應關系，以此發展學生的空間觀念。

1.面

要認識圓柱與圓錐的特征，首先要認識圓柱與圓錐的面。教學中，要讓學生通過觀察、觸摸等方式來達成基本認識：圓柱的有三個面，有兩個面是大小相同的圓，即底面，有一個面是曲面，即側面;圓錐有兩個面，有一個底面是圓，有一個側面是曲面（如圖1）。

除了從靜態的角度認識二者的面之外，更重要的是從運動的視角再認識圓柱和圓錐的面。這里可分兩種情況。一種是長方形繞長或寬所在的直線為軸旋轉一周形成圓柱，直角三角形繞其中一條直角邊所在的直線為軸旋轉一周形成圓錐（如圖2）。教學中要啟發學生想象與思考運動前后平面圖形與立體圖形的位置對應關系——這種情況下，長方形的一條邊（寬）對應圓柱底面半徑，半徑繞著底面圓心旋轉一周后劃過的痕跡形成圓柱的兩個圓形底面，另一條邊（長）對應圓柱的高，高線繞軸旋轉一周后劃過的痕跡形成圓柱的側面;直角三角形的一條直角邊對應圓錐的底面半徑，半徑繞著底面圓心旋轉一周后劃過的痕跡形成圓錐的圓形底面，另一條直角邊對應圓錐的高，斜邊繞軸旋轉一周劃過的痕跡形成圓錐的側面。另一種情況是長方形繞對邊中點的連線所在直線為軸旋轉半周即可形成圓柱，直角三角形繞頂點與斜邊中點連線所在的直線為軸旋轉半周即可形成圓錐（如圖3）。教學中要再度啟發學生想象與思考運動前后平面圖形與立體圖形的位置對應關系——長方形的一條邊（寬）的一半對應圓柱的底面半徑，另一條邊（長）對應圓柱的高，這種情況下，圖形只需旋轉半周、相對應的線也只需旋轉半周即可形成圓柱的底面和側面。同樣，直角三角形斜邊的一半對應圓錐的底面半徑，斜邊上的高對應圓錐的高，圖形只需旋轉半周、相對應的線也只需旋轉半周即可形成圓錐的底面和側面。

經過上述從靜態和動態兩種視角去認識圓柱和圓錐的面的特征和形成過程，才能更深刻地認識圓柱和圓錐的面，也才能更深刻地認識圓柱和圓錐的形成過程和圖形結構特征，更重要的是學生在線動成面、面動成體前后不同維度圖形位置對應關系的想象與尋找中發展了空間觀念。

2.視圖

認識圓柱與圓錐的第二個角度是借助視圖。教學中，要讓學生借助于實物或者概念直觀圖展開數學想象，想象從不同視角所觀察到的圓柱和圓錐的平面圖形的形狀，即從上面觀察圓柱所看到的平面圖形是與底面同樣大小的圓，從垂直于側面任意方向觀察圓柱，所看到的平面圖形都是一個以高和底面直徑為長和寬的長方形（如圖4）;從上面觀察圓錐所看到的平面圖形是與底面同樣大小的圓，從垂直于側面任意方向觀察圓錐，所看到的平面圖形是以底面直徑為底、以圓錐的兩條母線為腰的等腰三角形（如圖5）。

3.截面

認識圓柱與圓錐的第三個角度是截面。教學中，引導學生沿著圓柱、圓錐各自不同的位置剪切，然后想象切出來的截面是什么樣的平面圖形。對于圓柱來說，可以沿平行于上下底面的方向切，切出來的截面是與底面同樣大小的圓;也可以沿高的方向通過上下底面直徑去切，截面是以高和底面直徑為長和寬的長方形;還可以沿側面（不垂直）斜著切，截面是大小不同的橢圓等等。對于圓錐來說，可以沿平行于下底面的方向切，切出來的截面是大小不同的圓;也可以沿高的方向通過頂點和底面直徑去切，截面是以底面直徑為底的等腰三角形;還可以沿側面（不垂直）斜著切，截面是個不規則的曲邊圖形等等。

教學中，一定要讓學生先思考可以沿著哪些方向或位置切，再想象截面具體是什么樣子。想象遇到困難或者想象不出來的情況下，特別是沿側面（不垂直）斜著切及其他稍復雜情況下截面的形狀，可以借助橡皮泥、蘿卜等制作成圓柱和圓錐進行實際操作，幫助學生進行空間想象或驗證想象的結果，以更好地發展空間觀念。

4.展開圖

認識圓柱與圓錐的第四個角度是展開圖。對于圓柱的展開圖，兩個底面的展開圖就是兩個同樣大小的圓，關鍵是對側面展開圖的研究與認識。圓柱的側面展開圖在小學階段一般有兩種方式，一種是沿著圓柱高線剪開，展開圖是長方形;另一種是沿著圓柱的側面斜向剪開，展開圖是平行四邊形（如圖8）。對于圓錐的展開圖（如圖9），讓學生簡單了解即可，不作探究要求，特別對于圓錐的側面展開圖是扇形在小學階段雖然不作具體要求，但對學生經歷想象的過程、積累想象的經驗還是有必要的。

圓柱的展開圖既是研究圓柱表面積計算的必經之途徑，也是單元學習的重點。實際教學中，不要一上來就讓學生進入動手操作，而應該先讓學生思考圓柱的側面可以沿著哪個位置和方向怎樣剪開，再想象展開圖是什么樣子，進一步思考側面展開圖（如長方形）的長和寬與圓柱的位置對應關系，然后進行實際操作驗證自己的想象是否正確。先在學生的頭腦中展開對數學的想象，動手前先動腦，思考轉換前后二維平面圖形與三維立體圖形之間的位置對應關系（如圖10），有助于發展學生的空間想象力和邏輯推理能力，進而發展學生的空間觀念。

三、從圖形測量整體把握對應關系，發展空間觀念

本單元的圖形測量主要是指學習研究圓柱的表面積、圓柱與圓錐體積。學習過程中要特別關注表面積、體積測量公式的推導過程及過程性思考。需要說明的是，關注表面積、體積公式的推導過程，不是為了追求過程，而是為了啟發學生在推導過程中經歷圖形轉化、位置對應關系的空間思考，這些思考是對圓柱與圓錐本質特征的再關注、再認識，在此過程中讓學生的思維發生進階并發展學生的空間觀念。

關于圓柱表面積的教學在上述展開圖中已有論述，關于圓錐的體積在小學階段是借助與它等底等高的圓柱體積并通過物理實驗獲得，此處均不再贅述。這里重點說明圓柱體積推導過程中的研究方法。縱觀本單元的學習都是從面動成體的運動視角來認識圓柱的，那么在教學中我們是否可以啟發學生先從這個角度來認識和研究圓柱的體積呢？比如讓學生觀察“疊硬幣”的過程，其實就是“面動成體”形成圓柱的過程。可以啟發學生把一枚硬幣想象成一個無限薄的圓面，隨著硬幣數量的累積疊加，可以把累積起來的圓柱想象成一個由很多個無限薄的面動態累積疊加起來的過程，圓柱所占的底面積不變，但隨著高度增加，圓柱所占的空間大小（即體積）也在隨之變大。通過這樣的想象與思考，不但能夠幫助學生很好地理解“圓柱的體積=底面積×高”，還可以通過這種感性的方式在面與體的運動聯系中認識圓柱形成過程、圓柱體積的計算方法，同時在學生的頭腦中埋下數學研究的思想方法——滲透積分、極限等數學思想。

圓柱體積推導的另一種典型的思維路徑是轉化。圓柱是學生在小學階段數學中第一次認識的含有曲面的立體圖形，加之學生在此前研究過圓的面積的推導，圓作為曲邊圖形的面積研究方法為學生研究含有曲面的圓柱的體積研究積累了相關學習經驗——遷移轉化。

需要特別說明的是，要讓學生深刻理解圓柱的體積在推導過程中的圖形轉化過程和位置對應關系，在教學過程中將圓柱等分的份數盡可能多，越多越好，同時展開數學想象，逐漸將學生的注意力由“動手”轉向“動腦”，啟發學生深入思考：為什么要盡可能多的等分？在圖形轉化過程中什么變了？什么沒變？如果學生能夠體會到在這個過程中圖形的表面積增加、體積守恒，與轉化后的規則圖形趨近，那么學生才能真正理解圓柱的曲面研究方法、極限思想等，同時在圖形的變形轉化過程中也促使學生的想象飛翔，培養空間想象力，發展空間觀念。

此外，還可以通過一些高階思維評價題目來撬動課堂教學，促進學生把握位置對應關系以發展空間觀念。比如，把高是10厘米的圓柱按圖13切開，拼成近似的長方體，表面積就增加了60平方厘米。圓柱的體積是（? ? ）立方厘米。

總之，對于“圓柱與圓錐”的學習，需要全方位、多角度、多層次地整體把握單元教學，在不同維度的圖形變形與轉換中尋找對應關系，才能更本質地認識圓柱與圓錐，讓空間想象時刻飛翔、根植和充實在學生的頭腦，從而更好地在圖形的單元學習中發展學生的空間觀念。

[責任編輯：陳國慶]