積累數學活動經驗，發展學生數學思維

過心麗

[摘? 要] 數學基本活動經驗，是指對具體形象的事物進行觀察操作、歸納猜想、表達驗證后獲得的一種經驗. 文章借助“勾股定理及其驗證”，從喚醒、感悟、運用、升華四個方面闡述了積累基本活動經驗、發展學生數學思維的方法.

[關鍵詞] 親自操作;活動經驗;思維發展

在傳統的數學課堂教學中，學生較少主動參與到知識形成的過程中去，不能深入理解知識，更不用說靈活運用知識解決問題了. 《義務教育數學課程標準（2011年版）》將課程總目標從“雙基”教學修改為“四基”教學，即基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，強調學習方式的變革和學生的主體性地位，教師只是學生學習的組織者和引導者，學生在課堂上獲得了主動發現、探索、研究、總結的空間. 學生要適應這種更為靈活的課堂，就必須積累基本數學活動經驗，這也是三維目標中的過程與方法目標所要求的. 那什么是基本數學活動經驗呢？

數學基本活動經驗是指，學生通過對具體、形象的事物進行一定的觀察操作、歸納猜想、表達、驗證或證明，所獲得的一種經驗. 由于數學的學科特色，有些知識無法通過傳遞訓練直接得到，因此數學基本活動經驗必須通過學生的親身經歷和感悟得到，是學生通過經歷、感悟數學歸納推理和演繹推理后積淀出的一種思維模式，繼而建立一定的數學直觀，甚至達到更高的層次——形成數學的直覺. 學生的數學基本活動經驗不僅是動手實踐得到的經驗，還是大腦實踐后得到的數學思維經驗.

只有通過長期積累數學基本活動經驗的過程，才能幫助學生形成數學直觀，才更易于學生理解、掌握和運用，才更有利于發展學生的思維能力，從而使學生領悟學習技巧. 筆者借助勾股定理及其驗證，開展了關于學生積累數學活動經驗的一次教學探索.

結合實際生活經驗，喚醒已有

基本活動經驗

數學來源于生活，滲透在我們生活的方方面面，其在生活中的應用更是數不勝數. 學生已有的數學基本活動經驗，一方面來自之前數學學習中的不斷積累，層層深入積淀;另一方面來自實際生活的潛移默化，從而自然而然地獲得一些數學基本活動經驗.

教學片段1

師展示PPT：這是古希臘曾經發行的一張郵票（如圖1），其中的圖案證明了一個非常重要的數學定理. 請你計算圖中三個正方形的面積，看看能發現什么.

生：S■+S■=S■.

師：請大家在學案上的網格中任意畫一個直角三角形，然后分別以三條邊為邊向外作三個正方形，計算這三個正方形的面積. 此時，剛才的結論還成立嗎？

生投影展示：利用割補法，仍然有S■+S■=S■.

師：如果把直角三角形的兩條直角邊記為a，b，斜邊記為c，你發現了什么？

生：三個正方形的面積分別為a2，b2，c2，所以a2+b2=c2.

師：非常棒！通過剛才的計算，我們發現直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是我們今天要學習的勾股定理.

設計意圖？搖 筆者利用生活中常見的郵票，借由學生熟悉的網格，激活了學生已有的數學基本活動經驗，為后續積累更高層次的經驗做鋪墊. 同時，依托生活中滲透的數學基本活動經驗，激發了學生學習的主動性和積極性，通過學生的親身經歷和操作驗證，引導他們發現勾股樹相關結論并歸納得到勾股定理，加深了學生對知識的理解和掌握，幫助學生積累了更深一層的數學基本活動經驗，同時激發了學生的思維，讓學生知其然，更知其所以然，為后續學習勾股定理的驗證和應用做鋪墊.

經歷知識形成過程，感悟數學

基本活動經驗

數學問題光靠生搬硬套并不能解決. 讓學生親身經歷知識的形成過程，可以幫助他們更好地理清思路，了解數學知識之間的結構體系，感悟更深一層的數學基本活動經驗，從而正確地應用相關知識解決問題，這是學生積累數學基本活動經驗、發展數學思維的一種有效手段.

教學片段2

師：請大家以小組為單位，將準備好的四個全等的直角三角形紙片拼成一個正方形，然后用不同的方式計算正方形的面積，你發現了什么？

生展示圖2的拼法：由正方形的面積公式得大正方形的面積為（a+b）2，再由割補法得其面積為c2+2ab，所以（a+b）2=c2+2ab，化簡后得a2+b2=c2.

師：還有其他拼法嗎？

生展示圖3的拼法：由正方形的面積公式得大正方形的面積為c2，再由割補法得其面積為（b-a）2+2ab，所以c2=（b-a）2+2ab，化簡后可得a2+b2=c2.

師：剛才我們借助等積法驗證了勾股定理，其實等積法在直角三角形內還有一個常見的應用——請大家思考“如果直角三角形的兩條直角邊AB=6，BC=8，那么斜邊上的高BD為多少”.

生：容易求得直角三角形的斜邊為10，利用等積法可得6×8=10×BD，所以BD=4.8.

師：非常棒！我們初中階段要計算直角三角形斜邊上的高，就是利用等積法.

設計意圖？搖 學生利用4張全等的直角三角形紙片進行拼接，在操作—思考—交流—歸納的過程中親自驗證了勾股定理，對勾股定理有了更深層次的認知. 同時，學生在勾股定理的驗證過程中，對等積法也有了更深入的理解. 筆者順勢引出等積法的另一個常見應用，引導學生歸納、發現求直角三角形斜邊上的高就是利用等積法，幫助學生進一步積累了數學基本活動經驗，也拓寬了學生的數學思維. 學生由此積淀出關于等積法的一種初步思維模式，這能為后續利用等積法解決其他類似問題做鋪墊.

觀察問題共性特征，運用數學

基本活動經驗

通過感悟得到的數學基本活動經驗，不能只停留在紙上談兵層面，我們還需要培養學生將其運用到有共性的問題中的能力. 學生要能夠在復雜的條件中判斷出解題的關鍵點，與已經積累的數學基本活動經驗相匹配，找到不同問題中的共性特征，并遷移已有的活動經驗，舉一反三，從而建立起屬于自己的解決問題的一套經驗體系.

教學片段3

師：已知直角三角形的兩條直角邊AB=5，BC=12，點O是∠BAC，∠ACB的平分線的交點，求點O到AB的距離. 這題如何解決？看到角平分線你有什么想法？

生：過點O作直角三角形三條邊的垂線段OD，OE，OF，由角平分線的性質可得OD=OE=OF（如圖4）.

師：那如何求垂線段OD的長呢？

生：容易求得AC=13. 因為S■=S■+S■+S■=■OD（AB+BC+AC）=30，所以OD=2.

師：更一般地，如果把△ABC的面積記為S，周長記為C，那OD可以如何表示？

生：OD=■.

師：那如果已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，點O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點，如何求點O到BC的距離？

生：如圖5，過點O作△ABC三條邊的垂線段OD，OE，OF，由角平分線的性質得OD=OE=OF，利用等積法同理可得OD=■.

師：等腰三角形的面積怎么求？

生：如圖6，過點A作AG⊥BC，垂足為G，則BG=CG=5. 由勾股定理得AG=12，故S■=60，OD=■=■.

師：三角形三條角平分線的交點到三邊的距離相等，要求這個距離，可利用等積法得到OD=■，然后求出三角形的面積和周長即可.

設計意圖 ？搖筆者先將問題設置到直角三角形中，從角平分線的性質出發，引導學生發現三角形三條角平分線的交點到三邊的距離相等，而垂線段放在三角形中可以看作高，所以利用等積法計算大三角形的面積即可求得這個距離. 接著將題目背景設置到等腰三角形中，引導學生發現兩個問題的共性——同樣利用等積法可以求得這個距離，關鍵是作高后結合“三線合一”求等腰三角形的面積. 學生通過對不同問題共性特征的觀察，將感悟到的數學基本活動經驗進行遷移，拓寬了學生的思維，形成了關于等積法的更系統的一種思維模式，幫助學生積累了更加全面的數學基本活動經驗.

建立數學直觀思維，升華數學

基本活動經驗

積累數學基本活動經驗的最終目的是幫助學生建立數學直觀，發展學生的數學思維. 只有通過長期對數學基本活動經驗的積累、運用和升華，才能從特殊到一般，幫助學生積淀一種數學直觀，甚至形成一定的數學直覺，這樣學生在面對數學問題時就能快速地擇優解決.

教學片段4

師：更一般地，在△ABC中，AB=13，BC=15，AC=14，點O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點，求點O到邊AB的距離.

生：過點O作△ABC三條邊的垂線段OD，OE，OF，由角平分線的性質得OD=OE=OF，再利用等積法得OD=■.

師：那如何求這個任意三角形的面積呢？

生：如圖7，作AC邊上的高BD.

師：如何求BD？

生：設AD=x，則CD=14-x. 于是可以列出方程132-x2=152-（14-x）2.？搖？搖？搖

師：設未知數表示出AD和CD，然后在有公共邊的兩個直角三角形中借助BD2兩次運用勾股定理列方程. 然后呢？

生：解得x=5. 利用勾股定理得BD=12，所以S■=84，OD=■=4.

師：很好！已知任意一個三角形三條邊的長，只要作高后利用勾股定理列方程即可求出這個三角形的面積，再結合等積法就可以求出這個三角形的角平分線的交點到一邊的距離了.

設計意圖？搖 通過前面一系列數學基本活動經驗的喚醒、感悟和運用，學生的數學基本活動經驗已經上升到一定的抽象高度，獲得了許多有價值的思維活動經驗. 在此基礎上，筆者繼續將問題背景設置得更為一般，放在普通的三角形內讓學生研究，試圖幫助學生建立一定的數學直觀. 從直角三角形到等腰三角形，再到任意一個三角形，筆者通過這三個運用的層層遞進，從特殊到一般，發展學生的思維，幫助學生建立起一種數學直觀——求三角形角平分線交點到三邊的距離的本質就是利用等積法.

結語

總之，數學基本活動經驗的積累在現今的數學教學中越來越重要. 教師作為教學活動的組織者和引導者，要充分發揮學生的主體作用，調動學生的積極性和主動性，喚醒已有的數學基本活動經驗. 同時，在知識的形成過程中，引導學生感悟數學歸納推理和演繹推理，幫助學生進一步積累數學基本活動經驗，并將其運用升華，積淀出一種思維模式，形成一定的數學直觀.