例談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思維能力的培養(yǎng)

李洋洋

[摘? 要] 類比思維是一種非常重要的思維方式，學(xué)生只有在不斷地經(jīng)歷類比的過程中才可以逐步積淀充滿感悟的類比經(jīng)驗，培養(yǎng)類比思維能力. 文章以“圓錐曲線”的教學(xué)為例，闡述了類比思維能力培養(yǎng)的教學(xué)實踐與思考.

[關(guān)鍵詞] 類比思維能力;數(shù)學(xué)能力;培養(yǎng)

類比是兩個具有相同或相似的不同事物建立聯(lián)系的產(chǎn)物，屬于形象思維，是一種推理方法和思維方法，也是一種創(chuàng)造性思維，更是一種良好的學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)解題的思路尋求應(yīng)該從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進行類比. 正是由于類比如此大的功能，縱觀近幾年的高考試題，類比思想已然根深蒂固地滲透于方方面面，類比題早已成為高考的“新寵”. 因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類比思維能力具有非常重要的體現(xiàn)，教師需有意識地強化對學(xué)生類比思維能力的訓(xùn)練. 以下，筆者以“圓錐曲線”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾伟l(fā)展學(xué)生類比思維能力，以期提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

溫故知新，激發(fā)類比意識

類比是富有創(chuàng)造性的一種活動方法，不僅可以幫助學(xué)生鞏固舊知掌握新知，還是一種良好的探究活動. 高中生已有了數(shù)十年的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，積累了豐富的知識經(jīng)驗和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，形成了較好的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu). 因此，在組織教學(xué)前教師需深入學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)考查，從學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，勾畫知識技能框架，設(shè)計類比探究活動，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供基本線索. 在教學(xué)過程中，教師需用類比充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，聯(lián)合問題與原有知識間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與到探究活動中去，有效地喚醒活動經(jīng)驗，促進學(xué)生自主進行類比探究，建構(gòu)知識，激活類比意識.

案例1：雙曲線的定義

（1）溫故知新：回憶并說說橢圓的定義是什么？

（2）類比聯(lián)想：基于橢圓定義中的“和”字展開聯(lián)想，你能想到什么？（學(xué)生自然而然地聯(lián)想到“差”，進一步類比得出“平面內(nèi)與兩個定點的距離之差等于常數(shù)的點的軌跡會是什么曲線呢？”）

（3）類比推導(dǎo)：已知平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)動點P（x，y）到定點F1（-5，0）和F2（5，0）之間的距離差為8，試求出動點P的軌跡方程. （學(xué)生類比橢圓的軌跡方程，進一步推導(dǎo)得出點P的軌跡方程為■-■=1）

（4）實踐操作：類比橢圓的性質(zhì)，試著作一作雙曲線的大致圖像. （學(xué)生興致勃勃地投入作圖，并以此聯(lián)想到反比例函數(shù)）

（5）完善定義：

問題1：滿足PF1-PF2=8的點的軌跡即為上述曲線嗎？（經(jīng)思考，學(xué)生明晰只有右支點上的點符合）

問題2：那左支點上的點滿足什么條件？（學(xué)生賦特值A(chǔ)（-4，0）進行檢驗，計算可得AF1-AF2=-8）

問題3：經(jīng)過剛才的探究，可知右支上的點滿足PF1-PF2=8，左支上的點滿足AF1-AF2=-8，那該如何定義雙曲線呢？

（6）出示定義：數(shù)學(xué)中很多抽象概念不易理解，引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的概念出發(fā)類比，則可以達到快速理解和掌握的效果. 這樣的類比思維方式可以使抽象的、陌生的概念變得具體、熟悉，有效降低學(xué)生的接受難度，提升學(xué)習(xí)興趣. 以上案例中，執(zhí)教者以“橢圓的定義”為載體，探究的關(guān)鍵是類比橢圓的相關(guān)知識，從事物之間的共同屬性來獲得新知的理解和掌握，幫助學(xué)生更好地復(fù)習(xí)舊知和鞏固新知，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

深入類比，訓(xùn)練類比思維

充分利用好類比思維中的相似性，引導(dǎo)學(xué)生比較兩個數(shù)學(xué)對象，并找尋到他們之間的相似處，從而為研究指明正確方向. 通過進一步延伸猜想這兩個對象的其他屬性是否也相同或相似，進行一致性和不一致性的類比，經(jīng)歷深入類比后得出結(jié)論，讓學(xué)生能從宏觀的角度感受到概念或性質(zhì)的相似性，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練類比思維.

案例2：已知橢圓性質(zhì)：若點P為橢圓上任意一點，M，N為橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，且當(dāng)直線PM，PN都存在斜率，并記作kPM，kPN時，則kPM，kPN之積為與點P位置無關(guān)的定值. 試著類比分析雙曲線■-■=1，找出與其類似的性質(zhì)，并予以證明.

類比得出類似性質(zhì)：若點P為雙曲線上任意一點，M，N為雙曲線■-■=1上關(guān)于原點對稱的兩個點，且當(dāng)直線PM，PN都存在斜率，并記作kPM，kPN時，則kPM，kPN之積為與點P位置無關(guān)的定值■.

證明：設(shè)P，M的坐標(biāo)為（x，y），（m，n），則N（-m，-n）. 因為P，M均在雙曲線■-■=1上，所以y2=■x2-b2，n2=■m2-b2，則kPM·kPN=■·■=■=■·■=■（定值）.

從具體的實物出發(fā)類比，是思考和理解問題的基本思路與方法. 上述案例中，從橢圓的性質(zhì)出發(fā)類比，進一步研究雙曲線的性質(zhì)，既滲透認(rèn)知指導(dǎo)策略，同時降低問題探究的難度. 學(xué)生經(jīng)過推導(dǎo)和證明，使得雙曲線性質(zhì)的理解進一步深入，體會雙曲線的一般性和特殊性，讓新知的建構(gòu)自然產(chǎn)生，讓學(xué)生深刻體會到類比思維的合理性和必然性.

強化類比訓(xùn)練，磨煉類比思維

通過強化類比訓(xùn)練，授予學(xué)生類比方法，才能逐步轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的思維方式，因此，在解題教學(xué)中不斷強化類比訓(xùn)練是磨煉類比思維能力中的重要一環(huán). 只有通過訓(xùn)練讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想+驗證”的驗證經(jīng)歷，才能循序提升，逐層培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，同時提升解題能力.

案例3：已知點P（x0，y0）在橢圓■+■=1（a>b>0）的內(nèi)部，則直線■+■=1與橢圓■+■=1（a>b>0）的交點個數(shù)是________？

本題需要判斷直線與橢圓交點個數(shù)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生進行類比，首先需思考類比對象，學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想，不難將類比對象定位在圓上. 進一步地，類比橢圓與圓：已知點P（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的內(nèi)部，則直線xx0+yy0=r2與圓O：x2+y2=r2的交點個數(shù)為0（相離），據(jù)此猜想得出本題交點個數(shù)也是0. 下一步自然是求解，一些學(xué)生在求解本題時會不假思索通過一般性方法解題，將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程后通過判別式進一步確定交點個數(shù). 在求解過程中，還需分類討論，過程較為煩瑣，運算難度也較大. 是否有其他簡單思路進行處理呢？我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過類比思想大膽猜想和合情推理，由于本題是一道填空題，可以運用特殊與一般的方法進行類比：已知點P（1，0）在橢圓C：■+y2=1的內(nèi)部，則直線■=1與橢圓C：■+y2=1的交點個數(shù)是0.

此處將本題特殊化處理，回避了繁雜的運算，磨煉學(xué)生的類比思維，符合新課標(biāo)下的“以能力立意”的數(shù)學(xué)理念，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維. 當(dāng)然，這里需要說明的是在選用特殊值時需避免問題出現(xiàn)漏解的情況.

應(yīng)用類比，提升類比思維

類比是幫助學(xué)生理解、掌握和鞏固知識的一種行之有效的方法，可以使學(xué)生的知識系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化. 類比解題法在近幾年的高考中頻頻出現(xiàn)，因此，教師需在習(xí)題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比思想分析和解決數(shù)學(xué)問題，提升類比思維能力.

案例4：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作一直線，與拋物線交于點P，Q，若PF，QF的長分別為m，n，則■+■=_______.

類比問題1過橢圓■+■=1（a>b>0）的左焦點F作一直線，與橢圓交于點P，Q，若PF，QF的長分別為m，n，則■+■=________.

類比問題2過雙曲線■-■=1（a>b>0）的左焦點F作一直線，與雙曲線交于點P，Q，若PF，QF的長分別為m，n，則■+■=________.

觀察以上問題，可以看出上面三題不論在條件結(jié)構(gòu)還是問題結(jié)構(gòu)形式上均相同，唯一不同的就是條件背景不同，通過以上拋物線、橢圓和雙曲線三者之間的類比探究，相得益彰，使問題快速獲解，同時尋到處理這一類問題的通法.

綜上，類比是一種創(chuàng)造性的思維方式，數(shù)學(xué)知識有千千萬萬，在研究方法上具有相同性或相似性，在類比思維能力的培養(yǎng)過程中，我們要合理運用類比的方法進行教學(xué)，幫助學(xué)生巧妙越過思維障礙，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維，發(fā)展學(xué)生的聯(lián)想能力和遷移能力，促進學(xué)生綜合能力的發(fā)展，更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維價值.