核心素養導向下的解析幾何專題復習

高春香

[摘? 要] 數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的. 文章借助幾何畫板的直觀演示，帶領學生將“圓的垂徑定理”在圓錐曲線中進行推廣探究，引導學生發現和提出問題、分析和解決問題，使學生在主動深入的學習探究中構建知識聯系，抽象問題本質，發展直觀想象、邏輯推理與數學運算等核心素養.

[關鍵詞] 課堂學習;核心素養;圓錐曲線;推廣探究

核心素養是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的，所以課堂學習是培養學生數學核心素養的主陣地. 而圓可視為橢圓的特殊情形，學生對它的幾何性質研究得較為通透，且較為熟悉. 本文立足于高三圓錐曲線的專題學習，以“圓的垂徑定理”為切入口，啟發學生探究圓錐曲線中點弦的相關性質，通過類比、推廣，進行深度挖掘，引導學生積極參與其中，調動學生思維的積極性，形成一個完整的知識體系. 一方面降低知識點在學生心中的難度系數，使學生認知問題本質，使以后相關問題的解決立足點更高，能快速抓住問題本質，設計解題思路;另一方面在此學習過程中培育了學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.

課堂實錄

本文所有結論都基于橢圓■+■=1（a>b>0）、雙曲線■-■=1（a>0，b>0）與拋物線C：y2=2px（p>0）的探究結果. 同時由于雙曲線圖形較為復雜，且結論不是特別明顯，本文幾何探究與代數論證多數以雙曲線為例，旨在通過學生的自主探究，內化知識，化解難點.

垂徑定理在圓錐曲線中的推廣

圓是橢圓的特殊情形，圓的常用性質在圓錐曲線上是否有所體現？能否將圓的性質在圓錐曲線上進行推廣，建立知識之間的聯系，構成知識網絡. 一方面便于對知識的識記，另一面在解決相關問題時，能快速準確地抓取問題核心. 今天我們一起研究圓的垂徑定理在圓錐曲線中的推廣.

師：圓的垂徑定理對應于圓錐曲線中的哪類問題？

生：中點弦問題.

（一）圓錐曲線的中點弦定理

師：受圓的垂徑定理的啟發，大家一起探究，圓錐曲線的中點弦問題是否有相關結論？（學生自主探究）

師：下面選擇雙曲線的情形進行評析.

已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0），直線l（斜率存在）交雙曲線C于A，B兩點，且AB的中點為M（x0，y0），（1）求kAB的值;（2）求中點弦AB所在的直線方程.

解1：設線，利用韋達定理，得k=■·■，AB所在直線方程：■-■=■-■.

解2：點差法求解.

評析：由垂徑定理中的垂直得斜率乘積為-1，自然推測圓錐曲線中點弦中可能存在的斜率乘積為定值，進而引發學生用已經學過的方法（待定系數法或點差去）去驗證猜想. 從新的角度思考舊問題，將知識歸總，建立聯系，形成體系. 一方面便于記憶，另一方面在課堂教學中培養學生的邏輯推理能力.

結論1：點M（x0，y0）是弦AB的中點，則（1）中點弦的斜率，橢圓：kABkOM=-■;雙曲線：kABkOM=■;拋物線：kAB=■. （2）中點弦AB所在直線方程，橢圓：■+■=■+■;雙曲線■-■=■-■;拋物線：y0y=px+y■-px■.

應用新知

1.已知雙曲線■-y2=1，求以點P（3，2）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程.

評析：學生會以點差法給出結論為y-2=■（x-3）的錯解. 求中點弦要考慮其存在性，即在利用待定系數法與點差法求解時，判別式應大于零. 存在性的考查使得，點差法丟失了其“結構一致，運算簡潔”的優點，需對中點弦的存在性做結論性探究.

（二）圓錐曲線的中點弦存在性探究

師：對給定的點M（x■，y■），在什么情形下存在以點M（x■，y■）為中點的弦.

師：首先借助幾何直觀性，對中點弦存在問題進行初步探討，以雙曲線為例（配幾何畫板動態演示文件）.

師：若弦AB繞點M旋轉的過程中，由MA>MB轉變為MA

結論：定點M在蝴蝶型區域時，過點M的中點弦不存在.

評析：解析幾何就是用代數知識解決幾何問題，因此它的計算量大且煩瑣，此課利用幾何畫板的動態演示，借助幾何直觀先讓學生感受問題，一方面利于學生對知識的接收與記憶，形成知識網，另一方面可以培養學生直觀想象的核心素養.

師：下面以雙曲線的情形為例進行推理證明.

求證：對雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0），定點M（x■，y■）滿足■-■>1或■-■<0或M（0，0），則過點M的中點弦存在.

師：此問題中，點M（x■，y■）是定點，即x■，y■視作常數. 由上面求解可知，若中點弦存在，則中點弦所在直線斜率為k=■■. 那么問題就轉化為當x■，y■滿足什么條件時，直線與雙曲線有兩個公共點.

解：（1）當y■≠0時，直線l的方程為：y-y■=k（x-x■），k=■■.

記t=y■-kx■，k=■■，則y=kx+t，

■-■=1，y=kx+t？圯（b2-a2k2）x2-2kta2x-（a2t2+a2b2）=0.

由已知b2-a2k2≠0，Δ>0？圳t2+b2-a2k2>0？圳b2-a2k2≠0，（x■-a2）k2-2x0y0k+b2+y■>0.

由k=■■，得■-■■-■-1>0，即■-■>1或■-■<0.

（2）當y■=0時，顯然當x■∈[-a，0）∪（0，a]時，中點弦不存在;

當x■∈（-∞，-a）∪（a，+∞）∪{0}時，中點弦存在.

綜上，當點M滿足■-■>1或■-■<0或M（0，0）時，中點弦存在.

評析：本題的證明構架為解析幾何的基本處理方法，在雙曲線相關問題的待定系數法的規范解答中，記t=y■-kx■，引導學生在計算中抓住主要變量，利用整體化思想進行簡便運算，培養學生的數學運算能力. 本題字母較多，要求學生在解題過程認清各個量的身份與地位，頂層設計計算方法. 同時，通過推理認證，將直觀感知的數學結論定理化，使學生一方面感知數學學科的嚴謹性，另一方面培養學生研究能力，發展邏輯推理能力.

結論2：以定點M（x■，y■）為中點的弦存在的條件（1）橢圓：■+■<1;（2）雙曲線：■-■>1或■-■<0或M（0，0）;（3）拋物線：y■<2px0.

應用新知

2. （2019年黃浦區二模卷）雙曲線Γ：x2-■=1（b>0），斜率為2的直線與Γ交于A，B兩點，試根據常數b的不同取值范圍，求線段AB中點的軌跡方程.

解1：設AB中點為M（x■，y■），直線AB的方程為：y=2x+t，

x2-■=1，y=2x+t？圯（b2-4）x2-4tx-（t2+b2）=0，

b2-4≠0，Δ=4b2（b2+t2-4）>0，

且x=■=■，y=■=■，得M中點的軌跡方程y=■x.

下求變量的取值范圍，即y=■x上的點要做弦中點，有b2-4≠0，t2>4-b2成立.

當b>2時，t∈R，則所求中點弦方程為y=■x，x∈R;

當0■，即x>■，所求中點弦方程為y=■x，x>■.

評析：本題為雙曲線的平行中點弦的中點軌跡問題，難點在于雙曲線在變動的前提下對軌跡方程中變量范圍的求解. 學生不知道b2-4≠0，Δ=4b2（b2+t2-4）>0 的限制有什么用，又如何用，較為抽象. 字母地位的辨識非常重要，求中點軌跡方程時，b視作常值，給一個b，出一個軌跡方程.

解2：設AB中點為M（x，y），則kABkOM=b2，即M中點的軌跡方程y=■x.

下求變量的取值范圍，即要求y=■x不在蝴蝶型區，

當b>2時，y=■x，x∈R;

當01y=■x？x>■，即y=■x，x>■.

評析：解法2利用中點弦的存在性定理，借助幾何直觀，使得題目難度大幅降低. 有利于學生學習數形結合思想的應用，正向培養了其直觀想象的核心素養.

上述課堂學習，以落實數學核心素養為目標，從“圓為特殊的橢圓”的角度著眼，通過“圓的垂徑定理”的數學化描述，借助幾何直觀與數學推理，歸納猜測出“中點弦斜率、中點弦的存在性”等相關結論，并利用解析法進行嚴格證明，形成了完整的知識結構，也還原了數學知識的形成過程. 這有利于學生形成數學的研究方法，以便在以后的學習與生活中用數學的思維處理問題，用聯系發展的眼光看待問題，培養發展了學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理與數學運算等數學核心素養.

教學感悟

此課堂學習實踐，構建了“解析幾何復習的專題”之一，引導學生自主構建知識體系，注重知識的發生、發展與形成過程，并將核心素養的培養落實在課堂學習之中，真正做到了潤物細無聲. 下面結合本課對核心素養在課堂上的落實，談幾點感悟.

（一）借助幾何直觀理解與解決問題，落實直觀想象核心素養

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象來感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決問題的素養. 本課學習借助幾何畫板的動態演示，讓學生感受圖形的變化，結合邏輯推理挖掘出“中點弦的存在性”，使學生獲得“由幾何圖形的形象關系直接感知數量關系”學習體驗，習得相關知識技能的同時，使直觀想象核心素養在課堂中落地.

（二）通過深度學習，建立知識之間的聯系，發展邏輯推理核心素養

邏輯推理主要表現為掌握推理基本形式和規則，發現問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流. 本課是“解析幾何中點弦問題”的深度學習，以圓的垂徑定理理解為基礎，圓與橢圓的關系為思考點，引導學生推導出“中點弦的存在性”，建立了知識間的聯系，形成完整的知識體系，發展了學生邏輯推理的核心素養.

（三）辨識運算對象，設計運算思路，巧用整體代換，提升數學運算核心素養

數學運算主要表現為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等. 本課用嚴格數學推理論證了“中點弦的存在性”. 解析幾何是用代數方法解決幾何問題，數學運算就是論證相關問題的關鍵. 本課問題論證用到解析幾何中基本的待定系數法，但因本課結論均為圓錐曲線的通用結論，方程自身帶有參數，運算過程中字母繁多，需要引導學生辨識運算對象，頂層設計計算方法，并用整體代換的方式簡化運算量. 體現了數學是模式的科學的數學本質，提升了數學運算的核心素養.

（四）借助典型題目，發展數學思維，夯實核心素養

本課結合知識構架，選取典型的有思維價值的數學問題，帶領學生經歷解題思路的探究過程，規范表達，明確解題步驟，提煉通性、通法，讓學生在解題過程中明確問題本質，學會知識遷移、融會貫通，強化通性、通法，進一步夯實了邏輯推理與數學運算的核心素養.

結束語

學生是學習的主體，課堂是學習的主陣地，數學知識的學習與應用是核心素養培養的營養基. 在核心素養統領下，對高三復習進行專題設計，經過數學知識的再整合，引導學生獨立思考，激發學生學習數學的興趣. 通過類比、聯想、特殊化、一般化等思維活動對數學知識進行深度挖掘，引領學生發現和提出問題，形成研究思路，找到研究方法，讓數學核心素養培養落地，推動學生不斷成長.