思維導圖視角下的幾何綜合題解題教學

吳福芳

【摘要】幾何綜合題是每年中考的壓軸題，考察學生綜合運用知識解決問題的能力。由于幾何綜合題涉及幾何、代數、函數與方程等知識點的交叉，這也是學生在解決數學問題中的重點、難點題型。為突破幾何綜合題解題困境，本文以2019年廣東中考數學24題第（1）問為例，結合波利亞《怎樣解題》的四個步驟和思維導圖，探討有效的綜合數學問題教學方式。

【關鍵詞】思維導圖? ?幾何綜合題? ?數學教學

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）27-164-02

一、問題提出

在中考評卷中，幾何綜合題的答題存在著這樣的現象：（1）前因后果銜接不上，條理不清。（2）寫滿不得分，答非所問，與所求問題無關。（3）把猜想當條件用，沒有事實依據。（4）一字不寫，交白卷，徹底放棄。分析這些現象的原因，我們不難發現是因為學生審題不清，已知與求證沒有形成邏輯連接，導致學生在答題時解題思路混亂，條理不清晰，甚至無從下手。 在幾何綜合題教學中，筆者結合波利亞《怎樣解題》的四個步驟，引入思維導圖，解決上面的問題，下面進行說明。

二、幾何綜合題的題型特點

幾何綜合題是以幾何知識為主體的綜合題，簡稱幾何綜合題，主要研究圖形中點與線之間的位置關系、數量關系，以及特定圖形的判定和性質。一般以相似三角形為中心，以圓為重點，常常是圓與三角形、四邊形、相似三角形、銳角三角函數等知識的綜合運用。該題型以知識點多，圖形復雜，需添加輔助線解答三大特點著稱，成功地為難了大部分考生，讓許多考生甚至初三老師在備考時望而生畏。

三、思維導圖在幾何綜合題教學中的應用

1.思維導圖在分析題意中的應用

借用思維導圖羅列已知條件，推出結論，一目了然，讓理解分析題目更有效。以2019年廣東省中考數學24題第（1）問為例，說說如何采用思維導圖進行分析題目。題目如下：

24.如24-1圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD=∠ACB交⊙O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF=AC，連接AF.

（1）求證：ED=EC;

（2）求證：AF是⊙O的切線;

（3）如題24-2圖，若點G是△ACD的內心，BC·BE=25，求BG的長。

分析題意，畫出思維導圖如下：

以上簡單的思維導圖，先把題目中的4個已知條件羅列出來，由條件1推理得到結論1，條件3推理得到結論2，條件3和條件4共同推理得到結論3.此時，由于結論1和2是經過邏輯推理得到的，所以可以把它們做為已知條件來運用。因此，條件2和結論2共同推理得到結論4，進而結論1和結論4共同推理得到結論5。結論4還可以推理得出結論6，進而與結論3配合共同推理得出結論7.由已知一步步，層層推理，最終得到結論：∠ADC=∠BCD和四邊形ABCF是平行四邊形。這樣由已知出發，畫出思維導圖，一步步向前推理，可以讓學生很清晰地弄清楚題意，并且從已知推理得出結論，再把結論變成新的已知條件，更深層地去推理，最終完成由已知到求證的轉變。而像這樣運用思維導圖來理解和分析題意對我們解答題目是最有效的。

2.思維導圖在擬定方案的應用

從求證出發，層層設疑推導，逆向分析，找到支撐求證的已知條件。以2019年廣東省中考數學24題第（1）問為例，說明在擬定方案時如何借助思維導圖展示解題的思維過程。畫出思維導圖如下：

在擬定解題方案時，我們一般都會根據已有的解題經驗來進行嘗試推理的。本題欲求證ED=EC，根據經驗證同在一個三角形的線段相等轉化為證兩個底角相等，再從證角相等，不斷替換目標，最后找到了AC=AC，AB=AC，∠BCD=∠ACB三個已知條件做為支撐，完成了整個解題推理過程。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （下轉第166頁）（上接第164頁）

3.思維導圖在執行方案的應用

根據思維導圖分析推導過程，由下往上書寫解題過程，步驟清晰，不容易寫漏原因。本題的書寫過程可以分三步進行。第一步，先由已知3推導出假設3成立，再結合已知2推導出假設2成立;第二步，由已知1推導出假設1成立;第三步，結合假設1與假設2共同推導出∠ADC=∠BCD，即可完成證明過程。

4.思維導圖在回顧的應用

回顧本題的分析過程，我們不難發現求證線段相等的一般思路。用思維導圖總結如下：

四、思維導圖在幾何綜合題教學中的思考

1.思維導圖讓幾何綜合題解題思路更清晰

在幾何綜合題解題中，借用思維導圖以已知條件為抓手進行題意分析，讓題目分析更深入，條理更清晰;借用思維導圖以求證為主線，通過層層設疑、推導，采用逆向分析，擬定解題方案，最后找到可以支撐的已知條件（或已被求證的結論），讓解題步驟更清晰明確。

2.思維導圖讓幾何綜合題的解題推理更有條理性

為了讓學生能在書寫證明過程時，不出現漏寫，理論依據不足的情況。運用思維導圖分析題意和擬定方案，會讓邏輯推理過程更加有條理，更加清晰，學生在書寫時更能清楚地知道先寫什么，后寫什么。怎樣書寫過程才能得分，答題的得分率才會比較高。

3.思維導圖讓解題反思更直觀

解題教學力求能夠通過一道題幫助學生解決一類題，因此解題后的回顧反思就更加重要了。而通過思維導圖反思匯總一類題的解題思路，真正起到思維可視化的作用。因此，思維導圖作為一種有效的解題方法，需要貫穿于數學解題教學的整個過程之中，使學生逐步養成運用思維導圖解決問題的思維模式。

【參考文獻】

[1]【美】G.波利亞 著，涂泓、馮承天 譯.《怎樣解題》——數學思維的新方法，

[2]陳建花，王小莉，沈有健，思維導圖在幾何教學中的應用——以“最短路徑”為例，《中學數學教學參考》下旬，2016（08）：5-6

[3]辛穎.“思維導圖”下的數學“解題教學”初探[J].中學數學，2019（07）：44-45.