數(shù)學(xué)教學(xué)要處理好“立序”與“選材”

張偉

摘要：在教學(xué)中，學(xué)生千差萬(wàn)別，教學(xué)方式也多種多樣。但不管怎樣，數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)、學(xué)生的認(rèn)知方式往往是相對(duì)固定的，具有一定的順序和規(guī)律。教學(xué)先要“立序”，循序漸進(jìn)，不陵節(jié)而施;而“選材”則不那么固定，可以多元豐富，根據(jù)學(xué)生實(shí)際與教學(xué)需要合理選取，有時(shí)“簡(jiǎn)單、樸素，能呈現(xiàn)數(shù)學(xué)核心本義”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 立序 選材 《用字母表示數(shù)》

學(xué)生在學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”之前，已初步認(rèn)識(shí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，能體會(huì)到用數(shù)字表示數(shù)的確定性與唯一性。而用字母（或字母式）表示數(shù)，往往表示一些不確定、不唯一的數(shù)、數(shù)量，是從數(shù)到代數(shù)認(rèn)識(shí)的一次飛躍，涉及的思維更為抽象、概括、復(fù)雜，對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)存在認(rèn)知上的挑戰(zhàn)。

很多教師在執(zhí)教這一內(nèi)容時(shí)，往往忽略了其中最具數(shù)學(xué)意義的地方，即“用字母表示數(shù)”與之前學(xué)習(xí)的“用數(shù)字表示數(shù)”有什么不同。學(xué)生對(duì)于“為什么用字母表示”“何時(shí)用字母表示數(shù)”“用字母表示數(shù)有何特點(diǎn)”“用字母表示數(shù)有何價(jià)值”等問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與體驗(yàn)不足。究其原因，很大程度上與教學(xué)環(huán)節(jié)的順序設(shè)置不恰當(dāng)以及學(xué)習(xí)材料的選取、運(yùn)用不合理有關(guān)。現(xiàn)從聽(tīng)課經(jīng)歷中整理出兩個(gè)教學(xué)案例，進(jìn)行對(duì)比分析，分享自己的感悟。

一、教學(xué)案例

【案例1】

師（課件出示一個(gè)三角形）用小棒擺三角形，擺

1個(gè)三角形用幾根小棒？

生3根。

師（課件出示文字：擺1個(gè)三角形用3根小棒。然后，課件出示第二個(gè)三角形）擺2個(gè)三角形用幾根小棒？

生6根。

師怎樣列式？

生2×3=6。

師擺3個(gè)三角形呢？怎樣列式？

生3×3=9。

師擺4個(gè)三角形呢？

生4X3=12。

師（出示表1）為了便于觀察，我們可以把所擺三角形的個(gè)數(shù)和所用小棒的根數(shù)用表格的形式呈現(xiàn)出來(lái)。

師繼續(xù)擺下去，你還能想到哪些算式？

（學(xué)生回答，教師依次出示算式，延續(xù)表格。）師繼續(xù)寫(xiě)下去，能寫(xiě)完嗎？這樣的式子有多少個(gè)？生無(wú)數(shù)個(gè)。

師（在表格中填入“……”表示“無(wú)數(shù)個(gè)”）三角形的個(gè)數(shù)與小棒的根數(shù)有什么關(guān)系？你能用一個(gè)式子表示嗎？

生擺幾個(gè)三角形，小棒根數(shù)就有幾個(gè)3。

生小棒根數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3倍。

生可以用“三角形個(gè)數(shù)×3”表示小棒根數(shù)。

師如果用a表示三角形的個(gè)數(shù)，小棒的根數(shù)是多少呢？

生aX3。

生3×a也可以。

師同學(xué)們回答得真好！那這里的a可以表示哪些數(shù)？

生可以是1、2、3、4……

師0可以嗎？

生0也可以。

師看來(lái)a可以表示任意自然數(shù)。（出示如圖1所示的例題）大家會(huì)填空嗎？

生會(huì)。剩下的千米數(shù)是280-b。

師答對(duì)了！這里的6可以表示哪些數(shù)？

生應(yīng)該比0大，但不能超過(guò)280。

師看來(lái)在不同的情境下，字母的取值范圍是不一樣的。

【案例2】

師（出示①號(hào)信封）同學(xué)們，老師往①號(hào)信封中放了一支粉筆，可以怎么表示？

生1支粉筆，可以用1表示。

師很好。繼續(xù)看。（往①號(hào)信封中又放了2支粉筆）現(xiàn)在又怎么表示呢？

生用3表示。

師正確。（將①號(hào)信封藏到講臺(tái)下面，不讓學(xué)生

看見(jiàn)，又放入粉筆若干）現(xiàn)在可以用幾表示？

生可能是4，也可能是5、6、7……

生不一定，有很多可能。

師（板書(shū)：不確定）有無(wú)數(shù)可能嗎？可能有50支嗎？

生不可能，裝不了那么多。

師那現(xiàn)在裝的粉筆數(shù)應(yīng)該在什么范圍？

生應(yīng)該比3支多，但小于50支。

（教師同步板書(shū)，內(nèi)容如圖2所示。）

師今天我們碰到了一個(gè)特殊的情況：信封中的粉筆支數(shù)是不確定的，有多種可能，我們不能用以前學(xué)過(guò)的數(shù)字來(lái)表示到底有多少支，但這個(gè)結(jié)果又處于一定的范圍內(nèi)。數(shù)學(xué)上，我們有一個(gè)辦法，就是用字母來(lái)表示這個(gè)數(shù)，比如，我們可以說(shuō)①號(hào)信封中有a支粉筆。

生可以用b、c或其他字母來(lái)表示嗎？

師當(dāng)然可以。

師（拿出事先裝了若干粉筆的②號(hào)信封）這個(gè)②號(hào)信封中的粉筆你們也不知道有多少支，可以怎么表示呢？

生也可以用字母a。

生用字母b。

師同學(xué)們講了這么多，都是用字母表示的，看來(lái)你們已經(jīng)學(xué)會(huì)用這種方法來(lái)表示不確定的數(shù)了。很棒！但是，想一想，這里的粉筆數(shù)也用字母a好，還是換個(gè)字母如6好呢？生用b更好。

師為什么？

生因?yàn)樾欧獠煌耍锩娴姆酃P數(shù)也不一定相同，所以用不同的字母表示比較好。

師同學(xué)們說(shuō)得真好！如果這兩個(gè)信封里的粉筆數(shù)分別表示為a和b，你們認(rèn)為它們之間可能會(huì)有哪些大小關(guān)系呢？

（學(xué)生經(jīng)過(guò)討論后認(rèn)為有三種可能：a>b，a

師現(xiàn)在，如果我告訴你，②號(hào)信封中比①號(hào)信封中多2支粉筆，那②號(hào)信封中的粉筆可以怎么表示？

生因?yàn)棰偬?hào)信封中有a支粉筆，所以②號(hào)信封中是a+2支粉筆。

師（板書(shū)：a+2）這個(gè)時(shí)候，②號(hào)信封中的粉筆數(shù)是用b好，還是用a+2好？為什么？

生用a+2更好。

生都是借助字母來(lái)表示，但是用a～2來(lái)表示，一下子就能看出兩個(gè)信封中粉筆支數(shù)的關(guān)系。

（學(xué)生自發(fā)鼓掌，表示認(rèn)同。）

師你能根據(jù)“①號(hào)信封中有a支粉筆，②號(hào)信封中有a+2支粉筆”提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

生兩個(gè)信封中一共有多少支粉筆？

生②號(hào)信封中比①號(hào)信封中多幾支粉筆？

師我們一起來(lái)研究第一個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)信封中一共有多少支粉筆？我們可以怎樣列式計(jì)算？

生a+a+2。

生還可以怎么列式呢？

生aX2+2或者2×a+2。

師好的。看來(lái)用字母表示出不確定的數(shù)之后，還能進(jìn)一步計(jì)算呢！同學(xué)們同意嗎？

生同意。

二、分析與感悟

（一）“立序”為先

學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”？在學(xué)習(xí)該內(nèi)容之前，學(xué)生是用什么來(lái)表示數(shù)的？這兩個(gè)問(wèn)題的思考，對(duì)于這部分內(nèi)容教學(xué)的“立序”格外重要。顯然，學(xué)生學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”之前，都是用數(shù)字來(lái)表示數(shù)的。比如，案例2中，信封中裝了1支粉筆，就用“1”表示;裝了3支粉筆，就用“3”表示。而當(dāng)不能確定信封中粉筆的支數(shù)，無(wú)法用唯一確定的數(shù)字來(lái)表示時(shí)，就需要一種新的數(shù)學(xué)表示方法。這就是本部分內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)，即“數(shù)”變化了，不確定了，需要用字母來(lái)表示。

案例1中，字母的出現(xiàn)幾乎沒(méi)有特別的說(shuō)明與介紹，只是以這樣的兩個(gè)問(wèn)題過(guò)渡：“繼續(xù)寫(xiě)下去，能寫(xiě)完嗎？這樣的式子有多少個(gè)？”“如果用a表示三角形的個(gè)數(shù)，小棒的根數(shù)是多少呢？”a是怎么來(lái)的？?jī)H僅是因?yàn)閷?xiě)不完就想到用字母來(lái)表示嗎？為什么要用字母a表示三角形的個(gè)數(shù)？可以用其他的字母（比如b、c）嗎？小棒的根數(shù)也是未知的，為什么不用字母表示，而要用一個(gè)式子來(lái)表示？對(duì)以上問(wèn)題，案例1沒(méi)有很好地做出預(yù)設(shè)，也沒(méi)有做出細(xì)分處理。學(xué)生可能因?yàn)橄惹坝羞^(guò)用字母表示數(shù)量及數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)（如用字母式表示運(yùn)算律等），所以沒(méi)有產(chǎn)生理解上的困難。但教師卻不能在此關(guān)鍵的認(rèn)知節(jié)點(diǎn)蜻蜓點(diǎn)水，而需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的全過(guò)程，從而促進(jìn)其內(nèi)在認(rèn)知系統(tǒng)的再建構(gòu)。

相比較而言，案例2則理出了較為清晰的“立序”過(guò)程：（1）生活中，數(shù)的狀態(tài)有時(shí)是確定的，有時(shí)是不確定的;（2）數(shù)學(xué)中，不確定的、有范圍的數(shù)可以用字母來(lái)幫助表示;（3）同一事件中，通常用不同的字母來(lái)表示不同的數(shù)，且它們存在大小關(guān)系;（4）同一事件中，若兩個(gè)數(shù)之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，那么一個(gè)數(shù)可以用字母表示，另一個(gè)數(shù)可以用含有該字母的式子表示;（5）用字母或字母式表示出數(shù)量后，可以進(jìn)一步進(jìn)行運(yùn)算。根據(jù)這樣的“序”，教師確定了“往信封中放粉筆”的“材”。當(dāng)放入1支、3支時(shí)，可以用數(shù)字來(lái)表示;當(dāng)信封中的粉筆數(shù)不確定時(shí)，引發(fā)學(xué)生思考“現(xiàn)在可以用幾表示”，并且結(jié)合實(shí)際讓學(xué)生估計(jì)這個(gè)不確定數(shù)的范圍，進(jìn)而引出小學(xué)數(shù)學(xué)中用字母表示數(shù)的規(guī)定。學(xué)生通過(guò)對(duì)比，對(duì)這兩種情況（確定數(shù)與不確定數(shù)）就辨別得比較清楚了。再出示②號(hào)信封，讓學(xué)生嘗試用字母表示此信封中的粉筆數(shù)——可以用字母b，也可以用字母c、d等，但一般情況不用字母。，因?yàn)檫@兩個(gè)信封中的粉筆數(shù)應(yīng)該是不同的，有大小之分。最后，出示兩個(gè)信封中粉筆數(shù)之間的關(guān)系“②號(hào)信封中比①號(hào)信封中多2支粉筆”，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用含有字母a的式子表示②號(hào)信封中的粉筆數(shù)，并通過(guò)對(duì)比充分體會(huì)“用字母式既可以表示數(shù)量，也可以反映數(shù)量間的關(guān)系”，進(jìn)而體會(huì)“同一事件中，若兩個(gè)數(shù)量之間有聯(lián)系，用字母式表示比較方便”。同時(shí)，讓學(xué)生感受到：對(duì)于不確定的數(shù)量，用字母或字母式表示后，可以利用之前的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)列式計(jì)算，來(lái)解決問(wèn)題。

（二）“選材”要精

從“選材”的角度考慮，對(duì)案例1中的教學(xué)素材，學(xué)生顯然不容易感知“何時(shí)用字母來(lái)表示數(shù)”：學(xué)生發(fā)現(xiàn)“這樣的式子不能寫(xiě)完”時(shí)，教師只好用“如果用a表示三角形的個(gè)數(shù)，小棒的根數(shù)是多少呢？”來(lái)引導(dǎo)。這樣的素材處理方式完全跳過(guò)了教學(xué)重點(diǎn)“用字母表示數(shù)”，直接進(jìn)入“用字母式來(lái)表示數(shù)”，使得原本應(yīng)該循序漸進(jìn)的認(rèn)知過(guò)程變得倉(cāng)促而低效。另外，由于這一素材中“三角形個(gè)數(shù)”和“小棒根數(shù)”兩個(gè)數(shù)量是同時(shí)呈現(xiàn)的，且二者的數(shù)量關(guān)系（3倍的倍比關(guān)系）從一開(kāi)始就是顯性的，所以當(dāng)教師提問(wèn)“如果用n表示三角形的個(gè)數(shù)，小棒的根數(shù)是多少呢？”時(shí)，學(xué)生不用太多思考就能很快回答出是“a×3”或“3×a”。這樣的學(xué)習(xí)素材運(yùn)用以及處理方式，自然是不利于學(xué)生體會(huì)“用字母式表示數(shù)”的深刻意義與豐富內(nèi)涵的。

案例2中的學(xué)習(xí)素材雖然簡(jiǎn)單，只用了兩個(gè)信封和幾支粉筆，但圍繞情境次第開(kāi)展各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教學(xué)實(shí)施處理得當(dāng)，反而取得了較好的教學(xué)效果。首先，借助往①號(hào)信封中裝粉筆，簡(jiǎn)潔明了地呈現(xiàn)“確定”與“不確定”兩種狀態(tài)，凸顯數(shù)變化的特征。然后，通過(guò)出示②號(hào)信封，幫助學(xué)生深化理解“用字母與用字母式表示”的數(shù)學(xué)意義：一方面，強(qiáng)化不確定的數(shù)可以用字母表示的認(rèn)識(shí);另一方面，當(dāng)兩個(gè)信封中的粉筆數(shù)建立明確的比較關(guān)系后，學(xué)生通過(guò)比較會(huì)獲得新的認(rèn)識(shí)，即②號(hào)信封中的粉筆數(shù)用a+2表示更好，因?yàn)椤坝胊+2=6來(lái)表示，一下子就能看出兩個(gè)信封中粉筆支數(shù)的關(guān)系”。借助精練的學(xué)習(xí)材料，有效凸顯了知識(shí)的本質(zhì)。此外，在體會(huì)用字母（式）表示數(shù)的價(jià)值方面，教師引導(dǎo)學(xué)生自主提問(wèn)“兩個(gè)信封中一共有多少支粉筆”，進(jìn)而了解到字母（式）可以進(jìn)一步運(yùn)算，從而打破只能用確定的數(shù)運(yùn)算的固有認(rèn)知，初步感知代數(shù)思維，為后期學(xué)習(xí)方程及函數(shù)知識(shí)打下基礎(chǔ)。

在教學(xué)中，學(xué)生千差萬(wàn)別，教學(xué)方式也多種多樣。但不管怎樣，數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)、學(xué)生的認(rèn)知方式往往是相對(duì)固定的，具有一定的順序和規(guī)律。教學(xué)先要“立序”，循序漸進(jìn)，不陵節(jié)而施;而“選材”則不那么固定，可以多元豐富，根據(jù)學(xué)生實(shí)際與教學(xué)需要合理選取，有時(shí)“簡(jiǎn)單、樸素，能呈現(xiàn)數(shù)學(xué)核心本義”。