淺談配方法在初中數學中的應用

李勁松

摘 要：將一個式子或式子的一部分通過恒等變形為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法。這種方法是初中數學中一種重要的恒等變形方法，是解題的有力手段之一。初中數學中經常在解方程，化簡二次根式，求二次函數的最值以及證明等領域中有著廣泛的應用，若學生在解題時能熟練掌握并靈活運用，那么學生運用知識解題的能力也就明顯提高了。同時，配方法的應用也能培養學生思維能力，解題技巧和靈活性。本文從幾個例題中來體現配方法在初中數學中的應用。

關鍵詞：初中數學;配方法;應用

初中數學是中學生學習的重點，配方法又是數學學習的重點和難點之一。在教學中先要求學生掌握其基本公式：a2±2ab+b2=a±b2，只要對已知的式子進行靈活巧妙的配方，就可以找到解決問題的途徑。結合我在教學中的體會，下面談幾種配方法應用的例題。

用配方法解一元二次方程

例1：解方程：2x2+3=7x

解：1化：方程化為一般形式，二次項系數化為1，

x2-72x+32=0

2移項：常數移到方程右邊，

x2-72x=-32

3配方：方程兩邊加上一次項系數一半的平方，

x2-72x+4916=-32+4916

4變形：方程左邊化成完全平方，右邊合并同類項，

x-742=2516

5求解：用直接開平方法解出方程，

x-74=±54

所以：x1=3，x2=12

用配方法化簡二次根式

例2：化簡二次根式：

（1）4+23;（2）13-242

解：（1）4+23=3+23+1=32+23+12=3+12=3+1

（2）13-242=7-242+6=72-242+62=7-62=7-6

用配方法求最值

（一）、應用在二次函數中求最值

例3：某廣告公司設計一幅周長為12米的矩形廣告牌，設計費為每平方米1000元，設矩形的一邊長為x米，面積為S平方米。

（1）求出S與x的函數關系式，并確定自變量的取值范圍;

（2）請你設計一個方案，使獲得的設計費最多，并求出最高費用。

解：（1）∵矩形的周長為12m，其中一邊為x，則另一邊為（6-x），

∴S=x6-x=-x2+6x0

（2）S=-x2+6x=-x2-6x=-x2-6x+9-9=-x-32+9

∴當x=3時，即邊長為3m的矩形廣告牌的面積最大，最大面積為9m2，此時獲得最高廣告費用為：9×1000=9000元。

（二）、應用在代數式中求最值

例4：已知代數式：2x2-10x+15，試說明無論x取何值，代數式的值總是正數，再求出x取何值時代數式的值最小，最小值是多少？

解：2x2-10x+17=2x2-5x+17=2x2-5x+254-254+17

=2x-522+92

∵2x-522+92>0

∴無論x取何值，代數式的值總是正數;且當x=52時，代數式有最小值，最小值為92。

配方法在證明題中的應用

（一）在一元二次方程中的證明

例5：已知關于x的一元二次方程mx2-3m+3x+2m+4=0，求證方程總有兩個不相等的實數根。

證明：∵?=-3m+32-4m2m+4

=9m2+18m+9-8m2-16m

=m2+2m+9

=m+12+8>0

∴方程總有兩個不相等的實數根。

（二）在二次函數中的證明

例6：求證：無論m取任何實數，拋物線y=2x2-mx+m-3都與x軸有兩個交點。

證明：∵a=2>0

∴拋物線y=2x2-mx+m-3開口向上

令y=0，則2x2-mx+m-3=0

?=-m2-8m-3=m2-8m+24=m-42+8

∵?=m-42+8>0

∴無論m為任何實數，拋物線與x軸都有兩個交點。

（三）、在恒等變形中的證明

例7：已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，求證△ABC為等邊三角形。

證明：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc

∴2（a2+b2+c2）=2（ab+ac+bc）

2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc

a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2ac-2bc=0

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0

a-b2+a-c2+b-c2=0

∴a-b=0，a-c=0，b-c=0

即：a=b=c

∴△ABC是等邊三角形。

所以，配方法在初中數學中占有非常重要的地位，它是代數中恒等變形的重要手段，是研究等量關系，討論不等關系的常用技巧，也是求代數式和二次函數最值的重要方法，是初中生必備的一種解題能力。讓我們共同學好它，用這把利劍在學習數學知識道路上披荊斬棘。

參考文獻

[1]施月星，呂秀華.配方法在初中數學解題中的應用[J].數學教學通訊，1993（04）：31.

[2]特殊化思想與初中數學解題[J].全溫.數學教學通訊.1994（03）