試析分類討論在“圓”教學中的運用

胡定祥

摘;要：初中數學思想中的分類討論思想，就是將研究的數學對象分成若干類，并對各類情況進行討論，達到解決問題的一種數學方法。分類討論時，要做到不重不漏，并保證解答的完整性。本文對"圓"中分類討論思想，結合例題加以分析。

關鍵詞： 分類討論;位置關系; 數學對象;教學運用

圓是非常美的幾何圖形，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉不變性，這給學生帶來了許多思考，從而提高學生的思維能力。

新課標指出：“通過義務 教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能”。所以在數學教學中有效地滲透，培養數學思想方法，已逐漸成為數學課改的熱點。數學思想，是指人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識。初中階段常見的數學思想包括：函數與方程思想、化歸轉化、分類討論思想、數形結合思想等。其中分類討論思想是初中數學中最常見、最重要的一種數學思想。

一、分類討論思想的概念

分類討論思想是一種最基本的解決問題的思維策略，就是把要研究的數學對象按照一定標準劃分為若干不同的類別，然后逐類進行研究，求解的一種數學解題思想。

二、引起分類討論的主要原因：

分類討論是比較數學對象的共同性和差異性，根據數量關系或空間形式的某一標準將數學對象分為不同種類，然后分別對它們進行討論，得出結論的數學思想方法。產生的原因有：

（1）概念本身是分類定義的（如絕對值概念）;

（2）公式、定理、性質和法則有范圍或條件限制;

（3）題設的數量大小或關系確定，而圖形的位置或形狀不確定;

（4）題目的條件或結論不唯一;等。

三、解答分類討論型問題的步驟

解決分類討論型問題，需要具備扎實的基礎知識，和靈活的思維方式，對問題進行全面衡量、統籌兼顧，切忌以偏概全。

一般步驟為：

（1）確定分類對象;

（2）對問題中的某些條件進行分類;

（3）逐類進行討論;

（4）對各類討論結果進行歸納，并加以整合，得出結論。

四、分類討論思想在初中數學教學中的應用舉例

初中數學教學中滲透著分類討論思想。應用分類討論思想解題對學生的能力要求較高，在課堂教學中滲透、提煉，還要加強訓練。

1.點與圓的位置關系不唯一性

例1.若⊙O所在平面內一點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b（a>b），則此圓的半徑為（?? ）。

分析：點P可能在圓內，也可能在圓外;如圖1、如圖2

易知，選（C）。

例2. 過不在⊙O上的一點A，作⊙O的割線，交⊙O于B、C，且AB·AC=64，OA=10，則⊙O的半徑R為___________。

分析：點A與⊙O的位置關系有兩種：

（1）點A在⊙O內，如圖1，延長AO交⊙O于F，由相交弦定理易得：

（2）點A在⊙O外，如圖2，由割線定理易得：

故⊙O的半徑R為或6。

2.由圓心與弦的位置關系引發多解

例3.已知中，弦，

且AB=6cm，CD=8cm，半徑為。求之間的距離。

分析：在半徑為的圓中，平行弦的位置關系有如圖5和圖6兩種情形：

易得：弦AB、AC之間的距離為7cm或1cm

3.圓心與角的位置

例4. 在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長分別為和，則∠BAC的度數是____________。

分析：圓心O與∠BAC的位置關系有兩種;

當圓心在∠BAC內部時，如圖7，

易得 ∠BAC=75°

當圓心O在∠BAC的外部時，由軸對稱性可知：∠BAC=15°

所以∠BAC為75°或15

例5. 半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為，那么這條弦所對的圓周角的度數等于___________。

分析：弦所對的圓周角有兩種情況：

（1）當弦所對的圓周角的頂點在優弧上時，其圓周角為60°;

（2）當弦所對的圓周角的頂點在劣弧上時，其圓周角為120°。

故應填60°或120°。

4.點在直徑上的位置不唯一性

例6.已知⊙O的直徑AB=10cm，弦CD⊥AB于點M。若OM：OA=3：5，則弦AC的長為多少？

分析：垂足M可能在半徑OA上，也可能在半徑OB上。

M在半徑OA上。如圖8。?易知：AC=2（cm）

M在半徑OB上。如圖9.?易知：AC=4（cm）

所以，弦AC的長為2cm或者4cm。

5.點在弧上的位置

例7. 如圖10，在平面直角坐標系中，P是經過O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圓上的一個動點（P與O、B不重合），則∠OAB=_________度，∠OPB=_________度

分析：依題意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB=45°

（1）當動點P在上時，∠OPB=∠OAB=45°

（2）當動點P在上時，∠OPB=180°-45°=135°

所以，∠OPB為45°或135°

綜上所述，分類討論在初中數學的運用中占有很重要的地位。這就要求我們在學習數學的同時要不斷積累數學知識，形成知識網絡，領悟其中蘊含在數學中的思想方法，才能提高解決數學問題的能力。