探討高考解析幾何的數學思想方法

吳慧 吳龍澤

摘要：解析幾何在普高中有著不可或缺的地位，在歷年的高考中都占著一席之位。分類和整理分析2010-2019年高考的解析幾何考題，得出其含有的數學思想方法主要有數形結合、化歸、函數與方程和分類討論等。結合一些實踐經驗，提出教學時一要因材施教，二要堅持不懈，三要注意自然性等教學建議。

關鍵詞：高考;解析幾何;數學思想方法

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2020）25-0291-02

普高課程標準指出，一方面，根據題意，合理建立直角坐標系，掌握圓錐曲線標準方程和幾何性質等基礎知識。另一方面，代數和幾何能互相轉化，能夠運用多種數學思想方法解決問題。平面解析幾何是高考的寵兒，每年必考。只有知己知彼，才能戰無不勝。只有掌握其考點以及如何考，才能有目的性的學習，爭取做到知根知底、事半功倍。將2010-2019年全國卷Ⅰ（文科）解析幾何考題進行分析和整理。

近10年，高考的文科和理科都是考查3道題?？陀^題2道10分，解答題1道12分，共22分。就考查對象而言，直線與方程第Ⅰ卷考查4次，第Ⅱ卷是14次;圓與方程第Ⅰ卷考查0次，第Ⅱ卷是10次;橢圓與方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是4次;雙曲線與方程第Ⅰ卷考查5次，第Ⅱ卷是2次，都出現在填空題;拋物線與方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是6次，都出現在解答題[1]?？碱}分布比較平衡。

就考查的知識點而言，標準方程在2010-2018年都考查1次，2019年考查2次。幾何性質在2012、2015年都考查3次，2011、2013、2014、2017和2019年都考查2次，其他年份為1次。直線與圓錐曲線在2011年考查3次，2010、2016、2018和2019年都考查2次，其他年份為1次。一般情況，客觀題考查比較獨立，以幾何性質及基本量的運算為主，計算量不大，屬于得分題。但是如果客觀題以壓軸題呈現，難度大幅度增加，屬于失分題。近10年，解答題有8次在第20題，2013和2019年則是出現在第21題。它分2小題設問，第一問一般比較簡單，易得分，主要考查定義和幾何性質，第二問則與三角函數、平面向量等知識相結合，綜合考查學生能力，屬于中等題或者難題。

解析幾何在高考中有著舉足輕重的地位，其體現的數學思想方法是多種多樣的。以下對試題中所蘊涵的幾種主要數學思想方法給予具體說明。

【解題思路】在第Ⅰ問中，⊙M和⊙N的圓心關于原點對稱，曲線C有可能是橢圓或者雙曲線，可以分情況討論，找矛盾，得出答案。第Ⅱ問關鍵是求出⊙P的方程，然后根據直線l與兩圓都相切，求出直線方程。在求直線的過程注意直線斜率分情況討論，存在與不存在問題，最后結合橢圓方程，求出AB長度。

除了以上的4種平面解析幾何常用的數學思想方法，考題中還包括了類比、特殊到一般等思想方法。數學思想方法學習并不是一朝一夕的事，而是需要在整個教學過程中逐漸積累。由此，提出以下幾點教學建議。

首先，教師在教學時要因材施教。對不同層次的學生要采用不同的方法，不能“一刀切”。后進生在鞏固基礎知識的同時滲透數學思想方法，中等生要教會他們能簡單運用數學思想方法，優等生要能靈活運用數學思想方法解答試題。例如在選修1-1的2.3.2拋物線幾何性質的例5，對于后進生可以滲透函數與方程思想進行講解，對于中等生可以多加講解分類討論思想方法，對于優等生不僅要求會掌握運用以上的思想方法，而且可以再進行拓展，提高難度。又如在選修1-1的2.2.2雙曲線幾何性質，講解例5時，后進生可講授數形結合思想。而中等生可用類比思想比較第41頁的例6，得出其第二定義。對于優等生，可由例5和例6，從特殊到一般，總結圓錐曲線的軌跡問題。

接著，教師在教學時要堅持不懈。只有反復強調，學生才能每時每刻想著數學思想方法，用其指導解題。例如在選修1-1的2.2雙曲線，在新授其標準方程可以類比橢圓。類似的，在授課幾何性質時候也可以類比橢圓來展開。焦點在y軸上的性質可以類比焦點在x軸的性質。反復強調，學生不僅記得牢而且不易混淆，還有利于思想方法的運用。又如在必修2的第4章在講解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，從它們相似之處強調類比思想。運用代數法和幾何法證明它們之間的關系，反復強調數形結合的重要思想方法。

然后，教師在教學時要注意自然性。在教學過程中，要掌握好講解思想方法的時機，可以在概念講解中，也可以在例題后。注意有機結合，不可生硬照搬。例如在必修2的4.2.2圓與圓的位置關系這節課里，可以類比直線與圓的位置關系引入新課，自然而然引入類比方法。接著用圓心距與兩圓半徑的關系判斷位置，同時用兩圓的解析式構建方程組，由實數根判別式得到兩圓的關系。自然而然的講授數形結合的思想方法。又如在必修2的4.2.3直線與圓的方程的應用，在講解例4和例5后自然而然的引入“轉化”的思想，代數與幾何的轉化步驟。

參考文獻：

[1]陳中峰，楊蒼洲. 2016年高考“圓錐曲線與方程”專題命題分析[J].中國數學教育（高中版），2016（9）：15-23.

[2]劉紅.高中生數學思想形成的教學研究[D].天津師范大學碩士學位論文，2009.

[3]杜志健.2010-2019金考卷特快專遞全國統一命題卷高考真題匯編10真文科數學[G].新疆：新疆青少年出版社，2019.

[4]傅海倫.數學思想方法發展概論[M].濟南：山東教育出版社，2013：106-124.