高中數學概念教學的宏觀思考與微觀探究

浦麗敏

[摘? 要] 對于高中數學學科而言，數學概念的地位不容忽視，科學的數學概念教學有一個前提，那就是教師對數學概念教學的認識問題，這實際上也就是數學教師的教學觀. 綜合了數學觀、體驗觀與學習觀的高中數學概念教學，可以超越傳統，從而更好地服務于數學學科核心素養的培育.

[關鍵詞] 高中數學;概念教學;教學觀

對于高中數學學科而言，數學概念的地位不容忽視，傳統的認識當中，數學概念是建構數學知識體系的基礎;而從學生學習能力提升的角度來看，數學概念的教學本身就是一個培養學生學習能力、培育學生學科核心素養的過程. 在現行的評價體制之下，數學概念的教學又常常被忽視，教師要將大量的時間投入到習題訓練當中——這是一個非常吊詭的悖論：從學科教學規律的角度來看，數學概念的教學不可忽視;從解題能力的培養角度來看，數學概念的教學要讓位于習題訓練. 那么高中數學教學如何認識概念教學？如何還原概念教學應有的地位？在實際的概念教學當中，又應當采用什么樣的合理途徑？回答這些問題，筆者以為離不開一個前提，那就是教師對數學概念教學的認識問題，這實際上也就是數學教師的教學觀. 本文擬從三個方面，闡述筆者的一些淺顯認識.

數學觀：數學概念教學的宏觀指導

數學觀是教師對自己所教學科的認識，同時數學觀也是學生對數學學科的認識. 如果說前者為很多教師所熟悉的話，那后者往往為教師所忽視，但實際上學生的數學觀對數學學習的影響非常大，因此教師必須予以高度重視. 一般認為，數學觀是對數學這一對象進行理性思維的產物，學生的數學觀必須在教師的引導下才能形成，教師的數學觀對學生具有決定的影響，因而數學觀的問題實際上就是數學教育的核心問題.

在核心素養背景下，科學的數學觀應當具有這樣的兩個特征：一是數學的研究對象是簡潔的. 數學是研究數與形的科學，數學所研究的數，既包括“數”，也包括“數與數之間的關系”;數學所研究的形，既包括實際生活中的事物抽象出來的形，也包括用以描述生活中的事物的形，還包括人們基于數學之間的邏輯關系而想象出來的形. 因此到了高中階段，在理解數學學習的時候，高中學生應當認識到自己在數學學習的過程中，所研究的對象是什么. 二是數學學習的本質，與核心素養的六個要素是完全一致的，而數學學科核心素養經過專家的提煉之后，“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言描述世界”就成為一個非常重要的論斷. 從這個角度講，科學的數學觀就意味著高中學生必須清楚地知道自己通過數學學習，應當達到一個什么樣的層次.

具體到數學概念學習的過程中，科學的數學觀所具備的兩個特征，應當與學生對數學概念的認識這樣對應：數學概念是描述數與形的關系的基石，同時也可以理解為最基本的數與形的關系的高度概括;而學生通過數學概念學習之后，就可以將數學中或者生活中與該概念相關的內容，直接以這個概念來進行表述. 舉一個簡單的例子，“函數”作為高中數學體系中最為重要的概念之一，在數學觀的觀照之下，學生不僅應當在看到明顯具有函數關系的數學表達式，還能夠想到“函數”這一概念;同時還應當在看到生活中具有函數關系的事物時，也能夠反映出“函數”這個概念，最常見的就是生活中的商品促銷與話費套餐，等等，這些實際上都是或簡單或復雜的函數計算的產物.

體驗觀：數學概念建構的有效途徑

在具備了科學的數學觀之后，要思考的另一個問題，就是在數學概念學習的過程中，應當選擇什么樣的途徑？在相當長的一段時間里，無論是教師還是學生，對于概念的教學往往都認為數學概念是已有概念經過一定的邏輯而演繹的產物，而一旦形成了這樣的教學觀，數學概念的教學過程，必然就只是數學概念與概念之間的邏輯演繹. 誠然，相當部分概念確實是可以這樣生成的，但是如果忽視了學生的個體體驗，那么學生就會感覺數學學習非常抽象;一旦學生認為某一個學科的學習比較抽象時，他們在心理上就會產生畏懼感，這顯然是一種負面作用. 因此筆者認為，在高中數學概念的教學中，應當重視學生的體驗，正如有同行所指出的那樣，數學概念教學應當聯系實際以體驗概念的產生，聯系舊知以揭示概念的形成，充分探究以凸顯概念的生成，利用“問題串”以深入概念的核心，比較辨析以抓住概念的本質，這樣才能真正使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造，認識數學概念的思想和本質. 無獨有偶的是，學習是發生在學習者個人內部的一種活動，情境理論則認為，學習的實質是個體參與實踐，與他人、環境等相互作用的過程，是形成參與實踐活動的能力、提高社會化水平的過程. 同樣以“函數”概念的教學為例，從教學觀的角度來看，需要讓學生認識到函數是刻畫或描述兩個變量之間依賴關系的數學模型. 而為了呼應高中的教學要求，在實際教學中可以將該闡述中的“兩個變量之間依賴關系”轉換成生活中的實際事物，比如在實際教學的時候，可以給學生提供這樣一些案例一共分析：某一個地方一天24小時的氣溫隨時間的變化;某一個重物在下落的時候，下落的距離與時間的關系;某一個城市人口的數量與時間之間的關系……在這樣的一些案例當中，學生所看到的不是抽象的“兩個變量之間依賴關系”，而是實實在在的氣溫與時間、下落距離與時間、城市人口的數量與時間……這樣的話，學生的思維對象就比較明確，也比較熟悉，于是他們在研究兩個變量之間依賴關系的時候，也就更加順利了.

應當說通過這樣的一個案例提供，學生在函數概念的建構過程當中體驗元素還是比較充分的，這種體驗不是人們常說的身體參與，不是動手做，而是對生活中常見的具有函數關系的事物的感受，以及在此基礎上形成的認識. 相比較而言，后者更為重要，因為數學概念的形成，本質上是學生通過大腦思考而建構出來的，這樣的一個體驗過程，是符合高中數學概念的建構需要的. 進一步分析：學生最為熟悉的其實是自由落體的實例，因為學生在其他學科中已經有了一定的研究，他們清楚一個物體在做自由落體運動的時候“下落的距離”與“時間”的關系，知道兩者之間是一種函數關系;而此時形成的認識，如果演繹到其他的實例當中，其實就是一種認識的遷移，也是一種能力的遷移. 從這個角度來看，教師在給學生設計思維體驗活動的時候，還應當注意案例提供的順序，通常強調由易到難，這樣學生的體驗過程將更加科學，所建構出來的數學概念也會更加鞏固.

學習觀：數學概念教學的堅實依托

在研究高中數學概念教學的時候，如果認同以生為本的教學觀念，如果堅信數學概念本質上是由學生通過自己的腦力活動而建構出來的，那么在數學概念的教學過程中，還應當去研究學生的學習觀. 當然需要指出的是，站在學生的角度研究學生的學習觀，本質上與上面提到的數學觀與體驗觀并不矛盾，因為數學班本質上也是要指向學生的，教師既希望學生在數學概念的學習過程中，能夠建立起科學的數學關系，又希望通過良好的數學觀去促進數學概念更好地形成;而體驗觀的提出，原本就是強調學生應當通過自己的體驗，去讓數學概念的形成過程更加符合高中學生的認知特點.

故而回到學生學習觀的討論上來，教師一方面在高中概念教學中應當注意到不同概念的特點，合理選擇運用理論，要深入理解建構主義，靈活運用于教學實踐，要堅持“螺旋式上升”的教學原則，引導學生概念圖式的建構;同時更應當認識到，在包括數學概念的教學過程中，要致力于培養學生良好的數學學習觀念，只有當學生認識到數學概念的形成其實是一個累積式的、螺旋上升的過程時，他們在數學學習的過程中才能表現出更加良好的心態. 譬如上面所舉的函數概念的教學實例，通過學生熟悉的例子的分析，再進行適當的實例變換，可以培養學生的一種學習觀，即一個數學概念是可以從實例的分析當中獲得的;而分析實例的過程，需要進行分析與綜合，還需要進行概括，這些都是具體的數學思想方法的運用. 如果學生認識到數學概念的形成實際上是遞進式思維的產物，那么對于其他概念的學習是有幫助的.

總之，學生的學習觀對于數學概念的建構而言有著重要的依托作用，認識到這個作用的存在，能夠為數學概念的教學提供內驅力，而綜合了數學觀、體驗觀與學習觀的高中數學概念教學，也一定可以超越傳統，從而更好地服務于數學學科核心素養的培育.