淺談復變函數解題方法

摘?要：數學解題過程是一個非常有邏輯性、系統性的過程，面對不同類型的題目，可以聯系到的解題方法也是多種多樣的。而復變函數在整個數學體系中占有十分重要的地位和作用，如何在解題過程中充分的熟練、掌握相關解題思維，提高解題能力，在進行復變函數的學習過程中十分重要。本文通過介紹兩種方法，將數學解題中典型的劃歸、轉化方法貫穿復變函數的解題過程，從而大大提高其在復變函數解題中的運用，提高解題能力。

關鍵詞：復變函數;解題方法;化歸;轉化

作為數學方面的重要基礎課程之一，復變函數的運用在整個數學邏輯體系中地位非常重要，學好復變函數，既是對之前所學的課程進行一個鞏固和溫習，實現熟練地運用，同時也是為后續關于各類函數的課程的學習、深造打好的堅實的基礎。復變函數的解題方法為其他涉及這個知識點的數學分支，提供了一個更為清晰、重要的解題工具，從而在其他涉及數學的領域中都具有很廣泛的運用。

一、 復變函數

復變函數論產生于十八世紀，其全面發展是在十九世紀，就像微積分的運用的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，復變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。身為數學中一門豐富的學科，在當時的數學家公認復變函數論是數學分支中內容最為豐饒的學科之一，并且贊譽其為十九世紀的數學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。

復變函數的相關理論應用十分廣泛，在其他學科領域也有著大量的運用，例如物理學利用復變函數解決穩定平面場的計算。同時，其在微分方程、數論、概率論等領域也有成熟的發展，大大促進了數學領域的廣闊分支的進步發展。

二、 化歸的方法

（一）化歸的方法的原則

在復變函數的一系列解題方法中，化歸方法是其中最為普遍存在的方法之一。學生在完全理論掌握之后，若同樣能夠運用這種方法進行熟練的演算的話，可以提高學生的解題能力。但是，若是想要真正地理解并且正確的運用化歸方法，需遵循以下幾個原則：

1. 熟悉化原則

面對其他未知的問題時，就能夠通過讀題和分析，再思考以前所遇到的題型能否找到類似出題規律的題目，將其轉化為熟悉的問題，用學過并且熟練掌握的知識和方法進行解答。如果轉化問題的能力并不熟練，或者遇到的題并沒有發現是熟悉的，那么可能就難以正確作答，就更沒有辦法找到合適的轉化方法。

2. 簡單化原則

面對復變函數的題目時，可以將看似困難復雜的問題往簡單的方向進行轉化。在這個過程中，可以鍛煉學生自己的思維變通能力，并且簡化做題步驟，從而更加便捷地進行答題。

3. 直觀化原則

首先學生是一定要進行復變函數方面的大量解題，這樣才能夠在題目中找到一致的規律。這樣在對于抽象、深奧的問題，可以通過將其類比至其他相對比較直觀，具體、淺顯易懂的方向，再利用所學過的知識和方法進行解答。

因此，化歸要最大限度地做到化繁為簡、化難為易、化抽象為具體等，在復變函數的解題過程中，要用變化發展的眼光去看待問題，對問題進行化歸。

（二）在復變函數中的運用

在復變函數教學中，對于基本概念，做題時候切忌不要只是簡單地按照理論知識解答，照本宣科，這樣思維容易進入死胡同，難以探尋出更為簡便的解題方法。

總之，在對復變函數進行認真的學習之后，充分掌握相關數學概念，在解題過程中發散思維，用聯系的觀念看問題，學會舉一反三，夯實基礎。

三、 轉換的方法

轉化思想是數學中一種非常重要的思想，是運用一定的技術和手段把一待解決的數學問題轉化為另外一個或幾個較簡單的數學問題，從而使問題得到解決的一種思想方法，這在復變函數的解題應用中尤其廣泛。

轉換思想對解答數學題目時的邏輯思維要求尤其更高，只有在充分的對復變函數相關數學知識結構、理論體系和研究方法有一定程度的了解，才能夠自如地對未知的題目進行準確的轉化，從而達到成功解題的目的。而復變函數是數學分析在復數域內的延伸，這使得轉換思維在復變函數的解題過程中尤為重要，如何將復變函數的問題轉化為數學分析中相對常見的問題來研究、解答，對解題技巧提出了一定的要求。

例如，在學習復變函數概念時，如何將函數轉化為w=u（x，y）+iv（x，y），這時候就可以借助于相當熟悉的實二元函數來進行類比。將實二元函數的性質和研究方法有了深入的理解和認識之后，就可以去探索復變函數的性質，并且討論其極限和連續性。對于某些積分理論不能解決的復積分問題，就可以運用羅郎級數的相關知識點，將復雜的復變函數積分轉化為簡單的積分，從而進行計算。另外，在求解復變函數積分過程中，利用代換的思想，將較為復雜的函數轉化為第二類曲線積分，從而利用曲線的復參數方程，結合曲線積分的概念，運用換元的思想來實現復變函數的積分，這樣就可以將復積分就轉化為定積分來處理。

在解題的過程中，面對未知的題目，要充分調動大腦去創設條件，啟發自己的類比轉化思維，從而實現自主探索，并且將題目實現正確的轉化，從而做到將未知、復雜的亟待解決的問題轉化為熟悉的問題。

四、 總結語

劃歸和轉化兩種思維方式，在復變函數的解題中一直都得到了廣泛的應用。因此，在進行復變函數的解題過程中思維的鍛煉，必要的前提都是要對基本概念、理論和方法進行充分學習，這樣才能切實的掌握更為簡便、快速的解題方法，實現提升思維能力的目的。

作者簡介：

劉莉，貴州省黔南布依族苗族自治州，黔南民族幼兒師范高等專科學校。