由特殊到一般的方法在數學學習中的體現

魏選平

摘 要：本文詳細介紹了由特殊到一般的教學方法，在小學、中學及大學學習中的體現，反映出辯證的哲學思想，此方法對現實的數學教學具有很強的指導性。

關鍵詞：特殊;一般;哲學;數學教學

世界上任何事物都處于相互聯系之中，矛盾的普遍性寓于特殊性之中，并通過特殊性表現出來，該規律在高等數學學習上也有指導意義。基于同類問題的最簡單特殊問題與同類復雜問題間的平行的相似性，由最簡單特殊問題研究、概括總結推廣出同類復雜問題的解決方法。縱觀各年級的數學學習，都先由特殊的實例概況歸納出本質規律，從而熟能生巧地總結概括推廣出概念、定理，公式。這些定理、公式可解決同類事物中的所有復雜問題，由小學、初中、高中、大學數學的學習過程，無不體現出由特殊到一般，再由一般到特殊的規律。這種規律和方法具體體現在小學、初中、高中、大學數學學習的知識點和知識體系上。

一、方程移項原理體現了由特殊到一般，由簡單到復雜的規律

小學四年級學習了含有未知數的等式是方程。方程的移項原理是移項時，加變減，乘變除。那么，這樣簡單地推理出移項的本質是移項時正運算變反運算。實際上，移項原理也來自于實際生活。物理上，用天平秤物體質量時，左物右碼，左邊放物體后，右邊如放1克和2克的砝碼天平平衡時，說明左邊物體的質量時3克，可用1+2=3表示。如左邊去掉1克重物，要使天平達到新的平衡，需去掉右邊1克的砝碼。這就相當對上邊1加2等于3的等式兩邊同時減去1，就變成了2=3-1。這也相當于1由等號左邊移到右邊變成減1了。初步說明了移項原理是加變減。同樣，4×2=8的等式兩邊同時除以2，就變成了4=8÷2。這也相當于2由等式的左邊移到右邊乘變除的道理。這都說明等式移項的原理是一種運算變成了它的反運算。

初中的乘方與開方是一對反運算，在等式移項中也能體現。如式1所示，如2的立方等于8，將立方運算由左移到右邊就變成了開立方，即2等于8的開立方。

高中的指數與對數是一對反運算，在等式移項中也能體現。如式（2）所示，如2的立方等于8，將底數2由左移到右邊就變成了開立方，即2等于8的開立方。

大學的微積分也是正反結合的體現，如式（3）所示，x立方的導數等于x 的平方的三倍，將導數運算由等式的左邊移到左邊時，就得到x立方等于x平方的3倍的不定積分。

二、小學、初中、高中、大學數學學習中的體現

1.小學學習中的體現

圓的周長公式也可由生活中的特殊到一般規律歸納出來。例如，車輪滾動一周的長度就是周長，如何測車輪周長用圓片試試看，圓片向右滾動一周，用線繞圓片一周可測量出圓的周長與直徑有關，找3個大小不同的圓片分別測量出園的周長和直徑，做一做，填一填。如下表所示。

測量會有誤差，可多測幾次求平均值，會發現圓的周長總是與直徑的3倍多一點，從而得出圓的周長除以直徑的商是一固定的數，稱其為圓周率，用字母表示，計算時常數取3.14，從而可用圓的周長公式求出所有圓的周長。該例從生活中的簡單的特例概況出圓的周長公式。利用所求不同的圓的周長，這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問題的問題。

2.初中數學學習中的體現

勾股定理的學習可聯系生活實際，對于任意三角形，只要是直角三角形，它的三邊的長度就為一對勾股數，反過來，只要一三角形的三邊長互為勾股數，則該三角形一定是直角三角形。從而總結出勾股定理。即任意直角三角形中，兩直角邊的平方和一定等于斜邊的平方。由勾股定理可解決不同直角三角形的邊角問題，尤其是從直角三角形的形狀特性可總結出其性質規律，由勾股定理和直角三角形的性質可解決所有直角三角形問題。這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問題的問題。

3.大學高等數學學習中的體現

一曲線通過點（1，2），且在該曲線上任一點（x，y）處的切線的斜率為2x，求這曲線的方程.

上述兩個例子中的關系式（5）和（6）都含有未知函數的導數，它們都是微分方程. 一般地，含有未知函數及未知函數的導數或微分的方程稱為微分方程。微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數。

如果微分方程中含有任意常數，且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解稱為微分方程的通解.不含任意常數的解，稱為微分方程的特解.如函數（6）是微分方程（5）的通解，函數（6）是微分方程（5）的特解。為了從通解中能確定出該問題的特解，需要未知函數滿足一些附加條件，這類附加條件稱為初始條件。

三、結論

綜上所述，小學、初中、高中、大學數學學習中的知識點和知識體系都體現出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規律，這就啟示我們在數學學習中只有抓住同類簡單特殊問題與一般復雜問題間的相似性，才能由小學、初中、高中的簡單特殊問題的學習和研究，熟能生巧地推廣和概括出大學的一般復雜問題的學習。小學、中學、大學數學學習中的每一個重要公式、概念、定理都是從生活中簡單特殊的實例總結概括歸納出來的，由這些基本定理公式又可解決形形色色的同類所有問題。也體現出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規律。只要掌握了從特殊到一般的方法，就能提高學生的自學能力，就能增強教師的教學能力。一般來說，特殊的實例都很簡單，一般問題都很復雜，這種方法也是從最簡單的問題中學會復雜問題的解決辦法，這不能不說是一種智慧。有了這種智慧，不但能學好數學，也能學會分析和解決新問題的能力。