如何破解高中數學三角函數最值問題

翁貽聲

摘 要：三角函數最值問題是高中數學教學的重難點。由于三角函數最值問題的求解難度比較大，所以很多學生在遇到這類題目時經常會無從下手。無刺激，在數學教學中教師要詳細講解這類題目的解題思路、方法，并教會學生如何尋找突破解題難題，高效率解題。文章就此展開了論述，簡單闡述了如何應用換元法、配方法、數形結合法等突破三角函數最值問題，提高學生解題效率。

關鍵詞：高中數學;三角函數;最值問題

就目前來看，三角函數最值問題的求解教學現狀并不樂觀。大部分學生仍是傾向于單一的解題思路、方法，解題效率非常低下。因此，為了改變這一現狀，提升學生的解題效率，高中數學教師應創新三角函數最值問題教學，從而使學生掌握更多的解題方法。

一、換元法解題

換元法是一種比較常見的解題方法。具體來說，是引入特定的變量取代其中的已知變量、代數式，然后再進行簡化、求解。但通常情況下，多是替換掉其中比較復雜的變量、代數式，從而降低三角函數的解題難度。在講解換元法的應用時，教師還應讓學生多注意三角函數的定義域、取值范圍，以免造成疏漏，影響到最終的計算結果。

例如這樣一道題目：求函數的最值。在看到這道題目時，不難發現若要求解該函數的最值，主要就是進行函數變形，以便能夠利用三角函數有界性進行計算、求值。在具體求解過程中就可應用換元法，其解題思路是將原始化簡為，也就是。這時令，，然后就可以進行化簡，并求解最終的計算結果。從中能夠看出，換元法的最大優點就是可以清晰地展示出函數取值范圍，并簡化題目計算難度。但是教師在教學中，應重點講解如何選擇換元部分，迅速找到解題突破口。

二、配方法解題

從三角函數最值求解問題來看，配方法的應用也非常廣泛。具體來說，配方法是指增加合適的單項式，將原來的三角函數進行轉化，而后找到取值的限定條件，并最終求解出其最值。一般情況下，采用配方法多是將無規則的多項式變成有規律的多項式。如將其轉化為正余弦公式、二倍角公式展開式等。其中最關鍵的步驟就是合理選擇配方所需的單項式。

例如這樣一道題目：求的最值。的形式類似于平方公式所以，在求解過程中可嘗試配方將其轉換成為標準的平方公式。即，然后就能得到。而sinx的取值范圍已經確定，再進行簡單計算就能得出函數的最值。一定要注意，學生在求解最值時還應密切關注對稱軸與已知定義域之間的關系。如果對稱軸在已知定義域之內，則對稱點對應的值應為最大或最小值，而后再判斷已知定義域的兩個點與對稱點橫坐標的距離，準確劃分其最大或最小值。如果對稱軸不在已知定義域內，則需要先判定已知定義域是在函數上升區域內，還是在下降區域內。而后再計算最值。總的來說，換元法也是一種非常有效的三角函數最值求解方法。

三、數形結合法

對于一些比較復雜的三角函數來說，傳統的最值求解方法并不適用。而利用數形結合法進行分析、判斷，就能直觀地得到最終的結果。但在應用這種方法之前，學生要理清題目給出的已知條件之間的關系，而后準確畫圖、分析。教師在教學中應重點講授其應用過程，以便學生能夠充分了解到如何準確畫圖、分析以及哪些三角函數題目適合這種方法。

例如這樣一道題目：求函數的值域。通常情況下，大部分學生只知道sinx的取值范圍，但是再次疊加后，學生就無法判斷最終的函數值域。最重要的是學生不能采用常規的計算方法，進行化簡、求解。對此，也只有采用數形結合方法判斷函數值域。首先，先假設t=sinx，那么t的取值范圍就是[-1，1]。這時在了解t的取值范圍后，我們再畫圖觀察這個范圍內的余弦函數圖像變化情況。如圖1所示，余弦函數是以x=0為對稱軸的，cost在-1，1處的函數值是相同的，且均為最小值。而其最大值為x=0對應的余弦函數值。也就是說所求函數的值域范圍為。從中能夠看出在應用數形結合方法判斷三角函數最值時，也應當充分考慮函數的對稱軸問題，以免影響到最終的最值計算結果。

四、其它解題方法

除卻上述三種方法外，還可采用化一法、不等式法、判別式法。其中化一法是指使用降冪公式、倍角公式、三角函數和差公式等，進行原三角函數的降冪化簡，從而降低解題難度。但是若要應用這種方法，學生必須要熟練掌握這些公式，并能準確計算。不等式法是指將三角函數化簡成為不等式形式，然后依據已知條件，判斷三角函數的最值。判別式法是指進行三角函數的整理，而后依據實根條件進行三角函數最值的判定。這種方法比較適合分式函數、無理三角函數的求解。

綜上所述，求解三角函數最值問題的關鍵是要依據給出的條件，準確選擇解題方法。這樣不僅能縮短解題時間，而且還能降低解題難度，簡化運算。所以，在三角函數最值問題的講解中，教師應將教學重點放在如何靈活應用方法突破三角函數最值問題之上，從而使學生熟練掌握各種解題方法。

參考文獻

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