基于數學核心素養的“深度學習”教學實踐

曹洪章 郭懷玉

摘 要：本文基于數學核心素養的深度學習理論，對《余弦定理》一節課的教學設計進行探究，做了一堂基于數學核心素養的深度學習的教學設計實踐，談談如何運用此觀點對《余弦定理》這一節課進行變革，體現新課標理念。

關鍵詞：深度學習;數學核心素養;余弦定理

一、深度學習概述

深度學習是機器學習研究中的一個新的領域，其動機在于建立、模擬人腦進行分析學習的神經網絡，它模仿人腦的機制來解釋數據，例如圖像、聲音和文本。深度學習（Deep learning）是美國學者Ference Marton和Roger Saljo在1976年基于大學生對于文本閱讀學習結果的研究提出的概念，但是國內對深度學習的研究起步較晚。2005年黎加厚教授在促進學生深度學習的著作中，首次提出了深度學習的概念。深度學習通過組合低層特征形成更加抽象的高層表示屬性類別或特征，以發現數據的分布式特征表示。在此之后國內研究者，開始關注深度學習。隨著研究的不斷深入，許多與深度學習關聯的研究也開始出現。如神經網絡學習過程，課堂教學等。對深度學習的跨學科研究也得到飛速的發展，如教育學，數學等學科領域衍生出不同層次的深度學習研究。

基于數學核心素養的“深度學習”是指學習者運用高階思維將所學的知識和技能應用到新的復雜情境，逐步形成正確的價值觀和必備品格的認知過程。深度學習是無監督學習的一種。學習是一種基于高階思維發展的理解性學習，為理解而教，為理解而學，追求建立個性化的有遷移功能的認知結構。本文以余弦定理的一節教學設計為實例，開展基于數學核心素養的深度學習的一次教學實例活動。

二、以《余弦定理》教學設計為例，基于核心素養的“深度學習”研究

（一）基本背景

余弦定理是人教A版必修5《1.1.2余弦定理》的學習內容，是繼正弦定理后學習的一個重要的解三角形定理。該定理實現了邊角的互化，為解決可轉化的三角形計算問題提供了重要的理論工具。學生已經學習了三角函數、向量基本知識和正弦定理有關內容，對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。但是學生應用數學知識的意識不強，創造力較弱，分析與解決問題能力不強，知識的系統性不完善，使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度。我們從具體問題引入，從感性認識到理性認識，從特例抽象出數學的本質，應用方程思想去審視、解決實踐問題是學生學習的難點。

深度學習是學生自發自主地學習，而不是課堂上老師滿堂灌的教，深度學習并不是對昨天課堂的顛覆，而是改進，希望課堂少些學生學習表面的熱鬧，多些能力的成長，特別是思維深度、密度和廣度的增加。

結合《余弦定理》這節課，核心素養又有哪些呢？這節課的根本問題是三角形中幾何元素間的關系，是探究規律的思維，是需要幾何直觀形象的發現和邏輯演繹的嚴密證明。《余弦定理》需要創設怎樣的情境，通過什么樣的思維活動才能把數學知識通過數學活動轉化為數學素養，發展學生的理性思維（特別是邏輯思維），使學生學會有邏輯地、創造性地思考，學會使用數學語言表達與交流，成為善于分析問題和解決問題的人才，在數學知識的發生發展過程中，培養學生的理性思維，發展學生的數學學科核心素養，以達立德樹人之目的，是這節數學課程的主要任務。

（二）設計過程

1.創設新情境，激發求知欲

基于數學核心素養的立德樹人目標，容易超出學生現有的知識水平，處于最近發展區之外，學生易出現思維斷層，也不利于高級思維的培養。顯而易見，學生還停留在較淺層次的學習程度上。故做如下的教學設計：聯系舊知，明確學習意義;復習舊知。聯系是教學的第一環節，解決為什么學習的問題，目的是讓學生將舊知或經驗與新知相聯系，找到新知的價值，明確學習的意義，產生學習的欲望。

教學實錄片段1：

師：（1）兩個三角形全等的判斷方法是什么？

（2）三角形的正弦定理內容 ，主要解決哪幾類問題的三角形？

生：，，，，.

生：兩角一邊，兩邊一對角。（角角邊;兩邊和對角）

師：給予及時的鼓勵和表揚。

點評：回顧舊知，讓新知識建立在舊知之上，研究思路、方法一致，運用類比思想，遵循認知規律！類比思想才是深度學習的內容，學的既不是知識，也不是技巧、技術，而是思想。

師：你能判斷下列三角形的形狀嗎？

（3）以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形

以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形

以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形，你能發現什么規律嗎？

（4）在△ABC中，，，你能求邊長嗎？

生1：第一個是直角三角形，勾三股四弦五呀，后兩個我猜可能是銳角三角形和鈍角三角形。

生2：應該說第二個是鈍角三角形，第三個是鈍角三角形，可以看出來。

師：判斷的依據和原因是什么呢？

生3：以最大邊為直徑畫圓，如果第三個頂點在圓內就是鈍角三角形，如果在圓外就是銳角三角形。

師：你的直觀想象能力很強，幾何直觀能力超強，邏輯思維也很好。

生：老師我發現： ，說明，三邊為3，4，5時該式為零，從而判斷是直角三角形，越大這個值就會大于0，就是銳角三角形，反之是鈍角三角形。

師：你回答的真棒，你的觀察力很強，總結概況能力很棒。你能從特殊看到一般，還會用式子表達出證明，說明你的觀察能力和發現問題能力很強，你的數學素養很高，尤其是用數學語言表達能力很強。

生：老師用來判斷是銳角還是鈍角，太容易了。

師：你有著良好的學習習慣，提前預習了本節課，已經掌握了一把殺牛刀，不少同學和你用的方法一樣，恭喜你們。這恰恰就是我們今天要講的重點內容，你們已經初入門徑了。

生：，老師對不？

師：對，給你點贊，這就是我們要學習的余弦定理，那誰還能發現類似正余弦定理的關系呢？

點評：教師從幾何畫板引入問題，讓學生對新的環境有新的求知欲望，激發了學生的學習興趣，使學生積極嘗試在新環境新情境中發現問題。數形結合思想滲透，幫助學生分析相關內容，從感性入手，從特殊到一般，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗認知，遵循學生的認知規律。這種觀點下的引導和創設問題情境，就是一種深度學習。問題是開放的，可以動手畫圖感知，可以猜想再驗證，可以算出等等。余弦定理要解決的兩類問題，“邊邊邊”和“邊角邊”兩類問題，拋出問題之后，組織學生討論，教師在下面巡視，觀察學生的求解過程。在學生積極參與探究活動的過程中，學生可能發現到的等量關系或者不等量關系如下：， ，，

等，引導學生進行發散性、開放性思維，從相關知識入手，選擇簡潔的工具。積極嘗試創新型思維培養的教學活動，重要的不是結果而是過程，實踐結果往往令課堂有意外收獲或驚喜，發現問題往往比解決問題更重要。

生：老師，我知道三角形內角和是.

生：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

生：還有面積公式。

師：同學們回答的都很好，這些都是關系，數學就是研究幾何元素之間等量或不等量關系的，那我們今天學習的《余弦定理》就是一種三角形六個元素間的一種等量關系，大家首先感知了余弦定理，下面誰有好的方法去證明一下你的發現《余弦定理》呢？

點評：在教師開放性的問題引導下，學生可能從平面幾何、三角函數、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發學生的積極討論，這就是基于數學核心素養下的深度學習。它兼有了高觀點，同時情境又貼合學生實際，能引發學生共鳴，讓學生自己表達自己的思想，學會用數學觀點去觀察世界，學會用數學思想去思考世界，學會用數學語言來表達世界。教師知識提供創設的情境，并提供時間給學生創設恰當的問題，這就讓學生思維的廣度和密度得到了訓練。

2.創設思維活動，開展深度學習

誰有好的方法去證明一下你的發現《余弦定理》呢？在這樣的開放性問題提出后，大多數學生都有躍躍欲試的狀態。利用類比思想想象，嘗試理解新知。“直觀想象”是數學核心素養的重要組成部分，解決“為什么”問題，目的是使學生充分發揮想象，通過類比、聯系的方式探索新知，進一步步理解新知。這一環節主要采用小組合作探究的方式進行教學，教師通過提問的方式進行引導。

教學實錄片段2：

師：誰有好的方法去證明一下你的發現《余弦定理》呢？

點評：向量法、幾何法、解析法等方法不限，學生思維空間很大，學生進行深度學習的舞臺就很大。為了比較各組成果優劣，鼓勵各組可以用不同的方法板書展示，分組開展探究活動，教師在下面巡視和學生討論時可以進行適當的引導、提示。

一組：向量法。

二組：幾何法。

三組：坐標法。

以C點為坐標原點，CA為x軸建立平面直角坐標系，則，.

師：這三種是比較有代表性的解法，還有其它方法有興趣的同學課下可以接著研究，下面誰能有合適的語言表達出余弦定理呢？并說明能解決哪類問題。

用文字語言表示是：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，可以解決兩邊和夾角的問題。

生：還可以變式為：解決三邊求角的問題。

點評：同學間的講解、提示、補充，既有傾聽思考，又有理解表達，幫助學生從主觀想象走向客觀知識，促使學生獲得新知，豐富自身的知識結構，這些正是體現了新課標讓學生達到“三會”目標。找到適合自己知識結構的解法，課堂頓時變得十分熱鬧，經過激烈的討論，學生最終達到以下共識：思想決定思路。思維的層次、廣度和密度得以體現。

突破本題的關鍵在于借助轉化與劃歸的數學思想對邊角關系進行轉化，為達成共識需要注意具體轉化的策略，學生主要有三種代表性的建議。一是向量法，將第三邊c利用向量差的運算轉化為另兩邊的關系;二是幾何法，利用勾股定理，將斜邊轉化為直角邊;三是坐標法，將三角問題轉化成圖象，借助于坐標化求距離。

3.學以致用，應用新知

教學的第三個環節，屬于“怎么辦”問題，應用掌握新知，目的是讓學生通過練習操作，學會運用所學的新知和技能解決問題，將課本知識轉化成個人技能。經過前面環節的學習，學生對余弦定理已經有了比較全面的理解，接下來還需要進一步對余弦定理進行應用和掌握。首先，教師布置如下習題：

例1 在△ABC中，已知 ，求解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）.

例2 在△ABC中，已知 ，解三角形（角度精確到1′）.

點評：應用數學知識求解問題，例題1解決了課堂引入時提出的問題（4），用筆算解題，例題2加強計算器的運算訓練，同時，鞏固好余弦定理相關知識，體會所學知識和方法在解三角形中的簡單應用。

例3 已知△ABC中 求c邊長。

點評：①本題可用正弦定理分析引導;②也可應用余弦定理構造關于c的方程求解。③比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題也可以用余弦定理解決，具有優越性。繼續深化正弦、余弦定理，尤其是設元的方程思想求解問題，并讓學生初步發現“邊邊角”問題解法，為下面學習做輔墊。基于數學核心素養的深度學習，重要的是學生學會思考、善于思考，讓學生獨立解答;接著，有針對性地請兩名學生展示解題過程，這兩名學生分別利用正弦定理和余弦定理來解答;通過比較兩種不同的解法，讓學生領悟運用余弦定理解題的優越性，同時也能感受到兩個定理在解三角形問題中的利與弊。學生思維得到碰撞，嘗試批判性思維。

4.課堂練習檢測，延伸擴展新知

課堂檢測是教學的第四個環節，由教師提供具有典型性問題對學生進行檢測和反饋，讓學生靈活運用已有的知識和技能進行思考與運用，從而延伸和拓展所學的知識，掌握知識的本質。

檢測1 銳角△ABC中則取值為（ ）

檢測2 在△ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？若 呢？

點評：第1題符合多想少算的理念，第2題進行變式訓練。用檢測去鞏固所學知識，使學生逐步形成良好的知識結構，提升學生數學知識應用能力。根據分層教學的需要，可適度調整此練習檢測或留作課下作業或課堂測試。

5.歸納總結反思，交流分享成果

“歸納總結反思”是教學的最后一個環節，目的是讓學生充分展示自己的收獲與反思，在分享和交流過程中達到融會貫通。在這一環節中，教師要營造活躍的交流和分享氛圍，讓小組派代表或學生個人展示和分享自己的收獲，其他學生可進行補充

和點評，教師充當鼓勵者和評價者，對學生的交流和分享進行點評和補充，并以知識結構圖和思維導圖等形式呈現出來的為目的。將學習風格與教學設計有機結合，充分關注和尊重學生的個體差異。基于核心素養的深度學習模式的教學設計具有目標明確、步驟具體、思路清晰、循序漸進的特點。在教學過程中，師生角色分明，任務清晰，活動有序。

通過知識回顧，使學生各自體會收獲，養成學生每日反省自身的良好習慣，讓學生因每天能得到進步而自信。在本課的教學設計中抓住前后知識的聯系，重視數學思想的教學，加深對數學概念本質的理解，認識數學與實際的聯系，使學生學會應用數學知識和方法解決一些實際問題。學生應用數學的意識不強，創造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學生的知識系統不夠完善。因此本課運用聯系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學生進行示范引導，將舊知識與新知識進行重組擬合及提高，幫助學生建立良好的知識結構。將基于核心素養的深度學習模式應用于實際課堂，能有效地提高學生學習的主動性和感悟新知的能動性，是一種值得不斷改進和優化的教學模式。

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