基于APOS理論下“弧度制”的教學設計

摘 要：數學概念是建構數學理論大廈的基石，是學生認知的基礎，進行數學思維的起點，也是數學抽象的一個重要表現，概念教學在數學教學中具有舉足輕重的地位。APOS理論是美國數學家杜賓斯對數學概念的學習提出的理論。本文結合APOS理論，以必修4弧度制的概念教學為例，探討在實際教學中如何凸顯概念的本質，實現核心素養的培育，提高高中數學概念教學的有效性。

關鍵詞：APOS理論;概念教學;弧度制;教學設計

一、APOS理論概述

上世紀60年代，美國數學家、教育學家杜賓斯基等人提出了APOS理論，該理論是對皮亞杰“自反性抽象”的延伸和拓展。杜賓斯基認為，在數學概念的學習中，如果個體經過思維的操作、過程和對象等幾個階段后，一般就能在建構和反思的基礎上，把它們組織成用以解決問題情境的圖式結構[1]。APOS理論主要包括Action（活動）、Process（過程）、Object（對象）和Scheme（圖式）四個過程。

1、第一階段——活動（Action）階段

“活動”階段是指學習者通過一系列的操作活動初步認識數學對象。教師利用學生熟悉的生活實例創設情境，讓學生通過觀察、運算、實驗、類比、猜想、判斷等一系列活動建構知識。這一階段為數學概念的初步形成打好基礎，是學生建構數學概念的起點，是完善數學概念的前提基礎。

2、第二階段——過程（Process）階段

“過程”階段是概念學習的關鍵，是學習者對前面活動的進一步思考，是對“活動”階段的抽象概括。在外在的實際活動和內在的思維操作之后，學生逐步認識到數學概念的本質，并對概念進行一般化的概括，是確立數學概念的必要準備，也是學生概念學習的關鍵階段。

3、第三階段——對象（Object）階段

“對象”階段是指學習者對前面兩個階段的活動進行深入地思考，歸納和概括出數學概念的本質屬性，用相對嚴謹的文字語言描述這一屬性[2]，并進行數學符號化表示，成為一個具體的對象，并能夠將其作為新的數學對象參與到其他數學問題的研究過程。

4、第四階段——圖式（Schema）階段

經過前三個階段，概念此時作為數學對象，與之相關的其他數學概念進行整合形成新的認知結構和知識網絡，就是“圖式”階段。這一階段是對概念進行綜合的心理加工和整合，在概念間形成實質性的聯系，建立新的認知結構，使學生對概念的認識逐漸深化，在長期的數學學習活動中逐漸體現。

二、基于APOS理論的弧度制概念教學設計

（一）教學分析

弧度制的概念是三角函數的重要概念之一，是學生學習三角函數的基礎。由必修一中函數的定義可知，函數是兩個非空數集之間的對應。而在初中所學的三角函數自變量是角，這與學生現有的知識產生了矛盾，而弧度制的定義方式則是完美的實現了角和實數之間的一一對應，有效的解決了這一認知沖突。然而，教材中對于弧度制的介紹卻十分簡單，只是通過類比引出弧度制，給出1弧度的定義。教師在教學時也只是將弧度制作為工具性知識，一筆帶過，這都是造成學生對弧度制概念理解有困難的原因。基于此，利用杜賓斯基的APOS理論對弧度制的教學做如下設計。

教學目標：

（1）經歷弧度制概念的形成過程，理解弧度的意義，并能正確進行弧度與角度的換算;

（2）了解角的集合與實數集之間的一一對應關系;

（3）從初中角度制的弧長與扇形的面積公式，推算出弧度制下的弧長與扇形的面積公式，解決簡單的實際問題

教學重點：弧度制的定義，弧度制與角度制的換算

教學難點：學習弧度制的必要性，正確理解弧度制的意義

（二）教學過程

1、活動階段——情景引入，形成直觀認識

在扳手擰緊螺帽的過程中，扳手的轉動與螺帽的轉動之間有什么聯系？

教師提示：將實際生活情景抽象成數學問題，螺帽從A1轉到到B1，扳手的另一端從點A轉動到點B，在這個過程中，幾何數量之間具有哪些相等和不等關系？

學生活動：因為扳手轉動的弧長更大，所以點A轉動的弧長與點A1轉動的弧長不相等，兩弧所在圓的半徑也不相等，但點A和點A1轉動的角度相等。

設計意圖利用學生熟悉的生活場景引入，引導學生用數學的眼光觀察世界。扳手擰緊螺帽是學生熟悉的生活體驗，但其中蘊含的“弧長與半徑比值為定值”的數學元素，是陌生的、抽象的，該階段主要讓學生初步感受到弧度制度量角的合理性。

2、過程階段——提問設疑，抽象概念本質

問題1上圖中扇形A1OB1與扇形AOB相似，即你能證明嗎？

學生活動：根據初中學過的弧長公式（其中n是圓心角的角度數）。在扇形A1OB1中，;在扇形AOB中，，所以。

教師活動：在上述證明中，我們不僅可以得到，還發現，即只與角的大小有關，當角α確定，也是唯一確定的。

設計意圖對于弧度制這節課，大多數是通過其他單位制中，例如長度可以用“厘米”“米”“千米”來度量，進而引入角的新的度量方式——弧度制。這樣的引入并不能使學生真正認識到弧度制的作用，只是簡單的將其看做是角的另一種度量形式，就是數學中的一種規定。上述教學設計則是依托具體數學問題，讓學生經歷自主探究、猜想、求證等過程，認識到為什么要這樣規定，以及這么規定的合理性，讓學生理解弧度制的本質。

3、對象階段——探究反思，建構數學概念

問題2用α=度量角，角的單位是什么？

問題3角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間如何換算？分組探究并完成下表

問題4任意角都可以用l與r的比值表示嗎？

設計意圖通過上述幾個問題的探究，學生在實際操作中理解兩種度量方式是相通的，進而掌握弧度制與角度制之間的互換。并且，角的符號表示旋轉方向，正角、零角、負角分別用正數、零、負數表示，建立弧度制下角與實數之間的一一對應關系。

4、圖式階段——練習鞏固，建立心理圖式

例4已知扇形的周長為10，圓心角為3rad，求該扇形的面積

問題5通過本節課你學到了哪些知識？

設計意圖學生經過前面三個階段的學習后，基本建立了如下的心理圖示：弧度制是用弧長和半徑來度量角的一種方式，弧度制與角度制之間可以互相轉換，弧度制實現了實數與角之間的一一對應關系等。通過上述例題，鞏固學生對弧度制的認識，正確地進行弧度與角度之間的換算，掌握弧度制下的弧長和扇形面積公式，利用弧度制解決某些簡單的實際問題。最后由學生總結本節課的知識點，并與原有的圖式進行整合，建立起綜合的心理圖式。

三、結束語

APOS教學理論強調，學習需要學生主動建構，在“操作階段”感知數學、在“過程階段”抽象數學概念、在“對象階段”歸納數學本質、在“圖式階段”建構知識體系。這四個階段也與數學核心素養密切相關：弧度制概念的建立，經歷了從實際生活抽象出研究對象的過程，以問題激發學生的求知欲，促進學生主觀思考與推理，其中也有一些直觀思維的參與，這都吻合數學學科核心素養中的數學抽象、邏輯推理、直觀想象。

總之，APOS理論對數學概念教學具有很好的指導意義，要實現課堂教學從“灌輸”到“建構”的轉變，需要教師更多的設計與探究，讓學生真正成為學習的主人。

參考文獻

[1]周繼云.基于APOS理論的初中函數教學研究[D].蘇州：蘇州大學，2010.

[2]李琛.基于APOS理論下的對數概念教學現狀探究[D].西安：陜西師范大學，2018

作者簡介：李若璕（1993年2月，女，籍貫江西撫州，福建省廈門實驗中學，中學二級，華中師范大學，學科教學（數學）專業，碩士學位，研究方向數學學科教學）