函數思想在高中數學解題中的巧妙應用

摘 要：在數學教學中，思想與方法是構成數學基礎知識的重要組成部分.新課程改革背景下，要求教師通過數學思想和方法的掌握領悟數學真諦，體會數學學習價值.鑒于此種考慮，本文嘗試以函數思想為例，分析在高中數學解題中的妙用，以提高解題效率，培養數學思維.

關鍵詞：函數思想;高中數學;解題;應用

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0011-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：范選鋒（1979.12-），男，甘肅省正寧人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

“函數”是高中數學中最基本、最重要的概念.隨著新高考改革，函數的重要性只增不減，在集合、數列、方程等模塊解題中均有體現.因此，在高中數學解題教學中，教師要重視對學生函數思想的培養，發散學生解題思維.

一、函數思想概述

函數思想依托函數概念而發展，了解函數思想之前，首先要對函數的相關概念和性質有所了解，包括周期函數、增（減）函數、奇（偶）函數、一次函數、二次函數、指數函數以及對數函數等.函數思想是一種最基本的數學思想，應用比較廣泛，通過運用運動和變化的觀點，對問題中的數量關系進行分析與研究，結合函數有關知識，解決問題，把握函數思想.函數思想在解題中應用一般遵循觀點提出——抽象數量——建立函數關系.由此可見，熟練掌握函數思想不可忽視.在高中數學教學中，許多知識都體現了函數思想，像方程、不等式、算法、線性規劃.方程上主要體現在求f（x）=0的根，實際上對應著求函數y=f（x） 的零點，即該函數圖象與x軸交點的橫坐標.不等式求解上主要解答一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0），相當于求函數y=ax2+bx+c圖象在x軸上方時x的取值范圍;線性規劃問題求解中主要是在約束條件下求目標函數的最值問題.總之，函數思想在高中數學教學中無處不在，在解題教學中教師要重視學生函數思想的培養.

二、函數思想在高中數學解題中的應用

1.妙用導數解決一些實際應用問題

導數是數學學習重要內容，也是高考的重要考點之一，主要包括導數概念、幾何意義、各類函數求導方法、常用導數運算公式等.近幾年高考主要考查如何利用導數求解函數單調區間和最值.導數擺脫了對二次函數的依賴，成為考查函數性質及數學思想方法、能力等重要載體，在解題中具有很強的工具性和方法性作用，承擔著命題創新的要求和任務.導數在解題中的應用一般分為三個層次，層次一：從導數幾何意義和求導公式與法則入手;層次二：從導函數性質入手，像最值、極值、單調性等;層次三：以導數為工具，解決綜合問題，包括不等式、實際應用問題等.

例1 若a、b是正數，且滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.解答過程中可以將ab取值范圍看作函數的值域.∵ab=a+b+3，∴a≠1，b=a+3a-1.∵b>0，∴a+3a-1>0，求解出a >1或a <-3.∵a>0，最后可得a>1，a -1>0，ab=a（a+3a-1）=（a -1）+4a-1+5≥9，如果等號成立，此時a=3.當a>3時，該式是關于a的單調增函數，由此可得ab的取值范圍為＼[9，+∞）.通過以上解答過程可以發現，當問題中出現兩數積與這兩數和時，是構建一元二次方程的明顯信息，此時可以將方程轉化為函數，利用函數知識進行解決，用等量關系減少變量，直到剩最后一個變量表達式，提高問題解決效率.

2.巧用函數中“三個二次”題型解題

《高中數學新課程標準》在代數知識結構方面淡化了代數運算與變形技巧，體現了以函數思想為主線的代數體系，更加注重函數思想方法的滲透.“三個二次”主要指二次函數、二次方程與二次不等式，這三者之間能夠相互轉化，有著緊密的聯系，是解決函數零點分布、函數不等式等問題的重要工具.結合近幾年高考考查傾向來看，重要集中在二次函數最值、圖象問題、二次方程的根的分布問題、與不等式恒成立相關的二次函數的最值問題的考查，特別是解析幾何的最值問題.所以，在高中數學解題教學中要重視此部分知識的滲透，培養學生函數思想.

例2 某班同學積極參加植樹節活動，計劃在一段直線公路一側植樹，一共20名同學，每人植一棵，各棵樹間隔10m.樹苗全都集中放在某一定點位置，為了使每位學生從各自樹坑出發前來領取樹苗所走路程和最小，樹苗應該放在哪個樹坑位置，這個最小和為多少？解答過程中，首先應該想到二次函數的轉化，設放到第a個樹坑，每個樹坑到第a個樹坑的距離和為S，此時可以列式為：S=（a-1）×10+（a-2）×10+…+（a-a）×10+＼[（a+1）-a＼]×10+…+（20-a）×10，化簡為10（a2-21a+210），當a=10或11時，S的取值最小，具體為1000，往返路程為2000.在此類題型解答中，二次函數形式的構造起到了關鍵性作用，通過建立函數解析式，研究函數性質解決實際問題.

3.函數與方程思想方法解題突破

函數與方程是離不開的，兩者不僅知識涉及廣泛，知識點交匯多，而且在解題過程中有很具體的體現，像創新題型的變式轉化、解答題的綜合應用等，都是大型題目的解題法寶.在新課標改革下，高中數學教學也增加了函數與方程教學內容，可見其重要性.在問題解答中主要考查含參數方程討論、構造方程求解、函數與方程之間的轉化等，在教學中教師要特別注重此部分知識講解.

例3 直線（1+a）x+y+1=0與圓x2+y2-2x=0相切，則a的值為多少？此類題目在解答過程中可以直接將直線方程代入圓方程中，消去y，得關于x的一元二次方程，結合題意位置關系相切，利用判別式Δ=0求出結果a.該解題過程體現了方程思想的運用，也可以轉化為求函數與x軸交點的個數，體現了函數與方程思想.

綜上所述，函數思想作為數學思想的重要組成部分，貫穿整個高中知識學習.在高中數學解題教學中，教師要重視函數思想的滲透，以此為解題工具，拓展學生思路，提高解題效率.使學生通過問題分析、解答掌握函數知識本質，了解數學學習魅力，培養數學學科核心素養.

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[責任編輯：李 璟]