看似無“圓”卻有“圓”

周萍

摘 要：高中數學試題的解答過程中，分析條件，挖掘其潛在信息，是較為重要的階段.而有些有用條件常常隱藏在題目已有的題設中，具有一定的隱蔽性，需要冷靜分析挖掘，才能“透明化”.在直線和圓的考查中，“圓”往往藏于條件中，此類“圓”稱作“隱形圓”，本文將就幾類常見的“隱形圓”問題進行歸納總結，并對如何解決這類問題作初步的探討.

關鍵詞：高中數學;隱形圓;探討

在近幾年的江蘇高考和各地模擬題中，很多試題把圓藏于函數、向量、軌跡、不等式等條件中，這就需要我們通過綜合運用各類知識點，找出相關隱形圓，再利用數形結合等思想進行解答直線與圓、圓與圓等問題，目前常見的主要有以下幾類找尋隱形圓的方法：

題型一：用定義法尋找“隱圓”

“隱圓”的尋找最基本的方式是利用圓的定義去進行，所以在解某些題目時，我們可以找準題中的定點，定長，由定的條件來確定動點的軌跡方程，進而將動點具體化.

題型二：用定點與動點之間張角尋找“隱圓”

用定點與動點之間張角尋找“隱圓”，在近幾年的高考中較熱門.在圓中，“直徑所對的圓周角是直角”這一條件是一常用條件，其往往會作為尋找“隱圓”有利條件，找準直徑所在端點，進而確定動點位置.

點評：本題考查的是圓與圓的位置關系.解本題的關鍵是了解張角∠MPN恒為銳角的等價條件，以∠MPN=90°時作為臨界狀態，找到以∠MPN為圓周角的“隱圓”，再由∠MPN恒為銳角可知，P需要在圓A外，故圓A與點P所在圓無公共點，即兩圓外離.本題關鍵還是需要利用起“直徑所對的圓周角為直角”這一結論。所以，在題中動點如出現在直角頂點位置，例如：現成的直角三角形，兩向量，兩直線斜率，我們可以密切關注頂點P是否在圓上.

題型三：由對稱性尋找“隱圓”

數形結合，由對稱性找尋隱形圓，將對稱點具體化到對稱圓上也是常見題型.

點評：以上兩個小題都是將對稱點鋪設開，找到其所在的對稱隱圓，由于點的存在，必然帶來“隱圓”與題目所給直線（圓）有公共點.這種解題方式是從全局出發，類似于尋找點所在的軌跡，再利用軌跡探求問題本質.

直線與圓在高中數學中是C級要求，是數形結合思想的最好體現，筆者從近幾年的高考中發現，對直線（圓）與圓的考查，遵循“位置關系”這一基本主線，命題形式開始多樣化，保持著與函數、向量、軌跡以及不等式等相結合的原則，呈現出知識點間的綜合貫通，充分彰顯高中數學各個模塊的交匯價值.所以，這就要求學生一定要具備扎實的功底，做到前后知識的融會貫通，能夠靈活地采取一定的措施將函數、向量、軌跡和不等式等轉化為與圓方程相關的問題，這樣定能突破瓶頸，柳暗花明.