直覺思維引路，發(fā)散思維開疆拓土

張鑫

摘 要：數學是建立在嚴密的邏輯思維基礎上的思想大廈，然而，非邏輯思維也常常在思維引路或者拓廣方面具有其獨特的優(yōu)勢。結合一道分式方程的直覺解法，通過發(fā)散思維拓廣其變式應用，有助于學生開拓思維，舉一反三地培養(yǎng)自己的數學思維模式。同時，非邏輯思維的引入，也讓學生看到解決問題的方法并非只有一種，從而養(yǎng)成多角度思考的好習慣。

關鍵詞：分式方程;直覺思維;發(fā)散思維

數學的嚴密性和邏輯性是眾所周知的，但數學也有其非邏輯的思考起點，如直覺、猜想、思維模擬實驗等都是建立在非邏輯的靈感思維基礎上。結合分式方程的復習，引發(fā)對直覺思維、發(fā)散思維、構造思維、整體思維等非邏輯思維的思考，感悟非邏輯思維的價值。進而通過邏輯思維與非邏輯思維相結合，讓思維在發(fā)散中產生更多的靈感與思路。

一、緣起于一道分式方程的多種解法

在九年級的復習課上，復習分式方程的解法并讓同學們做題：

解方程

下面是四位同學的四種不同的解法：

甲：“我用去分母的方法。用分式的最簡公分母2x（x-1）去乘以方程的兩邊，約去分母，化為整式方程求解。”

乙：“我用的是通分法。由于這道題左邊有分式，右邊沒有出現分式，所以我就考慮先左邊進行通分運算，再由比例的基本性質得出結果。”

丙：“我注意到方程中與為倒數關系，所以想到換元法。可設其中一個為，原方程即可轉化為一元二次方程，然后再進一步求解。”

丁：“我是用根與系數的關系解的。方程中與為例數關系，所以這兩個分式的積為常數1，而方程本身告訴我們和為常數，故可用根與系數關系求解。”

筆者肯定了四位同學的解法，并表揚了第四種解法更具有特色，體現了靈活運用知識間聯(lián)系解題的精神。

這時，一直沉默不語的數學科代表余菲要求發(fā)言了。

他說：“張老師，我發(fā)現，我用猜測的方法也一樣可以得出方程的兩個解為x1=2，x2=-1。”

筆者和同學們都驚訝的看著他。

她說，從丙的解法得到啟發(fā)，由原方程可得。從而或。所以我把x=2代入，發(fā)現，因此x=2是原方程的解。再一想，另一解應從來看，我又把x=-1代入，發(fā)現恰好滿足。所以x=-1也是原方程的解。

我和其他同學都被余菲同學的直覺思維所折服。同時，也深深的為同學們多姿多彩的個性化思考所折服。特別是通過這節(jié)課，我們可以感受到學生的心智能力是有差異的。雖然每位同學都得出了相同的答案，但我們數學決不僅僅是為了求得一個答案。余菲同學用直覺的方式得出解答的過程讓我感到有必要對這道題進行原型追蹤并進行推廣，從而可以實現“直覺思維引路，發(fā)散思維開疆拓土”的目的。

二、原型追蹤——直覺思維引路

在一些數學競賽中，經常有這樣的填空題：

已知，則x=

思維靈活的學生并不去解這個分式方程，而是把原方程改寫成

或。從而，迅速地寫出答案8或。

類似地，，則a=5或;則b=10或;……;不一而足。

通常，我們有（c為常數），則方程的根為c或，因此，方程通常稱為倒根方程。

將此方程及其根加以推廣，則有方程的根為c或。

三、原型拓廣——發(fā)散思維開疆拓土

將以上兩個結論有意識地應用于解一些方程或方程組，對于增強學生的學習興趣，開拓解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性等頗有好處。下面，筆者對倒根方程的應用進行推廣，主要是想方設法構造出倒根方程。

1.解型的方程。

例1：解關于x的方程（提示：方程的兩邊同時減去1）

2.解型方程

例2：解方程（把8拆分為或者）

3.解型方程

例3：解方程（提示：方程兩邊同時除以，然后方程兩邊同時加上2，把2看作1+1）

4.解、、、等類型方程組。主要方法也是想方設法構造倒根方程。

以上，我們看到了數學的一個小小的結論是極富推廣性的。而這個小小的結論是可以直覺得出結果的。因此，直覺思維常常是一個引子，是一個思維展開的突破口。當然，其應用又與巧妙的構造分不開。通過此題的思維發(fā)散，拓廣演變，學生不僅欣賞到了數學的精巧，而且體會到了直覺思維和發(fā)散思維結合的價值，使其在思維領域內不斷開疆拓土，體現其豐富的拓展性。為今后，特別是高中數學的學習奠定了良好的基礎。當然由于考慮問題的角度不同，思考的方向不一，每道題都有很多不同的解法。反過來，每一個簡單的原理與結論也可以運用于很多種情況中。“運用之妙，在乎其人”。我們一定要努力開拓思路，捕捉靈感，在直覺思維的引導下有所發(fā)現，在發(fā)散思維的過程中培養(yǎng)數學學科的核心素養(yǎng)，使學生的數學能力達到一個新的境界。

參考文獻

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