數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探索

石艷平 尚小舟

摘 要：“數(shù)”和“形”是小學(xué)數(shù)學(xué)兩大基本的學(xué)習(xí)內(nèi)容。通過《幾何原本》中的“幾何代數(shù)法”到當(dāng)今小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合專題案例，發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法可以幫助小學(xué)生更好地理解數(shù)的運(yùn)算法則、探尋和進(jìn)一步說(shuō)明數(shù)的規(guī)律，深悟某些經(jīng)典問題的解題方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)的規(guī)律；幾何直觀

中國(guó)分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-9052（2020）06-0102-02

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，兩者有著緊密的聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合一直是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)，從研究成果看，大多數(shù)是圍繞數(shù)形結(jié)合思想方法、內(nèi)涵的研究[1]；或是圍繞小學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)[2]；或是圍繞數(shù)形結(jié)合思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)某個(gè)知識(shí)內(nèi)容教學(xué)中的滲透[3-5]。美國(guó)數(shù)學(xué)教育家Wilkins認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一是理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和歷史發(fā)展。上海市靜安區(qū)教育學(xué)院曹培英老師提出以數(shù)形結(jié)合為主題的教學(xué)，具有相當(dāng)大的潛在發(fā)展空間[6]，這對(duì)本文的撰寫有很大的啟示。

一、《幾何原本》中的“幾何代數(shù)法”

1607年，中國(guó)數(shù)學(xué)家徐光啟和西方傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）根據(jù)克拉維烏斯的《歐幾里得原本十五卷》翻譯成《幾何原本》[7]。第二篇突出內(nèi)容是對(duì)幾何代數(shù)法的貢獻(xiàn)[8]。當(dāng)時(shí)因希臘人不承認(rèn)存在無(wú)理數(shù)，因此所有有關(guān)度量的長(zhǎng)度、面積、角度和體積都不能從數(shù)量上處理，只能用線段來(lái)代替。如矩形的面積表示矩形兩邊長(zhǎng)度的兩數(shù)乘積，三數(shù)的乘積便是體積。第二篇的幾個(gè)命題從幾何上處理了對(duì)應(yīng)等價(jià)的代數(shù)問題。命題1：如果有兩條線段，其中一條被割成任意幾段，則兩條線段所夾的矩形等于各個(gè)小段和未截的那條線段所夾的矩形之和[9]。用現(xiàn)在的記法是a（b + c + d + …）= ab + ac + ad + …。

看起來(lái)是當(dāng)時(shí)希臘人沒有無(wú)理數(shù)概念而尋求他法，但它已然開啟了數(shù)形結(jié)合思想方法的先河。

二、巧用數(shù)形結(jié)合，加深數(shù)學(xué)理解

（一）利用圖形表征理解數(shù)的運(yùn)算

讓學(xué)生根據(jù)圖形明白4表示什么含義（邊長(zhǎng)為2的正方形面積）。從等式角度學(xué)生很容易理解1 + 3 = 2×2，從圖形上看學(xué)生能表述為：1個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和3個(gè)邊長(zhǎng)為1正方形組成邊長(zhǎng)為2的正方形。以此類推1 + 3 + 5 = 9，進(jìn)一步體會(huì)邊長(zhǎng)3正好是等式左邊連續(xù)奇數(shù)的個(gè)數(shù)。教師放手讓學(xué)生獨(dú)立完成1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5×5的圖形表示，說(shuō)出等式中數(shù)的含義，進(jìn)一步驗(yàn)證了剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。此時(shí)學(xué)生不難理解：從1開始，n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和就是n2。學(xué)生通過用觀察直觀圖形來(lái)解釋和說(shuō)明等式的含義，可增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)等式的深刻理解。

（二）借助《幾何原本》中對(duì)整數(shù)乘法的幾何方法，解釋乘法的運(yùn)算定律

（三）用數(shù)形結(jié)合的方法，巧解經(jīng)典數(shù)學(xué)問題

雞兔同籠問題已經(jīng)被很多數(shù)學(xué)研究者用多種解法詮釋它。主流的解法有假設(shè)法、抬腳法、畫圖法、列表法、列方程等。其中假設(shè)法是很常用，而且不受數(shù)據(jù)大小影響的方法，但相當(dāng)一部分小學(xué)生在初學(xué)時(shí)對(duì)這種方法總是悟不透。我們?nèi)绻妹娣e來(lái)代表雞或兔腳的數(shù)量，傳統(tǒng)的假設(shè)法會(huì)是怎樣呢？以下題為例：

現(xiàn)有頭35個(gè)，腳共94只，問雞兔各幾只？用假設(shè)法解之，往往有很多學(xué)生對(duì)“假設(shè)全是兔，解出來(lái)的是雞的數(shù)量”難以理解?，F(xiàn)在結(jié)合幾何圖形，假設(shè)全是兔，在圖5中，最大矩形的面積表示35只兔子腳的數(shù)量，即35×4 = 140（只）。用140 - 94 = 46（只），即虛線表示的矩形面積，它的代數(shù)含義是表示假設(shè)全是兔后比實(shí)際多出來(lái)的46只腳。因?yàn)橐恢煌帽纫恢浑u多2只腳，46÷2 = 23（只），如果虛線矩形的一邊長(zhǎng)為2，則另一邊長(zhǎng)就是23，即有23只雞，自然得到有12只兔了。結(jié)合圖形的面積理解用假設(shè)法解雞兔同籠問題，增強(qiáng)幾何直觀，解題思路在幾何意義的幫助下更清晰，更透徹。

三、結(jié)語(yǔ)

“數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”是華羅庚教授對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深刻闡釋。從以上諸多案例中不難看出“形”的直觀性有助于人們解釋說(shuō)明發(fā)現(xiàn)“數(shù)”的規(guī)律或方法，“數(shù)”的深刻性由于小學(xué)生的認(rèn)知水平有限，要多從簡(jiǎn)單枚舉歸納進(jìn)行合情推理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，注重探索數(shù)和形的關(guān)系，讓我們更直觀地理解數(shù)，更深刻地看到形。

參考文獻(xiàn)：

[1]李才俊.小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)涵與實(shí)踐——教育信息化與教育技術(shù)創(chuàng)新學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集[C].重慶：重慶市鼎耘文化傳播有限公司，2019.

[2]張克誠(chéng).基于小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想下的數(shù)形結(jié)合思想研究[J].課程教育研究，2019（29）：122.

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[5]單媛媛.淺談“數(shù)形結(jié)合”在小學(xué)第一學(xué)段“數(shù)概念”教學(xué)中的運(yùn)用策略[J].小學(xué)數(shù)學(xué)參考，2019（3）：30.

[6]曹培英.數(shù)形結(jié)合的教學(xué)新探索——“數(shù)與形”課堂教學(xué)分析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（Z1）：114-115.

[7][古希臘]歐幾里得·幾何原本[M].利瑪竇譯，徐光啟述.上海：上海古籍出版社，2011.

[8][美]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第一冊(cè)）[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2014.

[9][古希臘]歐幾里得·幾何原本[M].蘭紀(jì)正，朱恩寬譯，梁宗巨，張毓新，徐伯謙校訂.南京：鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán)，南京：譯林出版社，2011.

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