對有理數乘法法則教學處理的思考

李娟

[摘? 要] “數軸版”與“推理版”這兩種有理數乘法法則的教學處理方式各有特征，結合這兩種教學處理方式進行適當的改良，能使學習難度大大降低，并有效增強知識間的聯系，以幫助學生構建完整的知識體系.

[關鍵詞] 有理數乘法法則;教學處理;數軸版;推理版;問題情境

有學生在學習有理數的乘法運算時得到過（-3）×（-4）=9，執教教師當時對這一結果直接給予否定. 筆者課后詢問了該生，他當時的思考如下：

找到數軸上的-3這個數，以3為單位并向數軸負方向的反方向數4個單位長度，得到+9.

從學生的思路不難看出，他已經懂得了借助數軸來解釋有理數乘法法則，不過他在利用數軸判斷時忽略了以原點為起點這一條件. 事實上，這樣的錯誤并不是唯一. 比如，從數軸原點出發反方向移動4次，每次移動3格恰好到達-12的位置，于是（-3）×（-4）=-12. 很多教師會將這些錯誤產生的原因歸結為學生粗心，不過筆者以為，教師對教材處理的認識也存在問題. 解釋乘法運算為什么應該從0的位置開始，是教師必須讓學生弄明白的.

有理數乘法法則的教學處理

教學中處理有理數乘法法則，一般包括“勻速直線運動狀況分析”和“從‘正數×正數出發的歸納推理”這兩種方式，現行教材也分成“數軸版”與“推理版”這兩個版本.

1. “數軸版”教學處理方式

“數軸版”的教學處理方式主要是借助數軸對“勻速直線運動狀況”進行分析——從情境引出“直線變化”問題，引導學生借助數軸對運算過程與結果進行理解，并進行有理數乘法法則的歸納. 這是“數軸版”教學處理方式的主要特征.

案例1？搖 情境導入：已知一只蝸牛在直線l上爬行，目前正好在直線l上的“0”處.

（1）若蝸牛以2厘米/分的速度勻速向右爬行，則它3分鐘后在哪個位置？

（2）若蝸牛以2厘米/分的速度勻速向左爬行，則它3分鐘后在哪個位置？

往往規定向左為負、向右為正來區分方向，規定現在前為負、現在后為正來區分時間.

……

（然后利用數軸引導學生將等式列出，并進行觀察和思考，以填空的形式使學生對有理數乘法形成正確而深刻的理解，并歸納出有理數的乘法法則）

2. “推理版”教學處理方式

“推理版”教學處理方式主要是從“正數×正數”出發進行歸納與推理. 從“正數×正數”出發，借助一系列問題使學生在觀察、對比、分析、討論和歸納中獲得有理數的乘法法則是其主要特征.

案例2？搖 問題：與有理數加法同理，負數被引入之后，3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）這樣的乘法也會隨之出現，那么該怎樣進行運算呢？

思考：對以下乘法算式進行觀察并總結其中的規律.

3×3=9，

3×2=6，

3×1=3，

3×0=0.

總結規律：算式的積因為后一乘數的每一次遞減1而逐次遞減3.

若令這一規律在負數引入之后依然成立，則有3×（-3）=-9，3×（-2）=? ? ? ?，3×（-1）=? ? ? ?.

……

（然后運用相同的方式對“負數×正數”進行思考和處理，并歸納出“正正得正、負正得負”的運算法則，引導學生思考并使其能夠在結論的觀察中獲得“正數×負數”“負數×負數”時都具有以上總結出的規律，最終將有理數的乘法法則進行總結、歸納）

但實際上，“數軸版”和“推理版”這兩種教學處理方式在有理數乘法法則的教學處理上均存在一定的困惑：“數軸版”運用有理數知識建立模型并解決實際問題的過程顯然比較直觀和形象，但即便有理數的乘法法則產生的來龍去脈在這一教學處理中得以呈現，法則的應用也得到了很好的強調，學生也比較能接受，但也因為問題情境所涉及的因素過多而對學生的抽象思維能力提出了更高的要求，這對學生來說也是一種干擾. “推理版”著重關注推理的過程，這顯然比較能激發學生的求知欲與積極性，推理能力自然得到一定的培養，不過其弊端也是顯而易見的——這一過程必然要求學生具備較高的推理能力，知識的由來更加權威卻又顯得說服力不夠，因此，學生對有理數乘法法則的認識自然無法達到一定的深度.

教學思考

數學知識之間有著非常緊密的內在聯系，且呈現出很強的系統性. 新知識的發生、形成與發展都有其根源可循. 教師在教學中若壓縮知識的發生、形成與發展過程，則會使學生獲得零散而孤立的知識. 就知識而教知識，只會令學生只知其然而不知其所以然. 純粹的知識積累無法令學生的知識結構得以擴充與完善. 筆者對于現行教材中有理數乘法法則的教學處理方式進行了自我實踐與思考，認為下面的教學處理方式是比較合理而有效的.

1. “線性”教學

“先定性，后定量. ”這一有理數乘法法則的實質決定了有理數乘法運算的順序——確定結果的正負性之后對兩數絕對值相乘的總值進行確定. 確定運動方向后再確定運動距離是“勻速直線運動狀況分析”的教學處理方式. 因此，筆者以為，“數軸版”處理有理數乘法法則的方式實際上是相當確切的，但由于情境設計的規定與追求過多且嚴謹而影響了學習效果. 所以，筆者以為，將“數軸版”教學處理方式適當改進并形成“線性”處理方式顯然更為妥帖. 比如：

問題情境：直線l在東西方向上延伸，一只蝸牛在該直線上爬行.

（1）若蝸牛向東爬行且每分鐘前進2厘米，則它3分鐘后離原來的位置有多遠？在原來位置的哪個方向？

（2）若蝸牛向東爬行且每分鐘前進-2厘米，則它3分鐘后離原來的位置有多遠？在原來位置的哪個方向？

（3）若蝸牛向東爬行且每分鐘前進2厘米，則它3分鐘前離原來的位置有多遠？在原來位置的哪個方向？

（4）若蝸牛向東爬行且每分鐘前進-2厘米，則它3分鐘前離原來的位置有多遠？在原來位置的哪個方向？

如果把“3分鐘后”用“+3”來表示，那么你是否能夠借助數軸將其運動過程表示出來？

其他環節按照教材處理方式進行.

如此設計明顯大大降低了問題的復雜性，學生在區分過程中也不易混淆，前后知識的聯系也在“正負數具有相反意義”這一性質中更加緊密，系統性這一學科特點也展露無遺. 一些煩瑣的規定也在思維定式的積極影響下得以解決，嚴謹性或許降低，但學生在這樣的學習與理解中顯然更為直觀而輕松.

2. “約定”教學

幾個相同的數相加是乘法運算的實質，將乘法運算轉化成加法運算是小學教師在乘法教學中慣常的做法，等學生達到一定的熟練程度之后，教師則會要求學生運用乘法口訣直接給出結果. 這種教學處理方式與初中乘法的教學處理方式顯然不同，但實際上，有理數的乘法依然能夠看成幾個相同的數的加法運算，關鍵在于乘數為負數時應怎樣進行乘法意義的轉化與運算. 從這一角度來進行新的思考，我們完全可以把有理數乘法視作幾個相同的數的加法運算，這能讓學生在已有知識的基礎上對新知進行同化并令原有知識結構得以擴充，學生的認知體系會變得更為完備與圓滿. 筆者基于這一思考對有理數乘法法則教學進行了“約定”教學的嘗試，效果明顯，教學設計如下：

（1）思考.

①乘法運算和加法運算之間是否存在一定的關系？對2×3進行解釋應如何表述？

②你能根據乘法和加法的關系把式子（-2）×3轉化為加法形式嗎？

③你能根據乘法和加法的關系把式子2×（-3）轉化為加法形式嗎？

教學約定：乘法運算中，若第二個乘數是負數，則將乘法運算視作若干個第一個乘數的減法運算. 比如2×（-3）=-2-2-2=-6.

④你能根據以上教學約定把式子（-2）×（-3）化為減法形式嗎？

（2）請結合乘法意義與教學約定填空.

①3×3=______;

②（-3）×3=_____;

③3×（-3）=_____;

④（-3）×（-3）=_____.

（3）請觀察以上式子并做出如下猜想.

①正數與正數相乘，積為_____數;

②負數與正數相乘，積為_____數;

③正數與負數相乘，積為_____數;

④負數與負數相乘，積為_____數.

由此再引導學生歸納出有理數的乘法法則.

如此設計不僅大大降低了學習難度，而且有效增強了知識間的聯系. 突出增加負數的思考令學生很好地理解了乘法運算同小學學習的區別. 這一教學處理或許并不嚴謹，但不需要復雜對比與場景轉換以及簡單的學習背景，能令思維定式的積極因素充分發揮作用，能使整個知識體系得以連貫.