拉動初中學生數學“學習力” 增長的“三駕馬車”

岳紹杰 于彬

[摘? 要] 文章以魯教版“3.3 勾股定理的應用舉例（1）”為例，提出拉動初中學生數學“學習力”增長的“三駕馬車”（問題情境、追問理答、變式教學）的初步設想，并給出簡單的思考：問題情境——引導提出問題，增強學習動力;追問理答——指向深度學習，鍛煉學習毅力;變式教學——培養高階思維，提升數學能力.

[關鍵詞] 勾股定理;問題情境;追問理答;變式教學;學習力

“學習力”特指學習的動力、毅力和能力，其中學習的能力是一種可培養、可預見的能力，我們認為初中學生數學“學習力”，特別是學習能力方面主要表現在能夠在深度學習中，提出具有高階思維含量的數學問題.

“三駕馬車”原指拉動經濟增長的投資、消費和出口，那么在初中數學課堂中有沒有拉動初中學生數學“學習力”增長的“三駕馬車”呢？在長期的初中數學教學實踐中我們認為“問題情境、追問理答、變式教學”對提高初中數學課堂的教學效益起著至關重要的作用，應該是拉動初中學生數學“學習力”增長的“三駕馬車”.

魯教版“3.3 勾股定理的應用舉例（1）”主要涉及勾股定理逆定理和最短路徑問題，課堂教學容量大、知識點難度大，理解起來比較抽象. 在一次市級教研員優質課評比中筆者有幸執教該課，在團隊成員的幫助和個人的努力下，主要從“問題情境、追問理答、變式教學”三個方面（“三駕馬車”）仔細打磨，認真設計了這節課，最終取得了優異的成績. 下面進行簡單的介紹，不當之處，敬請指正.

教材簡析

“3.3 勾股定理的應用舉例（1）”是魯教版初中數學七年級上冊第三章“勾股定理”第三節的第一課時，這節課是在學生掌握了勾股定理以及如何判斷一個三角形是否是直角三角形（勾股定理逆定理）之后進行的教學內容，主要涉及利用勾股定理解決圓柱或長方體（正方體）中的最短路徑問題，以及利用勾股定理逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形兩類問題.

教材中首先呈現最短路徑問題，通過四個問題，從“側面爬”到沿“表面爬”，引導學生在動手實踐和操作中獲得此類問題的解決方法;然后以實際問題的形式，引導學生在自己首先提出解決問題方法基礎上，再利用勾股定理逆定理判斷李叔叔方法的合理性，符合新教材的設計理念. 在實際教學中根據學生的實際認知水平，我們對教材進行了整合，將上述兩個問題的呈現順序進行了互換，即先呈現與勾股定理逆定理有關的問題，然后再集中力量解決最短路徑問題，這種對教材的整合處理方式，旨在引導學生先從平面內分析和解決問題，再從空間內分析和解決問題，遵循“平面——立體——平面”的認知邏輯關系，使學生能夠形成在平面內解決問題的基本方法，同時為學生能將立體圖形轉化為平面圖形提供了可能，順利實現“化曲為直”，體會轉化的數學思想，收到了良好的課堂教學效果.

教學設計簡述

1. 創設情境

下圖是學校的旗桿示意圖，旗桿上的繩子垂到了地面，并余出了一段（如圖1）;某同學把繩子拉直后，繩子末端恰好落在地面上（如圖2），根據圖形，你能提出什么數學問題？

設計意圖? 用國慶70周年微視頻直觀震撼，拉近數學和現實生活的距離，激發學生的好奇心和求知欲，讓學生充分感受到實際生活問題與數學知識的聯系，讓學生自己提出數學問題，引起學生的探索欲望，培養學生的愛國主義情懷.

2. 定理再現

定理再現 （1）：（兩點之間線段最短）有一個長方形的公園如圖3所示，由景點A 到景點C 哪條路徑最短呢？最短路徑是多少千米？

定理再現（2）：（勾股定理逆定理）如圖4，李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.

①你能替他想辦法完成任務嗎？

②李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

③小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗邊AD是否垂直于邊AB嗎？邊BC與邊AB呢？

設計意圖? 通過提出數學問題引出本節課所需要的基礎知識勾股定理以及勾股定理逆定理，通過“定理再現（1）”將“兩點之間，線段最短”和勾股定理聯系在一起;通過“定理再現（2）”的雕塑情境，使學生感悟體會數形結合的思想. 在問題解決過程中，使學生體會數學是解決實際問題和進行交流的重要工具，在現實生活中有廣泛的應用，培養學生學數學、用數學的意識.

3. 自主探究

活動要求：請同學們拿出已做好的圓柱，在圖上（如圖5）標出點A、點B的位置，嘗試著從點A到點B沿圓柱表面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？請說出你的理由.

（1）自主嘗試：學生自己獨立思考，能想出幾種路線.

（2）交流互助（小組）：在小組內的圓柱模型上畫一畫，小組內交流.

（3）展示講解（班內）：小組展示各自的圓柱模型上所畫路線，體會展開圖中直角三角形的兩條直角邊與圓柱的底面周長、高之間的聯系.

（4）定理應用：在情境上給出相應的數據，應用定理進行計算. 已知圓柱的高是12厘米，底面圓的周長是18厘米，求小蟲在圓柱外面爬行的最短路程是多少厘米.

方法提煉（如圖6）：（1）展成平面圖形（化曲為直）;（2）確定最短路線（兩點之間，線段最短）;（3）利用勾股定理求解（建立模型）.

設計意圖? 借助信息技術平臺，將情境利用Flash播放，增加趣味性，調動學生的積極性;在學生經歷了自主思考的基礎上，進行有效的小組活動，突破本節難點. 在此環節讓學生充分體會“化曲為直”的轉化思想.

4. 鞏固提升

變式訓練：有一圓柱形油罐如圖7所示，已知油罐的底面圓半徑是2米，高是5米，要從A點起環繞油罐建梯子，梯子的頂端正好到達A點的正上方B點，則梯子最少需要多少米？（π≈3）

終極挑戰：如圖8，一個長方體盒子，它的長、寬、高分別為8厘米、8厘米、12厘米，一只螞蟻想（沿側面）從盒底的點A爬到盒頂的點B，最短路徑是多少？

設計意圖? 通過變式訓練，讓學生進一步體會“化曲為直”的轉化思想，培養學生分析問題和解決問題的能力，掌握問題解決的方法途徑，在變化中尋求不變，抽取一般規律，體會學科的應用價值.

5.感悟體會

設計意圖? 留給學生充分的時間和空間，培養學生歸納概括的能力. 教師用思維導圖的形式（比如圖9）進行總結歸納，幫助學生把零散的知識串起來，幫助學生理解.

6. 布置作業

（1）鞏固性作業：略.

（2）拓展性作業：略.

（3）實踐性作業：借助勾股定理，利用升旗的繩子，卷尺，請你設計一個方案，測算出旗桿的高度.

課下寄語：把勾股定理送到外星球，與外星人進行數學交流 ！——華羅庚; 學好數學，用數學的眼光觀察世界，用數學與世界進行對話！——岳紹杰.？搖？搖

設計意圖? 鞏固所學，使課堂向課外延伸. 通過課下寄語，引導學生喜歡數學，體會數學在解決現實生活實際問題中所發揮的重要作用.

幾點思考

1. 問題情境：引導提出問題，增強學習動力

好的問題情境，可以引發學生思考，起到事半功倍的效果，因此本節課以建國70周年慶典中升旗儀式的視頻引入新課，意在調動學生學習的積極性和主動性，同時厚植學生的愛國情懷. 此外，這個情境貫穿教學的始終，與作業布置環節的實踐性作業前后照應，形成了課堂教學的“閉環”，學生很希望可以獨立解決這個問題，進而可以很好地增強學生的學習動力.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在重視分析問題和解決問題的基礎上，更加重視學生發現問題和提出問題的能力，意在實現“兩能”到“四能”的突破. 因此本課在開課之初的“創設情境”中就以“你能提出什么數學問題？”讓學生嘗試著結合情境自己提出問題，然后解決自己提出的問題. 這樣開放性的設問可以增強學生對數學的學習興趣，特別是解決自己提出的問題后的喜悅，能夠進一步增強學生的學習動力.

2. 追問理答：指向深度學習，鍛煉學習毅力

追問理答是一線教師教學的基本功，再好的課堂預設在實際教學中都有可能會出現“意外”，面對這樣的“意外”，更能看出一個教師的教學機智.

本節課的“自主探究”環節是本節課的重中之重，是本節課教學難點突破的關鍵環節，此環節的成敗決定著本節課的成敗，而這個探究環節是一個開放性的探究問題，課堂教學中很可能會出現教師意想不到的情況，因此在教學前我們做了充分的預設（追問與理答），保證了課堂教學中的精彩生成.

比如，在“自主探究”環節的“交流互助”中，引導學生將圓柱沿著母線展開是關鍵性的一環，此時執教教師并沒有直接告訴學生，而是讓學生動手實踐、自主探究，經歷問題發現的全過程，體會到在側面上畫兩點之間的路線非常困難. 甚至在學生發現“沿著側面不好畫”的情況下也沒有急切地告訴學生解決問題的方法，而是以一句“按照你認為好畫的方法來畫！”理答學生提出的疑問，進而順利“逼”出了問題的答案——“展開畫”！強化了學生自主學習的意識，實現了深度學習，達到了很好的課堂教學效果.

再比如，在“自主探究”環節的“展示講解”中，執教教師耐心引領，在學生“卡殼”后，一句近似口語的“再‘圍起來看看”，激發了學生進一步的探究熱情，讓學生在動手操作中實現思考的進一步深入，促進學生的深度思考，鍛煉學生的學習毅力.

3. 變式教學：培養高階思維，提升數學能力

變式教學是中國數學教學的特色，變式教學可以培養高階思維，提升學生的數學能力，在本課例中有很好的體現.

“定理再現（2）”中的問題③的提出就是問題②的變式，在鞏固問題②的解決方法的基礎上，引導學生提出更多的解決辦法，促進學生的進一步思考，體現數學問題解決方式的多樣性.

“自主探究”環節我們將教材中設計的四個問題（從“側面爬”到沿“表面爬”的“腳手架”問題）改為了“沿圓柱表面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？”以此開闊學生的視野，體現分類討論的數學思想，使學生的思維更加嚴密. “鞏固提升”中的變式訓練是對此題的進一步強化，將解決問題的數學模型進一步完善和豐富，為類似問題的解決奠定堅實的基礎. “終極挑戰”中的問題由“沿側面”到“沿表面”進行變式設置，呈現載體由“圓柱”到“立方體”，對學生的思維能力提出了更高的要求，起到了變式教學應有的效果，值得其他一線教師積極踐行.

我們通過一節課對拉動初中學生數學“學習力”增長的“問題情境、追問理答、變式教學”（“三駕馬車”）進行了簡單的介紹，未必準確，更不一定正確，歡迎更多的一線教師參與進來，開發出更多的優秀案例.