“極坐標(biāo)系”教學(xué)設(shè)計(jì)探研

擺瓊

摘 要：教師應(yīng)通過對建立極坐標(biāo)系的合理性、便捷性的探究，引導(dǎo)學(xué)生自主完成極坐標(biāo)系的建立，并學(xué)會(huì)表示點(diǎn)的極坐標(biāo)，為后面學(xué)習(xí)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、簡單曲線的極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程奠定基礎(chǔ)。文章基于教學(xué)實(shí)踐，對極坐標(biāo)系的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探討，以幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);極坐標(biāo)系;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2020）24-0118-02

極坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合、類比轉(zhuǎn)化、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。建模的能力和數(shù)形結(jié)合、歸納推理等能力有較高要求，這也是本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。本文基于教學(xué)實(shí)踐，對“極坐標(biāo)系”的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探討。

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：從生活實(shí)例出發(fā)，感知極坐標(biāo)的思想在生活中的體現(xiàn)，學(xué)會(huì)自主建立極坐標(biāo)系以及掌握求點(diǎn)的極坐標(biāo);理解點(diǎn)的極坐標(biāo)的不唯一性。技能目標(biāo)：通過自主探究體會(huì)數(shù)形結(jié)合、類比的數(shù)學(xué)思想方法，通過探究活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力。情感態(tài)度和價(jià)值觀：類比學(xué)習(xí)過的直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生體會(huì)極坐標(biāo)系思想的合理性及便捷性，感受到數(shù)學(xué)來源于生活而又高于生活，學(xué)會(huì)自主探究和合作交流的學(xué)習(xí)形式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用生活常識(shí)，體會(huì)極坐標(biāo)的思想，并用此思想建立極坐標(biāo)系，表示點(diǎn)的極坐標(biāo)。教學(xué)難點(diǎn)：對點(diǎn)的極坐標(biāo)的不唯一性（極角的不唯一）的理解。

三、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

教師由笛卡爾與瑞典公主的故事，引出心形線。提問：方程中的變量ρ、θ是什么？如何用幾何畫板繪制心形線？教師再以實(shí)例引入：由衛(wèi)星圖（見圖1）思考，從學(xué)校大門到學(xué)校禮堂怎么走？提問：從學(xué)校大門到學(xué)校禮堂怎么走？是否可以用直角坐標(biāo)系方法解決這個(gè)實(shí)際問題？學(xué)生甲：從這向北走90米。學(xué)生乙：可以用直角坐標(biāo)系表示，但太麻煩，不簡便。教師肯定了學(xué)生的答案，并讓學(xué)生探討“從這向北走90米”這句話的關(guān)鍵詞是什么，能否根據(jù)3個(gè)關(guān)鍵詞自己建立極坐標(biāo)系。學(xué)生認(rèn)真思考，一起尋找關(guān)鍵詞，并分組討論，嘗試建立極坐標(biāo)系。由此突破重點(diǎn)，得出極坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)系下極徑和極角的定義。設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生熟悉的直角坐標(biāo)系和生活實(shí)例引起學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)積極性。學(xué)生利用原有的常識(shí)很容易得出答案，感知極坐標(biāo)系思想，感受數(shù)學(xué)來源于生活，為后面歸納得到極坐標(biāo)系的建立做好鋪墊。

2.主動(dòng)創(chuàng)造，獲得新知

學(xué)生根據(jù)實(shí)例給出極坐標(biāo)系的定義中的三要素：定點(diǎn)、定向、定長。由此給出建立極坐標(biāo)系的方法：（1）在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫作極點(diǎn)。（2）引一條射線ox，叫作極軸。（3）選定一個(gè)長度單位。（4）規(guī)定角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向）。極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定：對于平面上任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長度，用θ表示從OX到OM的角度，ρ叫作點(diǎn)M的極徑，θ叫作點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對（ρ，θ）就叫作M的極坐標(biāo)。一般地，不作特殊說明，認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)。極角一般是用弧度來表示。設(shè)計(jì)意圖：類比直角坐標(biāo)系的建立過程，可以引導(dǎo)學(xué)生試著建立一個(gè)用距離與角度確定平面上一點(diǎn)位置的坐標(biāo)系。比較直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的不同，可以幫助學(xué)生熟悉并記住點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示方法。

3.例題講解，突破難點(diǎn)

教師給出作戰(zhàn)雷達(dá)圖（圖略），為在作戰(zhàn)中占據(jù)有利地點(diǎn)，讓學(xué)生完成任務(wù)一：在圖中標(biāo)出我軍位置，M（4，3π），N（3，-π/3），P（5，π/2）。任務(wù)二：從圖中找出敵軍的位置。任務(wù)三：在極坐標(biāo)系中標(biāo)出下列各點(diǎn)，A（4，π/4）、B（4，π/4+2π），C（4，π/4+4π）。教師可請學(xué)生在圖中做出標(biāo)識(shí)，回答圖中各點(diǎn)坐標(biāo)，得出坐標(biāo)中角θ是可以取任意值的，所以坐標(biāo)不夠完整。然后引導(dǎo)學(xué)生討論：這些極坐標(biāo)之間有何異同？這些極角有何關(guān)系？這些極坐標(biāo)所表示的點(diǎn)有什么關(guān)系？學(xué)生回答：極徑相同，極角不同。極角的始邊相同，終邊也相同，即它們是終邊相同的角。它們表示同一個(gè)點(diǎn)。這里有以下幾個(gè)難點(diǎn)問題：平面內(nèi)給定極坐標(biāo)后，對應(yīng)點(diǎn)是否唯一？平面上，一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？若不唯一，那有多少種表示方法？坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？學(xué)生討論并回答以上幾個(gè)問題的答案：唯一、不唯一、無數(shù)種、極角、（ρ，θ+2kπ）k∈Z。設(shè)計(jì)意圖：通過多媒體展示，引導(dǎo)學(xué)生自主完成探究，總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，初步熟悉極坐標(biāo)系的有關(guān)概念。

4.回顧引入，問題升華

教師可讓學(xué)生重新回到實(shí)例中，解決實(shí)際問題。根據(jù)圖1，分別用點(diǎn)A、B、C，D、E、F表示學(xué)校校門、宿舍樓、操場、學(xué)校禮堂、實(shí)驗(yàn)樓和教學(xué)樓的位置。學(xué)生建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)，見圖2。教師注意收集學(xué)生回答過程中的不規(guī)范的地方，點(diǎn)撥學(xué)生回答中存在的問題，提升學(xué)生的歸納能力。由于題目比較簡單，教師可請一名同學(xué)板演。然后，教師可提升題目難度，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)定義理解，加強(qiáng)類比思想的培養(yǎng)。例如，對極坐標(biāo)平面中任意一點(diǎn)A（ρ，θ），（ρ>0，-π<θ≤π），問點(diǎn)A關(guān)于極軸對稱的點(diǎn)為（ ），點(diǎn)A關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線對稱的點(diǎn)為（ ），點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)為（ ）。學(xué)生討論出現(xiàn)分歧，回憶任意角的相關(guān)知識(shí)解決問題，師生共同完成任務(wù)。設(shè)計(jì)意圖：通過自建極坐標(biāo)系的過程，讓學(xué)生熟悉并掌握極坐標(biāo)系建立的四要素：極點(diǎn)、極軸、選定單位長度、規(guī)定角度的正方向。第二題則提升難度，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)定義理解，加強(qiáng)類比思想的培養(yǎng)，強(qiáng)化重難點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

5.呼應(yīng)引入，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾躺在病床上看到墻角的蜘蛛網(wǎng)發(fā)明了笛卡爾坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系）。通過它，可以用一個(gè)有序數(shù)對來確定點(diǎn)的位置，進(jìn)一步用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)。教師帶領(lǐng)學(xué)生一起用幾何畫板完成心形線的繪制，然后讓學(xué)生自主完成類比直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系。設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng);通過與已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行類比，提升能力，完成情感目標(biāo);引導(dǎo)學(xué)生歸納本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)和思想方法，使學(xué)生對本節(jié)課的知識(shí)有較為整體、全面的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生養(yǎng)成善于總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

6.課后小結(jié)，總結(jié)知識(shí)

教師可引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)：本節(jié)課大家都學(xué)到了什么？為什么要學(xué)習(xí)極坐標(biāo)系？極坐標(biāo)系都有哪些相關(guān)定義？學(xué)習(xí)中突破了哪些重難點(diǎn)？極坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)對實(shí)際生活有哪些影響？學(xué)習(xí)過程中都有哪些數(shù)學(xué)思想的輔助？設(shè)計(jì)意圖：凸顯數(shù)學(xué)來源于生活而又高于生活的美感，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

四、課后反思

本課由介紹和心形線有關(guān)的數(shù)學(xué)史開始，借助笛卡爾與瑞典公主的故事引出心形線，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。教師再借助多媒體用衛(wèi)星地圖展示該校建筑位置，使學(xué)生直觀感知“極坐標(biāo)”的思想，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納定義。明確相關(guān)概念后，教師給出軍事相關(guān)的例題，讓學(xué)生置身軍事作戰(zhàn)實(shí)景中，在游戲中完成知識(shí)點(diǎn)的夯實(shí)。然后引入校園衛(wèi)星圖，引導(dǎo)學(xué)生建立極坐標(biāo)系，完成各地標(biāo)的坐標(biāo)定位，突破課程難點(diǎn)。教師再帶領(lǐng)學(xué)生完成心形線的繪制，并介紹極坐標(biāo)系相關(guān)的數(shù)學(xué)史，類比直角坐標(biāo)系的概念，加強(qiáng)學(xué)生對新知識(shí)的理解和記憶，取得了很好的教學(xué)效果。

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Exploration of Teaching Design of Polar Coordinate System

Bai Qiong

（No.59 Middle School of Lanzhou City， Gansu Province， Lanzhou 730000， China）

Abstract： Teachers should explore the rationality and convenience of establishing polar coordinate system， guide students to complete the establishment of polar coordinate system independently， and learn to express the polar coordinates of points， so as to lay a foundation for later study of the interaction between rectangular coordinates and polar coordinates， polar coordinate equation of simple curve and parametric equation. Based on teaching practice， this paper discusses the teaching design of polar coordinate system， in order to help students form mathematical ideas and cultivate mathematical literacy.

Key words： mathematics teaching; polar coordinate system; mathematical thought; mathematical accomplishment