尺規作圖在幾何教學上對學生能力培養的作用

周小萍

摘 要：尺規作圖是初中幾何教學的重點內容。除了這個技能是將來學生數學學習發展的基礎之外，通過尺規作圖教學還可以對學生的多種能力進行有效培養。比如思維能力、數學語言規范表達能力、建模能力、實踐能力等。結合初中數學尺規作圖教學，就其對學生能力培養的作用進行分析探討。

關鍵詞：尺規作圖;初中;數學;能力培養;作用

在綜合素質及核心素養教育目標下，當下的數學教學應將視角跳出純粹的知識、技能教學，而將培養學生的能力作為一個重要的內容（也即，“授之以魚，不如授之以漁”）。只要用心并方法得當，幾乎所有的教學內容都可以用來對學生的能力進行培養。但是，需要注意的是，不同的內容以及不同的教學策略方法對學生能力培養的作用點是有差異的。教師需要根據具體教學內容以及學生的發展需求來設計能力培養的教學。

就初中數學幾何教學中的尺規作圖來說，它是初中數學的重點內容。因為，尺規作圖是數學學習進階發展的基礎技能。比如用于解平面幾何題畫輔助線，比如將來在高中學習立體幾何和函數的時候，都會用到尺規作圖這個技能。但是，當下仍然有一些數學教師將尺規作圖的教學放在純粹技能教育的視角上，而忽視其能力培養的作用，而且也缺少對相應教學方法的研究及實踐。顯然，這既浪費了尺規作圖這個教育資源，又不利于學生素養的建設發展。

其實，尺規作圖因為既相對視覺直觀（與初中學生直觀思維能力強、抽象思維能力略弱的特征相符），又有很強的操作體驗性（學生必須經歷思考和動手兩個步驟才能完成），對學生能力培養的作用可以挖掘出很多。

下面，就尺規作圖在初中幾何教學上對學生能力培養的作用進行分析探討。

一、培養思維能力

傳統的尺規作圖教學，教師主要是通過范例來講解，并要求學生對范例進行反復強化記憶。這種教學方法雖然能很大程度上保證學生在考試中熟練完成解題，但我們會發現，當學生遇到一些稍加變化的問題，或一些需要逆向解答的問題時，往往會“不知所措”。造成這種現象的原因，就是學生缺少對知識技能的靈活解析能力、思維能力——特別是創新思維、發散思維、逆向思維等比較弱。學到的不是知識，而是教條化的技能。

而要使尺規作圖教學的過程能夠對學生的思維能力發展發揮作用，就需要教師在給學生講解了基本作圖原理之后，在進行鞏固訓練時有意給學生出一些非標準化的變式題，讓學生在沒有范例可以參照的情況下開動腦筋嘗試完成解題。在這個過程中，即可促進其思維能力的發展。

比如，用尺規畫“角平分線”的習題。通常，我們教學生畫角平分線的范式，就是給一個開放的銳角畫平分線。而我們可以設計幾種變式問題來訓練學生的思維能力：如，給學生一個大開角的鈍角，讓學生畫它的平分線。這個過程中，學生會遇到一個問題，就是在卷面上作圖會非常大，往往圓規的交叉點會超出紙面（就算沒有超出紙面，也會遇到圓規不夠大或沒有足夠畫圖空間的問題）。試一試學生能不能想到畫出一個等腰三角形，然后去畫線段（底）的垂直平分線，從而得到角的平分線;再比如，我們不直接讓學生畫角平分線，而是給他們一個封閉的三角形，且不說畫角平分線——已知△ABC，其中∠C=90°，在AB這條邊上找出一個點E，使∠ECA=45°，也就是讓學生跳出開放性角及“平分線”這個直接問題，而從平分角度的問題遷移到角平分線的問題上。教師通過類似這樣的變式，讓學生多想幾步，打開其思維空間，訓練他們的思維能力。

二、訓練規范表達

在教學中，我們發現一個問題：就是有些學生數學學得很好，解題的答案是正確的，但總會在解題過程中丟分。而且，這些學生在互助學習小組中幫助同學解題、講解的時候，總是語言表述不達意，費了半天口舌，對方還是沒有聽懂，也就是解題不規范或用數學語言表述的能力不足，這其實是在數學的學習中一個較為普遍的現象。尤其是一些“學優生”，因為思路敏捷，往往會在解題中跳過步驟快速完成解題。當讓他表述的時候，本來他以為自己的思路很清晰，但真正表述的時候，發現沒有能力把自己的思路展示出來。

訓練學生掌握用數學語言準確、清晰、規范地表達，也是一項基本能力。比如“已知線段a和h，用直尺和圓規作一個等腰三角形ABC。要求，底邊BC=a，高等于h”。這個題是基礎題，并沒有難度。就是兩個知識點，一是“作一條線段等于已知線段”，二是“作已知線段的垂直平分線”。往往學生在答題的時候，就會跳過步驟，缺少規范性。對此類問題，教師一定要求學生在解題的時候將解題步驟一步步寫出來，且要用數學的規范語言。如，（1）作一條線段AB，長度等于a;（2）作AB的垂直平分線，與AB交于點F;（3）在垂直平分線上取一點C，使線段FC等于h;（4）分別連接AC、BC。雖然，這個簡單的題這樣寫可能比較煩瑣，但這正是訓練學生規范表達的好素材。而當繪制較為復雜的圖形時，如果沒有這個基本功，學生表述起來往往會因為用語不規范或步驟混亂等問題而丟分。

三、培養建模能力

建模能力是數學的核心素養之一。但培養學生的建模能力相對比較困難。一是因為數學的抽象性比較強，學生不容易捕捉到規律;二是建模能力需要以歸納能力、提煉能力、總結能力、分析能力為基礎條件，當學生不具備這些能力的時候，建模能力的培養會受到制約。因而，數學教師對學生建模能力培養的積極性不高，往往為了省事，會將數學知識的“模型”直接告訴學生，讓學生記住。這種教法會出現兩個問題：一是當學生出現知識點記憶缺失的時候，就不能完成解題，不能在考試中運用自己的獨立推理能力重新建模而完成解題;二是學生的學習會缺少發展性。即，當他們將來脫離教師或遇到自己想學習的內容時，因不會建模而學習發展效率較低。因而，無論建模能力的培養多么難，數學教師還是要把這件工作做好。

好在，尺規作圖這個知識技能的“模型”是相對比較簡單的。無非就是三個方面的提煉：一是兩種幾何語言。即，用直尺作圖的幾何語言（如：過點×、點×作線段××或過點×作直線×;連結兩點××;延長××到點×，使××=××或交××于點×等）和用圓規作圖的幾何語言（如：在××上截取××=××;以點×為圓心，××的長為半徑作圓或弧;分別以點×、點×為圓心，以××長為半徑作弧，相交于點×等）;二是尺規作圖的一般步驟（即，已知——表述題目條件;求作——按要求作出圖形;作法——表述過程、原理）;三是五種基本作圖（即，作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作已知線段的垂直平分線;作已知角的角平分線和過一點作已知直線的垂線）。比起數學的其他知識（比如函數模型或方程式模型）來說，尺規作圖的建模處于不特別復雜又不是特別簡單的層次上，正是我們對學生進行建模能力培養的恰當資源。

所以，對于尺規作圖的教學，不建議教師直接將模型告訴學生，而是在整體完成教學之后，專門給學生時間進行模型的提煉和歸納。最后，再由教師來匯總和點撥。這個過程，不僅能夠訓練學生的建模能力，而且因為模型是自己通過思考建立起來的，記憶效果也好得多。

四、培養實踐能力

實踐能力的培養是課程改革之后對所有學科的共同要求。也就是，我們已經意識到培養“紙上談兵”的人才不能滿足社會的發展需求，也不利于學生未來的人生發展。因而，在教學中我們必須通過某些方法，使學生不僅掌握和理解知識，而且能夠將所學的知識有意識、有效果地服務于生活、生產實踐。

而尺規作圖這個技能恰恰在生產、生活中應用得相當廣泛，小到家庭生活，大到規劃設計，都會用到這個技能。所以，在教授尺規作圖的時候，教師應有意識地對學生的實踐能力進行培養，而不僅是讓他們只會解試卷上的試題。

比如，我們可以引入現在的一個熱點話題作為實踐題型：“現在我們國家已經進入了信息化時代，而且我國的5G通信技術已經走在了世界通信行業的前面。但是，5G技術要推廣應用，需要有對應的設備支持。比如信號塔，要比原來的4G近一些，需要重新建設布局。為了盡可能節省資源并保證信號覆蓋面，我們需要進行精確的規劃。假如A和B兩個小區一同散落于公路a和b（不平行）的中間，根據測算，只需要建設一個信號塔即可完成對兩個小區和兩條公路對應路段的信號覆蓋。為了保證信號強度均衡，要求這個信號塔與兩個小區的距離相等，且同時與兩條公路的距離相等——這個題其實是找兩個點間（小區）線段的垂直平分線和一個角（公路）的角平分線的交點，并不算太難。難點在于學生是否能夠將生活中的事物轉換為數學問題。再比如，在家中掛一個相框，在掛繩長度已定的情況下，把釘子釘在哪個點上能夠滿足定位需要？也可以用尺規作圖方法來解決。我們通過類似這樣的實踐題目達到訓練學生實踐能力發展的目的。

綜上所述，結合初中數學尺規作圖的教學，就尺規作圖對學生能力培養的作用進行了探討。當然，尺規作圖的教學過程中因為我們所采用的方法不同，還可以起到培養其他能力的作用。比如使用探究法來培養學生的自主學習能力，使用小組合作學習法來培養學生的協作能力、交流能力，通過問題法來培養學生的質疑能力等。但這些作用，在其他內容的教學中同樣適用，這里就不展開探討了。總的來說，尺規作圖教學因其具有直觀性和抽象性并存的特征，知識的復雜度相對適中，且在生活生產實踐中應用比較廣泛，因而，在培養學生的思維能力、數學語言規范表達能力、建模能力及實踐能力方面具有較好的作用。

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