控制系統仿真課程時域離散化模型推導中的教學探討

王曉玲 肖敏

摘 要：時域離散相似算法是連續系統仿真的常用方法，該算法具有計算量小、穩定性好、允許采樣較大的步長等優點，因而是線性時不變系統中廣泛應用的一種仿真算法。教材中給出的時域離散化模型的推導是基于拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的，學生理解起來相對困難。針對這一教學問題，文章將常數變易法引入時域離散化模型的推導中來，輔助時域離散化模型推導的教學，從而提高教學效率和教學質量。

關鍵詞：控制系統仿真;線性時不變系統;時域離散相似算法;教學探討

中圖分類號：G64? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2020）27-0007-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2020.27.003

MATLAB與控制系統仿真是自動化專業的一門專業選修課程，該課程具有較強的實踐性，并以自動控制原理或自動控制基礎為學習基礎。該課程是利用MATLAB和Simulink軟件（以下統稱為MATLAB軟件）實現對控制系統相關性能的分析（比如系統的穩定性），促進學生對自動控制原理或自動控制基礎等相關課程知識點的進一步理解，為后期相關的課程設計、畢業設計、競賽等打下基礎。

生物醫學工程專業是一門工科專業。對于該專業的學生來說，MATLAB與控制系統仿真課程的開設不僅是為了進一步提高學生對自動控制原理或自動控制基礎中所學知識的進一步理解，同時也為該專業學生的后期學習打下堅實的基礎。隨著科技的發展，外界對生物醫學工程專業學生的MATLAB軟件精通程度的要求也越來越高。這是因為越來越多的生物信息數據的分析等工作需要用到MATLAB軟件，而且MATLAB軟件中也增加了生物信息工具箱，這也從側面突出了MATLAB軟件對該專業學生的重要性。因此，MATLAB與控制系統仿真課程在生物醫學工程專業學生的學習中發揮著承前啟后、承上啟下的作用。

在自動控制理論中，我們用數學表達式來描述系統中各個變量之間的關系，該數學表達式被稱為這個系統的數學模型。一般地，時域中的系統用微分方程來描述，而復域中的系統則用傳遞函數來描述。控制系統仿真主要是研究怎樣將常微分方程（組）描述的系統連續系統離散化為與之等價的離散的差分方程（組），從而可以通過對該差分方程的迭代求出系統的解析解。換句話說，控制系統仿真的主要目的是找出與原來的微分方程（組）的解析解等價的數值解。教材[1]（見參考文獻，下同）主要介紹時域連續時不變系統的數字仿真算法中的相關概念、基本原理、常用公式等等，其中數值積分算法和離散相似算法在連續時不變系統的數字仿真中的應用是教學重點。本課程教學內容雖然可以根據開設專業的不同而進行相應的取舍，但是連續系統數字仿真的數值積分法和離散相似算法這兩個核心內容是不可舍掉的。其中，時域離散相似算法是MATLAB與控制系統仿真教學中的主要內容之一，其應用范圍廣，并且實現起來很便利。但是，教材中關于時域離散模型的推導首先是對系統模型進行拉普拉斯變換，然后再對其進行拉普拉斯反變換而進行的。這樣的推導過程復雜、容易出錯。尤其對于非自動化專業的學生和控制理論基礎不扎實的學生來說，基于拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的推導就更難理解消化了，也容易出錯，教學效果往往不理想。相對于自動化專業的學生，生物醫學工程專業的學生的控制理論相關的基礎比較薄弱，因此，拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換學習對他們而言并非易事，而且在處理拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的過程中，經常還要查表才可以得到。教師應引入常數變易法來輔助時域離散化模型推導的教學工作，使理論教學過程更加具體、更加直觀，進而促進學生對這一教學內容的理解，從而提高學生的聽課積極性，提高教學質量。

一、時域離散化相似算法

根據教材[1，2]，線性時不變的連續系統的離散化是將虛擬的采樣開關分別加到該系統的輸入端和輸出端，使得輸入信號和輸出信號都被離散化，從而得到一個離散化的模型。保持器在這一離散化過程中發揮著重要的作用，其作用主要是為了復現原來的輸入信號。然而，在實際的應用中，各種保持器不可能完全不失真地復現原來的輸入信號。因此，我們只能說連續系統經過離散化后得到的離散化模型是原模型的“近似”模型，并且原模型與離散化模型之間的“近似性”與保持器的特點和采樣周期有關。時域上的線性時不變的連續系統的離散相似算法就是找出一個合適的采樣周期，使得離散化模型與原連續模型等價。

拉普拉斯變換是工程數學中非常常見的一種積分變換，該方法是求解高階常微分方程的常見的、重要的方法。教材[1，2]中，對時域離散化模型的推導主要分兩步走：第一步，對原來的時域連續時不變的系統作拉普拉斯變換，將實變量函數轉變為復數域中的復變量函數，然后再對所得到的復變量函數作相應的運算，得到一個最終的復變量函數。第二步，對最終所得到的復變量函數作拉普拉斯反變換，將復數域中的復變量函數結果轉變為實數域上的實變量函數。正如教材[1]中所示，對線性時不變系統作拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換，從而得到系統的解析解。

根據時域離散相似算法的原理，我們將在所得到的解析解上引入保持器來離散化上面所得到的解析解。根據教材[1]，此處我們也可以引入零階保持器或者三角形保持器，將保持器代入系統的解析解，從而得到了系統的時域離散化模型。在所得離散化模型中，當采樣周期確定了，系統就可以通過離散迭代求得系統的數值解。這種迭代也突出了離散相似算法的優越性，即計算量小和允許采樣大步長。

雖然離散相似算法有著以上所述的顯著優點，但是在教學過程中，有相當多的學生反映離散化模型的推導比較抽象，難以掌握。根據調查分析，出現這一教學情況的原因是學生對拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換不熟悉，掌握得不夠牢固，尤其是對于非自動化專業的工科學生，如生物醫學工程專業的學生。考慮到這一教學現象，可將常數變易法引入時域離散化模型的推導中，來輔助學生理解時域離散化模型的推導過程，進一步理解時域離散模型的意義。

二、常數變易法引入

常數變易法是求解非齊次微分方程的常用方法[3]，使用該方法求解非齊次微分方程特解的基本思路主要分三步：第一步，去掉非齊次微分方程中的非齊次項，得到相應的齊次微分方程，然后對該齊次微分方程進行求解，得出其通解。第二步，將所得通解中的待定常數變易為自變量的待定函數。第三步是對第二步中常數變易后的通解進行求導，根據初始狀態值求得原來的非齊次微分方程的特解。常數變易法的核心主要是體現在第二步，即對將齊次微分方程中的待定常數“變易”為含自變量的待定函數。

時域線性時不變系統可以看作一個非齊次線性方程，其中控制輸入項的存在決定著它的“非齊次性”。常數變易法在時域離散化模型的推導中的具體步驟如下。

步驟一：將時域線性時不變系統的控制輸入項省略掉，僅對時域線性時不變的自治系統求解。因為去掉控制輸入項的時域線性時不變的自治系統是一個齊次線性方程，它的通解的求取很好處理。

步驟二：將步驟一中所得的自治系統的通解中的待定常數“變易”為包含自變量的待定函數。注意，在時域連續時間的線性時不變系統中，自變量是時間。因此，此處的含自變量的待定函數中的自變量是時間。

步驟三：將步驟二中變易后的通解代入原來具有控制輸入項的非齊次方程中，并根據初始狀態值即可求得原系統的特解。

通過使用常數變易法，我們得到了時域線性時不變系統的解析解。然后再借助保持器，對所得解析解離散化即可得到系統的時域離散化模型。可見，應用常數變易法求解時域線性時不變系統的解析解不涉及拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換，求解過程更加直觀。

三、常數變易法在時域離散化相似算法教學中的應用

在教學過程中，我們并不是直接講授應用常數變易法來推導時域離散相似算法公式。常數變易法只是作為時域離散化模型推導這一知識點的教學輔助，并不是完全取代教材中教學內容。在具體的教學過程中，首先，教師講授怎樣通過拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換得到教材中的離散相似算法，突出拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的作用。然后，再講授常數變易法求解時域線性時不變系統的解析解。常數變易法的引入不僅具體化了模型的推導過程，而且也為時域離散化模型的獲得提供了嚴格的數學證明。該方法與教材中提供的基于拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的證明方法的結合與對比，促進了學生對時域線性時不變連續系統的離散化模型推導這一知識點的理解，進而提高教學質量。

除此之外，在教學實踐中，為了突出常數變易法的作用并促使學生對該方法的掌握，在實驗課中，在學生完成了實驗內容之后，教師會建議學生將離散仿真算法所得的數值解與系統的解析解作一個對比。這樣做的原因之一是為了驗證離散算法與原系統的“等價性”，原因之二是讓學生事先利用常數變易法求出系統的解析解。這樣做可以加深學生對問題的思考，提高實驗課的教學效果。

四、結語

在MATLAB與控制系統仿真課程的教學中引入常數變易法這一數學方法來輔助時域離散化模型的推導的教學，改變了原有的完全按照教材授課的模式，實現了數學基礎知識與控制理論的有機結合，突出了高等數學知識在工科專業課中的重要作用。利用常數變易法來推導時域離散化模型，可以加深學生對教材中的推導過程的理解，也更容易調動學生聽課的積極性，從而提高課堂聽課效率，改善教學效果。

參考文獻：

[1]蔣珉，柴干，王宏華，劉國海.控制系統計算機仿真（第2版）[M].北京：電子工業出版社，2012.

[2]王正林，等.MATLAB/Simulink與控制系統仿真（第3版）[M].北京：電子工業出版社，2012.

[3]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：王曉玲（1987.12— ），女，漢族，安徽安慶人，講師，研究方向：網絡化系統的分析與控制。

肖敏（1977.3— ），男，漢族，江西萍鄉人，教授，研究方向：非線性系統動力學分析及優化控制。