淺議化歸思想在高中數學解題過程中的應用

蔡娟蘭

[摘 要]化歸思想是一種解決問題的重要思想，在高中數學解題中的優勢更為顯著，不僅能引導學生解決各類數學問題，還能提升學生數學解題能力。在高中數學教學過程中，教師應該做好化歸思想知識的講解，為學生灌輸化歸思想常用的方法，使學生了解化歸方法的具體應用過程，掌握應用規律，總結在解題中的應用技巧，從而，不斷提高化歸思想應用水平，快速找到解題突破口，促進高中數學解題能力的進一步提升。

[關鍵詞]高中數學;化歸思想;解題過程;應用

所謂化歸思想是指將陌生、不易處理的問題，采用相關轉化方法，轉化為熟悉、易處理的問題。所以，采用合理方法進行轉化是化歸思想的精髓，亦是化歸思想教學的重中之重。高中數學涉及的知識點較多，題型復雜多變，掌握化歸思想可使學生迅速找到解題突破口，實現快速、高效解題，因此，教學中數學基礎知識和化歸思想均應納入教學的重要內容，并積極實踐。

一、化歸思想之換元法的應用

換元法是化歸思想中的一種常見方法，學生在初中階段已有所了解，因此，對換元法并不陌生。不同的是，高中階段的換元法更為靈活，而且解題步驟更為復雜，因此，在教學中，一方面，教師要為學生深入講解換元法，使學生牢固掌握換元法的技巧與方法，讓學生認識到換元并不是隨便的換，換元后應能簡化原有式子，使解題時更加容易找到解題思路。同時，還應注意換元前后變量取值范圍的一致性。另一方面，教師要結合具體教學內容，圍繞具體例題，為學生講解換元法的具體應用，使學生深刻體會換元過程，認識到換元法在解題中的妙用，啟發學生更好地解題。

例1，已知函數f（x）=xlnx- x2-x+a（a∈R）在其定義域內有兩個不同的極值點。設兩個極值點分別為x1、x2，且滿足x10，若不等式 e1+λ

分析：該題目立足函數，考查了極值點、導數、恒成立等知識點，技巧性強，難度較大。解題的關鍵在于理解題意，而后對已知條件進行轉化，根據轉化后的結果，采用換元法解題。講解中為使學生能夠迅速找到解題思路，增強解題的自信心，教師應及時做好解題引導。

教師引導學生認真分析題干中給出的不等式，可考慮采用兩邊取對數的方法進行轉化，即，由 e1+λ

由極值點和函數導數之間的關系可得x1、x2應分別為f′（x）=lnx-ax=0的兩個根。將其分別代入可得lnx1=ax1，lnx2=ax2……（1）。

則1+λ

∵λ>0且0

同時，還應通過將（1）中的兩個等式作差，得到ln=a（x1-x2），則a=

則原式等價為：>，∵0

令t=，t∈（0，1），則不等式lnt< 在t∈（0，1）上恒成立。

令h（t）=lnt-，求導得： h'（x）=

當λ2∈ [1，+∞）時，00，表明函數h（x）為單調遞增函數，而當t=1時，h（1）=0，可知h（t）恒小于0。

當λ2<1時，可知在t∈（0， λ2）上 h'（x）>0，在t∈（ λ2，1）時h' （x）<0，即，當其最大值為h（1）=0，表明在t∈（0，1）上h（t）小于0不恒成立，舍去。

由此可見，要想滿足題設要求，只需 λ2≥1，而 λ>0，即， λ≥1。

二、化歸思想之構造法的應用

構造法指根據題干條件或進行推導，將數學問題轉化為一個適當的數學模型，進而實現求解的目的。構造法對學生的數學能力要求較高，教學中為使學生掌握這一重要的轉化方法，一方面，教師要結合教學內容為學生講解常見的構造方法，包括構造函數、構造數列、構造向量等。同時，為樹立學生學習的自信，可先創設簡單的問題，傳授各種構造技巧，夯實學生基礎知識，提高運用構造法轉化為數學問題的意識。另一方面，教師要優選經典例題，板書具體解題過程，鼓勵學生積極思考每一步的推導過程，以及推導過程中應注意的問題，切實掌握構造法精髓，使學生在解題中可以靈活應用。

例2，已知a，b，c∈R+，abc=1，證明：a2+b2+c2+3≥2ab+2ac+2bc

分析：該題目為證明不等式類型的題目，題干較為簡單，但是很多學生不知如何下手，因此，在教學中，教師應引導學生通過轉化，構造出二次函數進行證明。

要證a2+b2+c2+3≥2ab+2ac+2bc，即證：（a+b）2+c2+3≥4ab+2c（a+b）

∵abc=1，即，原不等式轉化為（a+b）2-2c（a+b）+c2+3-≥0

當3-≥0，即，c≥ 時，顯然不等式成立。

當3-<0，即，c<時，設x=a+b，由已知條件以及基本不等式知識可得a+b≥2=，即x=a+b∈[，+∞），對不等式（a+b）2-2c（a+b）+c2+3-≥0

認真觀察不等式的形式，可通過二次函數f（x）=x2-2cx+c2+3-進行證明。

要證明0

∴f（x）的對稱軸x=c在[，+∞）的左側，且f（x）的圖像開口向上，即，在[，+∞）上f（x）單調遞增。

又∵f（）= -4+c2+3- =c2-4 +3≥2c-4 +2=2（ -1）2≥0

∴當x∈ [，+∞）時恒有f（x）≥0，即當0

三、化歸思想之坐標法的應用

坐標法是一種基于坐標系將幾何問題轉化為代數問題，通過數學計算，實現解題的一種化歸思想。應用坐標法解答數學問題時應注重構建合理的坐標系，準確找到各點的坐標，而后進行計算。為使學生靈活地運用坐標法這一重要的化歸思想，一方面，教師在教學中為學生講解坐標法知識，注重培養學生的空間想象能力，如通過聯系生活中的事物，增強學生的空間立體感，從而能夠在空間直角坐標系中準確找到各點坐標。另一方面，為使學生掌握坐標法，教師在教學中應注重對學生進行訓練，即選擇優秀試題，對學生進行專題訓練，不斷提高學生的坐標法應用水平與運算能力。

例3，如圖一所示，一以ABCD為底面的四棱錐P-ABCD，已知底面為菱形，邊長為2。三角形PAB為等邊三角形，∠ABC=60°，且面PAB⊥面ABCD。E為AB的中點，在線段PD上有一點M。問：是否存在能夠使得二面角M-EC-D的大小為60°的點M？

分析：該題目為立體幾何題目，采用傳統方法雖然能夠得出結果，但難度較大，學生應采用坐標法，通過假設M點的坐標，找到其與PD間的關系，便可得出是否存在點M。根據題意構建空間直角坐標系時，應以E為原點，以EB、EC、EP分別為x，y，z軸，構建空間直角坐標系E-xyz，根據題意，不難得出以下各點的坐標。

E（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0， ），C（0， ，0），D（-2， ，0）

假設PD上存在一點M（x，y，z）， =λ （0≤λ≤1）

則（x，y，z- ）= λ（-2，，- ），即，M（-2λ， λ， （1-λ））

=（-2λ， λ， （1-λ））， =（0，，0）

可設平面CEM的法向量為n（x，y，z），根據法向量知識可得：

n·? =-2λx+ λy+ （1-λ）z=0，n· = y=0，解得y=0，2λx= （1-λ）z

令z=2 ，則x= （1-λ），得n=（（1-λ），0，2λ）

∵PE和平面ABCD相垂直，可求出平面ABCD的法向量為m=（0，0，1）

cos= =2 λ/=2 λ/

∵二面角M-EC-D的大小為60°

則2 λ/=1/2，即，3λ2+2λ-1=0，解得λ= 或 =λ-1（舍去）

綜上，存在滿足題意要求的M點，即PM/PD=時，題設成立。

四、化歸思想之直接轉化法的應用

直接轉化法相對來說較為簡單，教學中為使學生掌握這一重要方法，一方面，由于直接轉化法基于數學基礎知識，因此，在教學中做好數學基礎知識講解尤為重要。教學中，教師可以靈活運用多種教學手段，如運用多媒體技術為學生深入講解數學概念，尤其引導學生自己推導相關的數學定理，感受數學定理的推導過程，加深學生印象的同時，使學生更好地了解數學結論的來龍去脈，有助于其更好地應用。另一方面，與其他轉化方法相比直接轉化法雖然難度不大，但要想牢固掌握并非易事，教師在教學中仍需依托具體例題進行講解，使學生更好地掌握應用直接轉化法應注意的問題及相關的應用技巧。

例4，已知函數f（x）= x3+（-）x2+（- a）x（0f（x3）恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：該題目為三次函數類型的試題，在高中數學中較為常見，解題時需要應用導數知識，確定函數的最值進行求解。同時，該題目給出f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立這一條件，深入理解這一條件是解題的關鍵，解題時需要根據f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立找到潛在的隱含關系，通過分類討論找到最大值與最小值之間的關系，最終求解出a的取值范圍。

∵f（x）= x3+（-）x2+（- a）x（0

∴ f'（x）=x2+（a-）x+（- a）=（x-）（x+a-2），令f'（x）=0解得x1=，x2=2-a

∵00得到x<或x>2-a，令f'（x）<0，得

即，f（x）在[1，2]上的最小值為f（2-a）=（2-a）2，最大值為max{f（1），f（2）}=max{-， a}

∵0-

在解題過程中，巧妙轉化題設條件是關鍵，即，根據對于任意的三個實數x1，x2，x3∈[1，2]都有f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立，應能推導出2f（x）min>f（x）max

顯然，當a∈（0， ]，可得2×（2-a）2>-，求解得出1- a，可求解出a的取值范圍為：

綜上可知，a的取值范圍為1-

五、化歸思想之數形結合法的應用

數形結合是化歸思想中應用率較高的方法，可明顯提高解題效率。在教學中，為使學生熟練應用數形結合法進行巧妙解題，一方面，教師應引導學生自主地學習數形結合知識，并在解題中嘗試著加以應用，如要求學生回歸教材掌握教材中常見函數的圖像、總結函數圖像繪制技巧等，為數形結合法的靈活應用奠定基礎。另一方面，數形結合法試題類型多種多樣，教學中應為學生講解代表性例題，使學生掌握數形結合法解題的思路，靈活處理常規以及抽象函數圖像，從而順利解題。

例5，已知函數f（x）=，關于x的方程f2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3個不同的實數根，則a的取值范圍是（）

A、（ ，+∞）? ? B、（-∞， ）? ? ?C、（0，）? ? ?D、{}

分析：該題目是抽象函數與復合函數相綜合的題目，較為抽象，難度較大。很多學生面對該題目不知如何下手，很難得出正確結果。事實上，針對抽象復雜的函數，可運用導數知識研究其單調性，大致畫出其圖像，借助圖像討論其根的情況，從而得出參數的取值范圍。

∵f（x）= ，x的正負未知，因此，需要進行分類討論。

當x>0時，f（x）= ， f'（x）==。當01時 f'（x）>0，當x=1時，滿足f（1）min=e。

當x<0時，f（x）=-，則 f'（x）=-=，f'（x）>0恒成立，函數f（x）單調遞增。為求a的取值范圍可大致作出f（x）的圖像，如圖二所示：

可知當t∈（e，+∞），t=e，t∈（0，e）以及（-∞，0]對應的t=f（x）根的個數分別為3個，2個，1個，0個。

題設中的問題，等價于t2-2at+a-1=0（m∈R）有2個不同的實數根，當t=e時，e2-2ae+a-1=0，解得a=，正確答案為D。

為使學生切實掌握化歸思想，教學中應做好教學經驗總結，注重化歸思想的應用研究。本文通過研究得出以下結論：

1.高中數學教學中，不僅要為學生講解高中數學基礎知識，使學生掌握基本知識以及解題的基本能力，而且要為學生系統講解化歸方法以及化歸時應遵守的原則，把握化歸思想應用重點。

2.為學生講解化歸的具體實現方法，尤其為使學生熟練掌握各種化歸方法，應結合例題講解，使學生掌握相關化歸方法的具體應用。同時，鼓勵學生充分利用課下時間進行及時鞏固訓練，在訓練中掌握不同數學試題的解題規律以及化歸技巧，進一步提高學生的數學解題能力。

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（責任編輯 陳始雨）