探討解析幾何問題，開展思路解法優(yōu)化

楊永成

[摘? 要] 解析幾何作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，常以壓軸題的形式進(jìn)行考查，而往往一道優(yōu)秀的考題背后蘊(yùn)含著大量的信息，包括問題的分析思路和方法、多樣的優(yōu)化視角，以及對(duì)思維的拓展作用. 文章以一道解析幾何綜合題為例，開展思路探究，解法優(yōu)化，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;多解;最值;面積;多解;思考

走進(jìn)考題

例題：已知橢圓C的解析式為+=1，與直線l的交點(diǎn)分別為P（x1，y1）和Q（x2，y2），連接OP和OQ，求得△OPQ的面積為，其中坐標(biāo)原點(diǎn)為O，試回答下列問題.

（3）試分析在橢圓C上是否存在三點(diǎn)D，E和G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，請(qǐng)判斷△DEG的形狀;若不存在，請(qǐng)說明理由.

常規(guī)思路

本題目為解析幾何綜合題，主要研究直線與橢圓的位置關(guān)系，以及幾何圖形的面積，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力有著較高的要求，下面簡(jiǎn)要探究考題的常規(guī)思路.

1. 直接方程入手，常規(guī)分類討論

第（1）問求證x+x和y+y均為定值，代數(shù)式是由交點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建的，因此可以聯(lián)立橢圓與直線的方程，結(jié)合△OPQ的面積來構(gòu)建模型.考慮到直線l的斜率沒有設(shè)定，因此需要討論其斜率是否存在.

3. 借用（1）問結(jié)論，幾何定理討論

第（3）問分析橢圓上都否存在三點(diǎn)使得三角形滿足面積要求，同時(shí)判斷△DEG的形狀，可以采用“假設(shè)—驗(yàn)證”的思路，假設(shè)存在這樣的三點(diǎn)，然后利用幾何定理做出判斷.

假設(shè)橢圓上存在三點(diǎn)D（x，y），E（x，y），G（x，y）滿足要求，結(jié)合（1）問的結(jié)論可解得x=x=x=，y=y=y=1，因此上述三點(diǎn)只可以在

，1

、

，-1

、

-，1

和

-，-1

中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)中兩兩連線必有一條經(jīng)過原點(diǎn)，因此不可能有S△ODE=S△ODG=S△OEG=，故假設(shè)不成立，橢圓C上不存在這樣的三點(diǎn)D，E和G.

[?]另解優(yōu)化

上述是關(guān)于以橢圓為核心的解析幾何問題的常規(guī)解析思路，也是學(xué)生較為熟悉的解析方法，相對(duì)而言構(gòu)建思路清晰，但計(jì)算過程具有一定的難度，較為煩瑣. 下面將結(jié)合問題特點(diǎn)來變換解析思路，采用另類解法加以探究.

1. 問題（1）的另解探究

問題（1）求證代數(shù)式為定值，采用分類討論的方法對(duì)直線l斜率存在情形分別進(jìn)行了分析，同時(shí)在化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)相對(duì)較為復(fù)雜，下面考慮采用三角形面積夾角公式，同時(shí)避開分類談?wù)摚唧w過程如下.

結(jié)合相應(yīng)的面積公式，可將△OPQ的面積表示為：S△OPQ=OP·OQ·sin∠POQ=··=·=·=，所以（x1y2-x2y1）2=6，即xy+xy=6+2xx·yy. 又知2x+3y=6，2x+3y=6，從而有（2x+3y）·（2x+3y）=36，所以（2x-6）（2x-6）=4xx，整理可得x+x=3，結(jié)合2（x+x）+3（y+y）=12可得y+y=2.

求證代數(shù)式的關(guān)鍵就是對(duì)三角形面積模型的處理，上述采用了線段夾角模型，從而避免了不必要的直線斜率存在性的討論. 另外構(gòu)建三角形面積模型時(shí)還可以采用面積割補(bǔ)的方式，結(jié)合坐標(biāo)系中的關(guān)鍵點(diǎn)來構(gòu)建.上述對(duì)（x1y2-x2y1）2=6處理時(shí)采用了眾多的變形技巧，實(shí)則還可以通過三角換元的方式，這里不再贅述.

2. 問題（2）的另解探究

3. 關(guān)于問題解法的剖析

上述考題三小問分別求證代數(shù)式為定值、線段之積的最大值以及點(diǎn)存在性分析，是代數(shù)與幾何內(nèi)容的綜合考查，上述簡(jiǎn)要探究了問題的常規(guī)思路和另類解法，下面進(jìn)一步剖析.

第（1）問是求證代數(shù)式為定值，構(gòu)建基礎(chǔ)是直線與橢圓的交點(diǎn)，而核心則是三角形的面積模型. 兩種解法分別以直線斜率的存在性和三角形的線段夾角模型作為切入點(diǎn)開展問題探究，解法均具有各自的特點(diǎn)，前者思路清晰，分析條理，后者則規(guī)避了討論，可避免漏解.

第（2）問則呈現(xiàn)了三種解法，總體思路均是直接實(shí)現(xiàn)線段乘積的坐標(biāo)化，在具體分析時(shí)根據(jù)具體情形進(jìn)行了討論.包括把握其中的定值來簡(jiǎn)化數(shù)式，聯(lián)立方程構(gòu)建數(shù)式關(guān)系，均充分利用了數(shù)式簡(jiǎn)化的方法技巧，解法具有普遍適用性，但在實(shí)際計(jì)算時(shí)需要結(jié)合條件及時(shí)化簡(jiǎn)，同時(shí)考慮參數(shù)的取值范圍，確保結(jié)果可靠.

學(xué)習(xí)建議

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，處理解析幾何問題中的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系更是常考問題，掌握問題的通性通法和優(yōu)化措施是十分重要的，考慮到問題的復(fù)雜性、解法的多樣性、過程的繁復(fù)性，下面提出幾點(diǎn)建議.

1. 關(guān)注題型，總結(jié)方法

解析幾何的問題類型一般具有鮮明的特點(diǎn)，同時(shí)解題思路的程序性很強(qiáng). 分析近幾年的考題，可以發(fā)現(xiàn)綜合性問題主要集中在以下幾點(diǎn)內(nèi)容：計(jì)算解析式、分析位置關(guān)系、求解弦長、研究最值、探索面積，以及論證存在性等.而對(duì)于每一類問題均具有一定的處理思路和解析策略，例如上述求證代數(shù)式為定值，通解方法就是聯(lián)立曲線方程，簡(jiǎn)化數(shù)式求證;而研究最值則聯(lián)合相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)來構(gòu)建對(duì)應(yīng)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)或不等式性質(zhì)求解. 因此在復(fù)習(xí)備考過程中需要對(duì)解析幾何的設(shè)問加以歸納總結(jié)，形成自我的解題思路.

2. 明確目標(biāo)，逐層化簡(jiǎn)

解析幾何問題的信息量一般較大，在解題時(shí)需要明確目標(biāo)，結(jié)合條件來逐步化簡(jiǎn)，可以采用“讀題譯句，思句化簡(jiǎn)”的策略，即逐句讀題，思考其中的隱含信息，結(jié)合問題目標(biāo)來逐層簡(jiǎn)化. 因此讀題時(shí)需要根據(jù)題設(shè)條件來解讀圖像，整合數(shù)形信息，實(shí)現(xiàn)題目中的語言互化. 而一般的解析幾何問題主要研究圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，因此可以采用如下步驟逐層剖析：

首先，聯(lián)合直線與圓錐曲線方程，通過消元來整合方程，分析判別式，根據(jù)韋達(dá)定理提取關(guān)系;

然后，利用曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)參數(shù)來表示問題所涉關(guān)系，并結(jié)合上述提取的關(guān)系式來對(duì)其綜合化簡(jiǎn);

最后，對(duì)轉(zhuǎn)化的問題進(jìn)行純代數(shù)分析，如向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，幾何線段最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題等，從而根據(jù)對(duì)應(yīng)內(nèi)容的性質(zhì)來求解答案，并將答案還原到原問題中.