函數(shù)不等式類問題解題方法小結(jié)

李慧珍

[摘? 要] 不等式類問題是高考以及各模擬考試的考查熱點，它能夠綜合反映學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解深度、運用熟練度，以及對問題條件的轉(zhuǎn)化和聯(lián)想能力，建立在函數(shù)知識和方法上的不等式證明計算問題日益受到命題專家的青睞. 合理進行放縮以及構(gòu)造函數(shù)是解決問題的重點，卻也是學(xué)生思維的難點. 文章總結(jié)了五種構(gòu)造函數(shù)的方法并通過具體的例題加以說明.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)不等式類問題;整體代換;主元思想;放縮

不等式類問題是高考以及各模擬考試的考查熱點，它能夠綜合反映學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解深度、運用熟練度，以及對問題條件的轉(zhuǎn)化和聯(lián)想能力. 近年來建立在純不等式知識上的證明題或計算題已經(jīng)逐漸減少，但這并不意味著不等式類問題熱度的降低，相反地，建立在函數(shù)知識和方法上的不等式證明計算問題（下稱函數(shù)不等式類問題）日益受到命題專家的青睞. 函數(shù)不等式類問題往往會以證明不等式的形式考查學(xué)生對于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式知識的掌握程度，以及對問題條件轉(zhuǎn)化和化歸的能力，學(xué)生需要熟練掌握解題技巧，靈活運用放縮、構(gòu)造等手段簡化問題，由此才能更好地解決函數(shù)不等式類問題，合理進行放縮以及構(gòu)造函數(shù)是解決問題的重點，卻也是學(xué)生思維的難點.本文中筆者總結(jié)了五種構(gòu)造函數(shù)的方法并通過具體的例題加以說明，借此與各位讀者探討函數(shù)不等式類問題的題型和高效解決方法.

作差法直接構(gòu)造函數(shù)

如果不等式兩邊是形式較為簡單或者性質(zhì)熟悉的基礎(chǔ)表達式，我們可以通過移項作差直接構(gòu)造函數(shù)，再通過研究新構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和極值證明原不等式.

教學(xué)例題1：試證明：lnx≤x-1.

問題解答：令f（x）=lnx-x+1，則f ′（x）=-1=. 易知當(dāng)x∈（0，1）時，f ′（x）>0，f（x）遞增;x>1時，f ′（x）<0，f（x）遞減.所以f（x）max=f（1）=0，即f（x）≤f（1）=0，lnx≤x-1，即證.

評注：本題是一道能體現(xiàn)作差法過程及思想的典型案例，作差法的優(yōu)勢在于函數(shù)構(gòu)造過程簡單，步驟清晰易懂，它適用于復(fù)雜度不高的不等式證明. 另外，本題的結(jié)論lnx≤x-1也是很多更復(fù)雜證明的基礎(chǔ)步驟之一，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生進一步挖掘其幾何意義，即函數(shù)y=lnx在點（1，0）處的切線y=x-1恒在原圖像之上（切點處重合）.

等價轉(zhuǎn)化，間接構(gòu)造函數(shù)

有些時候原題直接給出的不等式不容易證明，我們需要對其進行等價變形，再處理轉(zhuǎn)化后的不等式.

教學(xué)例題2：已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，試證明：1<

問題解答：當(dāng)x∈（1，+∞）時，lnx>0，所以證明1<1），則g′（x）=lnx>0（x>1），所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min>g（1）=0 ，即xlnx-x+1>0（x>1），即證.

評注：原題給出的待證不等式1<1的條件下我們可以將其轉(zhuǎn)化為不帶分式的lnx

靈活轉(zhuǎn)化，消元法構(gòu)造函數(shù)

上面兩種方法針對的例題具有一個特點，即不等式兩邊都是關(guān)于同一個變量的表達式，而某些問題中不等式兩邊的變量不統(tǒng)一，我們需要利用整體代換等方法先消元，再構(gòu)造函數(shù).

1. 整體代換，齊次式的消元構(gòu)造

評注：當(dāng)不等式兩邊的自變量不相同時，我們需要通過消元才能更好地構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)表達式形式為齊次式時，我們常利用構(gòu)造比值式，再整體代換的方法完成消元.

2. 非齊次式的消元構(gòu)造情況

非齊次式的處理相較于齊次式更加復(fù)雜一些，總體的思路可以分為兩大步，即先消元再構(gòu)造.

教學(xué)例題5：已知f（x）=a--lnx（a∈R）與橫軸有兩個不重合的交點，其橫坐標分別為x1，x2（x12.

問題解答：易知a=+lnx1=+lnx2，即=ln. 設(shè)=t（t>1），則x2=tx1，lnt=，則x1=，所以x1+x2=x1+tx1=（t+1），x1+x2-2=. 又t>1，則lnt>0，所以問題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)g（t）=-lnt>0（t>1），g′（t）=>0，所以可得g（t）>g（1）=0，即證.

確立主要變元

主元思想對于解決多變量不等式問題有時能夠起到化繁為簡的關(guān)鍵作用，所謂主元思想，即將一個變量視作研究對象而將其他變量先視作常數(shù)，以簡化問題的思想方法.

教學(xué)例題6：已知f（x）=lnx，試證明：f（b）-f（a）>（0

問題解答：即證明ln>（00），可得g′（x）=+=. 易知x>a時，g′（x）>0，即g（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，則代入x=b可得g（b）>g（a），即ln->0，即證.

評注：本題的不等式涉及了兩個變量a，b，我們將b確立為了主要變元，而將a暫時視作常數(shù)，接下來我們只需要構(gòu)造一個關(guān)于b的函數(shù)即可. 當(dāng)然由于本題中a，b在表達式中的地位相近，所以我們也可以將a作為主元. 如果在句子中變量之間的地位差別較大，我們一般選擇形式涉及結(jié)構(gòu)較為簡單的變量作為主元，例如若表達式為，顯然如果將b設(shè)為主元，求導(dǎo)研究函數(shù)的過程將會變得很復(fù)雜，于是變量a是更好的選擇.

放縮法轉(zhuǎn)化常見不等式構(gòu)造函數(shù)

常用不等式有時也能成為幫助我們解決問題的有力工具，在解題過程中我們可以通過放縮等轉(zhuǎn)化方式，將復(fù)雜的陌生的不等式轉(zhuǎn)化為簡單的常見的不等式結(jié)論，例如教學(xué)例題1、2中涉及的不等式就可以應(yīng)用于很多不等式證明計算中.

教學(xué)例題7：已知f（x）=ex-ax+a有兩不相等的零點x1，x2（x1

問題解答：要證明f ′（）<0，即證明e-a<0，又ex1-ax1+a=0，

ex2-ax2+a=0，相減可得a=，則問題轉(zhuǎn)化為證明不等式e<. 根據(jù)均值不等式可知e0），則g′（t）=2e2t-2tet-2et=2et（et-t-1），易知et>0. 再構(gòu)造h（t）=et-t-1，則h′（t）=et-1>0（t>0），所以h（t）>h（0）=0，所以g（t）>g（0）=0，即證.