基于問題鏈的高三數(shù)列不等式證明設(shè)計

方愛珍

【摘要】《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》提出把“立德樹人”的要求落實到課堂教學(xué)中，以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為教學(xué)目的。數(shù)學(xué)育人要靠數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量，即從課堂教學(xué)中落實核心素養(yǎng)。學(xué)生對數(shù)學(xué)存在恐懼心理，常常聽得懂，做不來?！笆谌艘贼~不如授人以漁”，數(shù)學(xué)教學(xué)以“問題鏈”形式引導(dǎo)學(xué)生主動探究，積極思考，合作交流在學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力。本文以問題鏈在高三數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)中的運(yùn)用展開研究。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)列不等式 問題鏈

【中圖分類號】G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）14-171-02

蘇霍姆林斯基也曾說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，即希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者，研究者，探索者”。從心理學(xué)角度分析，知識的獲得是一種主動的認(rèn)知活動，學(xué)習(xí)者不應(yīng)該是信息的被動接受者，而應(yīng)該是知識獲取過程的主動參與者。所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，讓學(xué)生的思維動起來，體驗數(shù)學(xué)問題從產(chǎn)生到解決的過程尤為重要。高三復(fù)習(xí)要避免“炒冷飯”式的重復(fù)，所以“問題鏈”教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生將知識轉(zhuǎn)化為探索問題的問題點，能力點形成問題鏈，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生參與課堂的機(jī)會。通過知識點的設(shè)疑、質(zhì)疑、激思、解疑，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)生核心素養(yǎng)。

一、問題鏈的概念及作用

“問題鏈”是指課堂上呈現(xiàn)給學(xué)有序的主干問題串.它既為學(xué)生提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的框架，讓學(xué)生能經(jīng)過這一問題鏈中獲得高水平的數(shù)學(xué)知識，同時問題鏈中的每一個問題及問題間的跨度又為學(xué)生的高水平思維提供了可能性。通俗地講，教師為了實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生已有的知識水平，針對學(xué)生可能出現(xiàn)的困惑設(shè)計一系列問題，以知識的形成、發(fā)現(xiàn)、探索和解決為主線培養(yǎng)學(xué)生思維，通過師生互動復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生積極參與到探索復(fù)習(xí)活動中，形成自主復(fù)習(xí)的能力。問題鏈以問題為基礎(chǔ)，以學(xué)生為中心，激發(fā)起學(xué)生探索欲望和思考的積極性，為學(xué)生提供了發(fā)現(xiàn)、思考、探索、實踐、運(yùn)用的機(jī)會，能使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作交流中提高學(xué)生對高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的積極性和主動性。其次，問題鏈教學(xué)還能啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、基于問題鏈的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)——以數(shù)列不等式證明為例

1.組織合作交流，啟發(fā)式問題鏈

在開始復(fù)習(xí)前，教師可以組織學(xué)生分組總結(jié)數(shù)列這一單元知識，從基礎(chǔ)知識.基本問題、基本方法、數(shù)學(xué)思維四個方面繪制思維導(dǎo)圖，數(shù)列復(fù)習(xí)已具備等差等比數(shù)列基本量計算、數(shù)列通項方法、求和方法，為問題鏈的設(shè)計提供準(zhǔn)確依據(jù)。在數(shù)列不等式證明中，引入人口較低的可以直接求和，但學(xué)生卻不能輕易解決的的數(shù)列求和證明不等式。

問題1數(shù)列常用求和方法有哪些？

設(shè)計意圖：對于學(xué)生來說，數(shù)列只具備常規(guī)的通項方法，求和方法，如等差等比數(shù)列，裂項法，錯位相減法，倒序相加法，分組求和法。引導(dǎo)學(xué)生觀察通項，學(xué)會排除法，從已有方法中尋找相類似的形式。

問題2觀察數(shù)列通項的分母形式有什么特點？能不能找到相鄰兩項間的關(guān)系？

設(shè)計意圖：觀察分母會發(fā)現(xiàn)，如果分子分母同時約去2得到

，而此時的分母前后有遞進(jìn)關(guān)系，一步一步向裂項法靠攏。

問題3像上式這樣的形式，類似于相鄰兩項有遞進(jìn)關(guān)系的式子，試試能不能求和？如果能，用什么求和形式？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，試用已有的裂項方法解決新問題，完成從知識到解決新問題的跨越。

問題1觀察所求式子通項是什么形式？

設(shè)計意圖：不管所求式子能否求和，引導(dǎo)學(xué)生觀察通項的特點，來決定是否能夠求和或放縮。

問題2形如

不能求和的通項，顯然不能求和，結(jié)論卻要用求和形式，可以把通項轉(zhuǎn)化成能求和的通項嗎？

問題3不能求和時，一般考慮放縮法，那么前面例1帶來的啟示是什么？

設(shè)計意圖：利用例1的引導(dǎo)作用，啟發(fā)學(xué)生用放縮思維去改變分母的大小，讓分母的兩個因式有遞進(jìn)關(guān)系，裂項達(dá)到求和的目的。激發(fā)學(xué)生探索欲望，學(xué)會自我分析已有知識方法，通過遷移解決新的問題，提出對于數(shù)學(xué)不能求和時，對通項進(jìn)行適當(dāng)變形。

2.借助數(shù)列變換，遞進(jìn)式問題鏈

數(shù)列復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容是通項與求和，學(xué)生對常規(guī)題型基本能掌握，但對陌生問題或不等式形式很容易找不到方向。其實知識間有一定的聯(lián)系，不等式也是從等式中變形而來。教師可以從基本知識人手，通過知識點變換的方式豐富問題鏈的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生主動探索數(shù)列知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)教學(xué)知識，以此來深化學(xué)生對數(shù)列的理解和掌握。

問題1如果把條件中的絕對值去掉，不等號改成等號，會做嗎？

設(shè)計意圖：數(shù)列的不等式問題，學(xué)生比較害怕。但事實上不等式也是等式的一種變形，把不等式變?yōu)榈仁教幚?，降低思維難度，在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題.把陌生情境轉(zhuǎn)化為熟悉問題。

問題2.觀察條件和結(jié)論，條件中的aⁿ怎么從絕對值中跳出來呢？

設(shè)計意圖：教學(xué)生聯(lián)系條件和結(jié)論，結(jié)論需要什么，我們要從條件中變形得到，從而想到要用絕對值三角不等式處理。 .由于學(xué)生已有問

題1的鋪墊，會用構(gòu)造法求通項，過渡到不等式的證明，也滲透了放縮的基本方向：不等式問題與等式之間的密切聯(lián)系。

3.激發(fā)深度思維，逆向問題鏈

由于前兩個問題都是著眼于數(shù)列的通項，從條件出發(fā)，把陌生通項與似曾相識的裂項法的通項轉(zhuǎn)化。問題有時候也常常從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問題的突破口。

第一小題直接構(gòu)造數(shù)列求得 看通項公式顯然不能求和，要用放縮法。而放縮的方向是難點，所以從通項上看，它接近一個等比數(shù)列，從結(jié)論上分析，也像是等比數(shù)列求和.所以設(shè)置如下問題：