高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透策略

費(fèi)興華

[摘 ?要] 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，要注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透，數(shù)學(xué)思想方法很多，最常見(jiàn)的如數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想等. 對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透，需要結(jié)合具體問(wèn)題，靈活選擇不同的數(shù)學(xué)思想，以便更快捷地解決問(wèn)題. 在平時(shí)教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)思想與方法的特點(diǎn)，抓住解題精髓. 在教學(xué)中，教師要抓住數(shù)學(xué)思想滲透契機(jī)，讓學(xué)生從反復(fù)多次的解題體驗(yàn)中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想，理解數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;滲透策略

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，除了掌握解題方法和技能外，還要注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生從學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力. 數(shù)學(xué)思想是無(wú)“形”的，但卻是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要內(nèi)容. 學(xué)生要獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，并了解概念以及結(jié)論等產(chǎn)生的背景和應(yīng)用，體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法. 一方面，教師在講解數(shù)學(xué)問(wèn)題，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中，要突出對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法的揭示;另一方面，從梳理解題思路，探究數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有意識(shí)地融入數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生深切理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)的精髓.

數(shù)學(xué)教學(xué)中主要的數(shù)學(xué)思想及滲透原則

在高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)被作為重要內(nèi)容. 近年來(lái)，對(duì)高考題型的分析與梳理發(fā)現(xiàn)，更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的理解性應(yīng)用，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題. 有效的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)對(duì)于學(xué)生思維的深刻性、靈活性、概括性、獨(dú)創(chuàng)性都具有不可替代的巨大影響和意義. 總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法很多，最常見(jiàn)的如數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想等. 華羅庚提出：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休.”數(shù)形結(jié)合思想，將“數(shù)”與“形”進(jìn)行融合，通過(guò)“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”等方式，實(shí)現(xiàn)解題思路的直觀化、簡(jiǎn)潔化. 如在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，針對(duì)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、最值等問(wèn)題，都可以通過(guò)畫(huà)圖方式得出結(jié)論，提高解題準(zhǔn)確率. 分類(lèi)討論思想，其適用范圍體現(xiàn)在算法的多樣性上. 結(jié)合具體情形來(lái)分類(lèi)討論. 如排列組合問(wèn)題中，有8位翻譯家，3人會(huì)英語(yǔ)，2人會(huì)日語(yǔ)，3人英語(yǔ)、日語(yǔ)都會(huì)，將之分為三組，安排在不同地區(qū)，共有幾種分法？這類(lèi)問(wèn)題的討論，實(shí)踐性強(qiáng)，學(xué)生需要結(jié)合實(shí)際來(lái)分類(lèi)解決. 轉(zhuǎn)化與化歸思想，在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用很廣，可以將未知化為已知，將抽象化為具體，將復(fù)雜化為簡(jiǎn)單. 如在數(shù)學(xué)解題中的換元法、參數(shù)法、類(lèi)比法、等價(jià)法、構(gòu)造法等，都能夠?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行巧妙變換，為解題創(chuàng)造條件. 函數(shù)與方程思想，將變量、未知數(shù)之間的關(guān)系，利用函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到解題思路. 如數(shù)學(xué)中的不等式問(wèn)題、解析幾何等問(wèn)題，都可以運(yùn)用函數(shù)與方程思想來(lái)確定解題思路.

分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，梳理解題思路，對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透，需要結(jié)合具體問(wèn)題，靈活選擇不同的數(shù)學(xué)思想，以便更快捷地解決問(wèn)題. 在平時(shí)教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)思想與方法的特點(diǎn)，抓住解題精髓. 通常，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，需要遵循幾點(diǎn)原則. 一是實(shí)際性原則. 對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透，要尊重學(xué)情，聯(lián)系學(xué)生實(shí)際，要契合學(xué)生個(gè)體差異性，貼近最近發(fā)展區(qū)，注重?cái)?shù)學(xué)思想的分層、漸進(jìn)滲透，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想. 二是發(fā)展性原則. 數(shù)學(xué)思想本身是多樣的、發(fā)展的，面對(duì)解題實(shí)際，教師要放低起點(diǎn)，先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想，再逐步提升數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用難度，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維力的發(fā)展. 如：已知cosα=，求sin（π-α）. 對(duì)于該題，很多學(xué)生易受慣性思維的影響，直接對(duì)sinα進(jìn)行求解，再得到sin（π-α）=. 事實(shí)上，該題卻暗藏玄機(jī). 由題設(shè)條件cosα=，我們可以求出α=+kπ，其中，k為任意的實(shí)數(shù);再根據(jù)所求目標(biāo)，得出π-α=+kπ，然后代入求得sin（π-α）=±. 可見(jiàn)，滿(mǎn)足該題的是兩個(gè)解，而非一個(gè)解. 三是參與性原則. 運(yùn)用數(shù)學(xué)思想求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，必須要讓學(xué)生去主動(dòng)解題，去逐漸增強(qiáng)解題意識(shí)，才能做到科學(xué)、合理、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透

數(shù)學(xué)思想具有抽象性，在教學(xué)中，教師要抓住數(shù)學(xué)思想滲透契機(jī)，針對(duì)以往教學(xué)中存在的問(wèn)題，采取有效的解決措施和方法，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思想有效結(jié)合在一起，讓學(xué)生從反復(fù)多次的解題體驗(yàn)中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想，理解數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想.

1. 在認(rèn)識(shí)新知中滲透數(shù)學(xué)思想

在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，根據(jù)教學(xué)需要，教師要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透. 數(shù)學(xué)思想的融入，有助于學(xué)生理解和掌握新知，更重要的是，感受數(shù)學(xué)思想的解題方法和魅力. 對(duì)于三角函數(shù)，在規(guī)律、性質(zhì)較多，我們可以從特殊函數(shù)入手，讓學(xué)生從特殊轉(zhuǎn)向一般，掌握三角函數(shù)的推導(dǎo)方法. 同樣，我們還可以引入數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)任意角的三角函數(shù)，設(shè)置真實(shí)情境. 在周一升旗儀式上，小明身高1.6 m，站在操場(chǎng)仰望旗桿頂端，頭部仰角α為75°，低頭俯視旗桿底部，俯角β為45°，試求旗桿的高度.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的求解，我們可以將之轉(zhuǎn)換為圖形，讓學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)理論知識(shí)的應(yīng)用能力. 數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)知識(shí)中，通過(guò)解讀數(shù)學(xué)知識(shí)，挖掘數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生從中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想意識(shí). 從數(shù)學(xué)史中來(lái)探討數(shù)系的擴(kuò)充，在數(shù)學(xué)實(shí)踐中，認(rèn)識(shí)了正數(shù)，對(duì)于相反意義的量如何表示？如2-5應(yīng)該等于多少？怎樣來(lái)表示這個(gè)數(shù)？有學(xué)生提出“負(fù)數(shù)”就可以解決. 但對(duì)于數(shù)系的構(gòu)成，由自然數(shù)集N擴(kuò)充至整數(shù)集Z，但在解決3÷5時(shí)，又遇到了難題. 有學(xué)生提出“分?jǐn)?shù)”就可以解決. 這時(shí)，從整數(shù)集Z再擴(kuò)充至有理數(shù)集Q. 但實(shí)際上，在數(shù)系發(fā)展歷史上，卻經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程. 最初，在求解x2=2時(shí)，畢達(dá)哥斯拉否定這一算法，認(rèn)為只有整數(shù)和分?jǐn)?shù)，而他的學(xué)生希帕索斯卻堅(jiān)信存在這樣的數(shù)，即. 最后，希帕索斯被扔進(jìn)了大海，但真理依然存在. 后來(lái)，有理數(shù)集Q擴(kuò)充為實(shí)數(shù)集R. 當(dāng)然，數(shù)系的發(fā)展并未停止，16世紀(jì)中葉意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹提出新數(shù)i，即i2=-1，這個(gè)新數(shù)i就是虛數(shù)單位. 從數(shù)學(xué)史來(lái)探究數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想體會(huì)得更加深刻.

2. 在數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用中滲透數(shù)學(xué)思想

對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的知識(shí)點(diǎn)，在應(yīng)用過(guò)程中，教師要突出數(shù)學(xué)思想的滲透，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題意識(shí)和實(shí)踐能力. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，關(guān)鍵在于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.在數(shù)學(xué)解題中，可以融入數(shù)學(xué)思想，來(lái)為解題創(chuàng)造條件. 如對(duì)函數(shù)與方程思想的運(yùn)用，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)問(wèn)題中，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)解法思路，運(yùn)用函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化方法，提高解題邏輯思維和運(yùn)算能力. 在學(xué)習(xí)冪函數(shù)后，對(duì)于f（x）=（m2-5m+6）x-4m，求m為何值時(shí)，該函數(shù)為冪函數(shù)？通過(guò)運(yùn)用函數(shù)與方程思想，先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，便于計(jì)算和求解，也讓學(xué)生從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的橫向銜接. 從方程求解目標(biāo)來(lái)看，可以看作是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 再如：已知x∈[-2，1]，滿(mǎn)足不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求a的取值范圍. 對(duì)不等式的求解，很多時(shí)候，可以將不等式轉(zhuǎn)換為函數(shù)問(wèn)題，再根據(jù)給定的區(qū)間探析函數(shù)的單調(diào)性，來(lái)求其最值問(wèn)題. 對(duì)于該題，引導(dǎo)學(xué)生將參數(shù)a進(jìn)行分離出來(lái)，對(duì)之進(jìn)行轉(zhuǎn)換，來(lái)優(yōu)化解題方向. 再如：對(duì)于y=，求其最值. 面對(duì)該題，常規(guī)思維是去分母，使其變換為三角函數(shù)形式. 根據(jù)三角函數(shù)的有界性，求解y的最值. 但該法相對(duì)較復(fù)雜，如果滲透數(shù)形結(jié)合思想，將題意轉(zhuǎn)換為點(diǎn)A（3，2）與點(diǎn)B（cosx，-sinx）所確定的直線斜率最值問(wèn)題，則求解思路更為直觀且簡(jiǎn)化.

結(jié)語(yǔ)

在對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行滲透中，教師要做到主動(dòng)歸納，積極總結(jié)，讓學(xué)生從認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)中，體會(huì)數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，特別是在單元總結(jié)中，結(jié)合典型試題、實(shí)例，展開(kāi)數(shù)學(xué)思想的滲透與解析. 如分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)一解題，需要探討局部與整體的關(guān)系，常見(jiàn)的有定義域內(nèi)的極值點(diǎn)，劃分若干區(qū)間，問(wèn)題中含有參數(shù)變量，需要分段形式進(jìn)行求解等. 教師要注重解題方法的總結(jié)，通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練，鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，積淀數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 總之，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想的支撐，高中階段，教師要拓展數(shù)學(xué)思想的滲透途徑，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)思想中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦.