基于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程性教學(xué)設(shè)計(jì)

張婷婷

摘要：本文以《同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角》一課為例，來(lái)闡述在深化課改的背景下滲透數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性。以熟練的技能操作經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，引發(fā)數(shù)學(xué)思考，保證數(shù)學(xué)邏輯連貫，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)自然形成、發(fā)展與應(yīng)用的過(guò)程。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法;技能操作;數(shù)學(xué)思考

1確定教學(xué)目標(biāo)

1.1知識(shí)與技能

1.1.1了解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角產(chǎn)生的意義;

1.1.2能在簡(jiǎn)單圖形中對(duì)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角進(jìn)行辨別與計(jì)算;

1.2過(guò)程與方法

1.2.1通過(guò)了解概念產(chǎn)生的背景，領(lǐng)悟“搭橋”的思想;

1.2.2通過(guò)概念形成與應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)幾何直觀(guān)，提高圖形遷移能力，體驗(yàn)化歸轉(zhuǎn)化的思想。

1.3情感、態(tài)度價(jià)值觀(guān)

經(jīng)歷概念探索過(guò)程，用聯(lián)系與區(qū)別的角度完善數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

2分析學(xué)生學(xué)情

在此之前學(xué)生已經(jīng)初步掌握平行線(xiàn)的相關(guān)概念、公理、技能，具備知識(shí)基礎(chǔ);本節(jié)課重點(diǎn)在于研究角與角之間的位置關(guān)系，對(duì)此學(xué)生只接觸過(guò)平面內(nèi)兩直線(xiàn)相交形成的對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角這兩種位置關(guān)系，對(duì)于三條直線(xiàn)相交形成的角的位置關(guān)系仍十分陌生;在復(fù)雜的圖形中識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，對(duì)學(xué)生的幾何直觀(guān)要求較高，因此學(xué)生對(duì)新概念理解會(huì)稍顯困難。

3展示教學(xué)過(guò)程

3.1回顧舊知，制造認(rèn)知沖突

師：在同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)有兩種位置關(guān)系，包括平行與相交。請(qǐng)判斷下列圖中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系？

生：圖1中兩直線(xiàn)相交，圖2中兩直線(xiàn)平行

師：圖2中兩直線(xiàn)確定平行嗎？請(qǐng)回顧平行線(xiàn)概念。

生：平行，因?yàn)閳D2中兩直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)。

師：直線(xiàn)是可以向兩端無(wú)限延伸的，圖中只抽象地畫(huà)出了直線(xiàn)的一部分，我們?nèi)庋塾^(guān)察到這一部分沒(méi)有交點(diǎn)，就能代表兩條直線(xiàn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處也沒(méi)有交點(diǎn)嗎？

生：不能。

小結(jié)：那是否存在其它的判定方法呢？

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)平行線(xiàn)的感性認(rèn)知升華至理性理解，凸顯平行線(xiàn)定量判定方法的重要性。

3.2動(dòng)手操作，領(lǐng)悟探索價(jià)值

3.2.1領(lǐng)悟“搭橋”的思想方法

師：你能利用三角尺和直尺畫(huà)已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)嗎？

生：

師：利用一塊三角尺，你能畫(huà)已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)嗎？

生1：（垂線(xiàn)法）如圖4，先利用三角尺的直角做出已知直線(xiàn)l1的垂線(xiàn)l2，再利用三角尺的直角做出直線(xiàn)l1的垂線(xiàn)l3，則直線(xiàn)l3就是所要求做的平行線(xiàn)。

生2：如圖5，先利用三角尺的直角做出已知直線(xiàn)l1的垂線(xiàn)l2，垂足為點(diǎn)A，并在直線(xiàn)l2上截取線(xiàn)段AC，同理做出直線(xiàn)l1的垂線(xiàn)l3，并在直線(xiàn)l3上截取線(xiàn)段BD，使得BD=AC，再連結(jié)CD，則直線(xiàn)CD就是所要求做的平行線(xiàn)。

師：兩種做法均可行，且都借助了第三條直線(xiàn)（甚至第四條），這種做法非常可取。當(dāng)我們利用已知條件不能直接解決問(wèn)題時(shí)，可人為引入第三個(gè)元素來(lái)研究問(wèn)題。實(shí)際上我們利用三角尺和直尺畫(huà)平行線(xiàn)時(shí)也借助了第三條直線(xiàn)（見(jiàn)圖3）。

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生已有的技能基礎(chǔ)入手，通過(guò)畫(huà)平行線(xiàn)來(lái)領(lǐng)悟“搭橋”思想，即通過(guò)引入第三個(gè)元素來(lái)研究問(wèn)題。

3.2.2體會(huì)用“看得見(jiàn)的角的相等”去判定“看不見(jiàn)的直線(xiàn)的平行”

師：帶著剛才的啟發(fā)，繼續(xù)思考兩直線(xiàn)平行的判定方法。欲判斷兩條直線(xiàn)是否平行，需要借助第三條直線(xiàn)，接下來(lái)我們來(lái)做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)。如圖6，想做出已知直線(xiàn)l1的平行線(xiàn)l3，我們先借助直線(xiàn)l2，直線(xiàn)l3從如圖位置繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角記為∠1，請(qǐng)問(wèn)旋轉(zhuǎn)的角度符合什么條件時(shí)l1//l3？

生：當(dāng)∠1=∠5時(shí)，l1//l3。

師：由此可見(jiàn)，兩個(gè)角度數(shù)是否相等與兩直線(xiàn)是否平行有著十分密切的聯(lián)系。這節(jié)課我們不急于研究這對(duì)角的數(shù)量關(guān)系，不妨先來(lái)共同研究這對(duì)角的位置關(guān)系。

3.3觀(guān)察分析，形成核心概念

師：判斷兩條直線(xiàn)是否平行，我們可借助第三條直線(xiàn).如圖8，我們把直線(xiàn)l3稱(chēng)作截線(xiàn)，那么直線(xiàn)l1與l2被稱(chēng)作被截線(xiàn);直線(xiàn)l1與l2被直線(xiàn)所截，能形成8個(gè)角。我們將下圖8簡(jiǎn)稱(chēng)為“三線(xiàn)八角”的基本圖。

師：如圖8，請(qǐng)仔細(xì)觀(guān)察∠1與∠5的位置，有何位置特征？

（提示：從截線(xiàn)與被截線(xiàn)的方位來(lái)思考）

生：都在兩條截線(xiàn)的上方，都在被截線(xiàn)右側(cè)。

師：相對(duì)于截線(xiàn)與被截線(xiàn)，這兩個(gè)角的位置相同。圖中還有這樣的角嗎？

生：∠4與∠8，∠2與∠6，∠3與∠7。

師：這四對(duì)角有什么公共的位置特點(diǎn)嗎？

生：都在被截線(xiàn)同旁，都在兩條截線(xiàn)的同側(cè)。

師：滿(mǎn)足上述位置特征的角，我們稱(chēng)之為同位角。其中，“同位”指的是相對(duì)于截線(xiàn)與被截線(xiàn)，兩個(gè)角的位置相同。請(qǐng)問(wèn)，圖中共有幾對(duì)同位角？

生：四對(duì)。

師：若將這四對(duì)同位角分別從圖8中分離出來(lái)觀(guān)察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：形狀上像大寫(xiě)英文字母“F”。

小結(jié)：綜合學(xué)生所答，可得到表1。

【設(shè)計(jì)意圖】在只接觸過(guò)對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角的簡(jiǎn)單位置關(guān)系的前提下，學(xué)生思考問(wèn)題的角度比較局限，通過(guò)強(qiáng)調(diào)從截線(xiàn)和被截線(xiàn)的方位來(lái)尋找同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的位置特征，開(kāi)闊學(xué)生的思維。

（四）例題分析，深入理解概念

【例】如圖11，直線(xiàn)DE交∠ABC的邊BA于點(diǎn)F.如果內(nèi)錯(cuò)角∠1與∠2相等，那么同位角∠1與∠4有什么關(guān)系，同旁?xún)?nèi)角∠1與∠3有什么關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】課堂教學(xué)不是簡(jiǎn)單的灌溉，而是基于理解的有意義學(xué)習(xí)。三線(xiàn)八角可以形成28對(duì)角，而上述角只是其中的10對(duì)角，但角之間可相互轉(zhuǎn)換。

4反思式自我診斷

一直以來(lái)，數(shù)學(xué)總給人枯燥乏味的感覺(jué)。因?yàn)閿?shù)學(xué)中存在很多形式演繹內(nèi)容，這些內(nèi)容使得數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)潔又形式、嚴(yán)謹(jǐn)而準(zhǔn)確。因此數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容就是要將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，[1]面對(duì)形式化演繹的內(nèi)容，教師需要賦予它實(shí)際的內(nèi)容，使得數(shù)學(xué)知識(shí)變得“有血有肉”，既有思想上的思考啟發(fā)，又有形式上的簡(jiǎn)潔操作。本節(jié)課的主要內(nèi)容就是識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角這些基本技能，但是學(xué)習(xí)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的意義卻很少有人愿意花時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生去思考。基于此，筆者在設(shè)計(jì)這節(jié)課的時(shí)候就安排了前兩個(gè)環(huán)節(jié)，費(fèi)時(shí)10分鐘，將兩個(gè)重要的思想方法滲透到其中。一方面引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“搭橋”思想;另一個(gè)方面，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)“看得見(jiàn)的角的相等”去判定“看不見(jiàn)的直線(xiàn)的平行”。

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙、過(guò)伯祥、方均斌等.數(shù)學(xué)方法論稿（修訂版）[M].2012.12