淺談高考解三角形常見問題

譚世敏

【摘? 要】“解三角形”是高中數學教育中的重要內容，也是高考中的常見題型之一，在其中包含三角函數、平面向量等多個方面的內容，在解決這類問題時，往往需要依靠三角形中的邊、角、面積等方面。本文就著眼于高考中解三角形的常見問題，提出如何幫助學生提高解三角形的能力，讓學生在高考中高質地解決這方面的問題，從而取得理想的成績。

【關鍵詞】高中數學;解三角形;常見問題

解三角形的本質就是幫助學生理清三角形當中的所有邊、角關系，讓學生求解三角形中所有的邊、角問題，從而提升學生的數學問題解決能力。

一、解三角形在高考中的地位

通過對近些年高考試卷的分析，我們能夠看到，解三角形的相關知識分布在選擇、填空和問答題中的方方面面，并從多個角度考查學生對解三角形知識的綜合應用能力和問題分析能力。學生能夠從整體上把握解三角形的全部知識，并且有效地應用在實際問題的解答中。在實踐教學中，教師就應當幫助學生明晰高考中解三角形的常見問題，讓學生在建立解題模型中，更好地在高考中應用這部分的知識，從而取得良好的成績。

二、高考解三角形中常見的問題

（一）正余弦定理的應用問題

將三角函數、正余弦定理之間解三角形的關系進行結合，讓學生解三角形，是高考中一種普遍的題型，這類題目的表述相對簡單，但是其中所考查的基本知識點卻是復雜多樣的，同時還涉及一些三角函數中的內容，如兩角的和與差、二倍角的正、余弦等公式，將這些內容靈活地使用在解三角函數問題中，也是學生進行這部分內容學習的難點。所以，有效地提升學生對這類問題的解答能力，對強化學生的綜合思維、提高綜合知識應用能力也具有重要的價值。例如，有這樣一道題，已知△ABC中，∠ABC=90°，其中AB=2，BC=1，又有點P在△ABC內，且∠BPC=90°，給定條件中分為兩部分，一是已知PB的長度是3，求PA的長度，二是給定三角形中∠APB=150°，詢問tan∠PBA是多少。對于這道題目來說，可以在△PAB中應用余弦定理，就可以求得第一問的答案，而通過三角形正弦定理的應用就可以求出tan∠PBA。對于這類題目的解決，就需要學生對三角形中的正弦、余弦定理進行學習和應用，并對一些簡單的誘導公式進行使用，才能夠逐步找到問題的突破口，促進問題的有效解決。

（二）不等式與解三角形結合的問題

在解三角形的問題中遇到三角形求角、求邊及求面積范圍的內容時，就會需要使用到三角形不等式問題的相關知識，讓學生從分析三角形角、邊的取值范圍，充分認識到三角形函數值符號，以及三個邊的關系等，實現問題的解決。此時三角形存在的價值就是盡可能地縮小角和邊的取值范圍，避免增根產生和所求變量取值范圍擴大的情況。例如以下習題：三角形中的三個角A、B、C分別對應a、b、c三個邊，其中a=2，且有（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，求三角形ABC面積的最大值。在題目當中已經給出（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC的條件，其中邊、正弦已經明確，因此，學生可以聯系正弦定理進行變量的統一，讓學生對化解之后的等式進行觀察，從而獲得化解之后的等式，得出cosA的值，之后，學生可以再以此為出發點，最終獲得三角形ABC面積的最大值。在這道題目當中就考查了學生對三角形正弦定理、余弦定理的理解，以及對這部分內容的合理應用，促進不等式問題的有效解決。

（三）三角形三邊的最值問題

這類題目主要考查的是三角形正余弦定理的使用，以及其與三角形有關的綜合性問題，也是在高考當中經常考查到的內容，一般來說針對的是三角形中邊的代數式的最值問題，假設三角形當中最大邊長或者最小邊長等。在進行這類問題的解答時，教師可以先讓學生根據三角形中三個角的大小來判斷三個邊的關系，之后，再讓學生利用三角形的正余弦定理進行解答。此外，也可以根據情況的不同，使用基本不等式或者三角形的正余弦定理的轉化進行最值的求解。同時，對于三角形中三角函數的最值求解來說，如果是其中一個角余弦的最值問題，那么在解答的過程中也常常使用余弦定理來進行化邊，然后再使用基本不等式進行求解。但是在解答的過程中也會遇到多個角的三角函數值求解問題，對于這類問題可以先將其轉化成一個角的求解，然后再使用三角函數公式得出最后的值。

三、解三角形教學中的改進方向

解三角形部分內容的重要性，使教師更加注重教育方法的有效設計，提高學生對這部分基礎知識的認知效果，并且能夠將這部分的知識應用在實際問題的解決中，所以，傳統灌輸的方式并不適用于當前解三角形部分的教學。為此，數學教師應當從高考的實際問題解決路徑出發，結合學生學習知識的特點，進行解三角形知識的高效施教，以便讓學生在夯實基礎中提高應用的能力，逐步提高對此類問題的解決效果。

參考文獻：

[1]李定平.高考視野下“解三角形”的教材理解及教學處理[J].中學數學教學參考，2018（24）.

[2]王慶龍.知識交匯巧設置，問題解決顯身手——以解三角形為例[J].中學數學，2018（11）.