利用一題多解培養(yǎng)學生發(fā)散性思維的教學生成探究—-以“證明”復(fù)習題講解的生成為例

江蘇省常州外國語學校(213000) 徐麗媛

對于初中階段的蘇科版數(shù)學教材,學生主要學習和研究的幾何知識是平面幾何,在七上《平面圖形的認識(一)、(二)》的基礎(chǔ)上,學生已初步完成由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,因此教師在之后的幾何教學過程中,應(yīng)讓學生感知數(shù)學模型的重要性,學會在復(fù)雜的圖形中提煉出基本模型,并能夠結(jié)合自身已有知識體系去分析幾何問題；在缺條件的情況下會嘗試通過添加輔助線的方式構(gòu)建出有效條件.老師課上應(yīng)調(diào)動每個學生的積極性,讓他們不滿足于一種方法,并通過多種方法的研究和交流優(yōu)化解題策略,從而逐步培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維,提高他們的創(chuàng)新創(chuàng)優(yōu)意識和能力.

1 教學設(shè)計中的例題預(yù)設(shè)

例1 (蘇科版教材P166 第9 題) 如圖1, 在五角星ABCDE中, ∠A,∠B,∠C,∠D,∠E的和等于多少度? 請加以證明.

教學預(yù)設(shè)：

方法1：如圖2, 根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠1 =∠C+∠E,∠2 = ∠B+∠D,將求五個角的和轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角和.

方法2：如圖3,連接CD,利用“八字形”得到∠B+∠E=∠1+∠2,依然將求五個角的和轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角和.

方法3：如圖4,找到“燕尾模型”,得到∠1=∠A+∠C+∠D,再根據(jù)∠1 與∠2 互為對頂角得到∠1 = ∠2,從而知道這五個角的和為180°.

2 一個證明過程引發(fā)的生成

在利用法3 解決這個問題時,要先證明“燕尾模型”中四個角的關(guān)系,學生總共給出了七種方法.

方法1：如圖5,連接CD,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°得到∠P=180°-∠1-∠2,∠A+∠3+∠4=180°-∠1-∠2,等量代換得到∠P=∠A+∠3+∠4.

方法2：如圖6,連接AP,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°得到∠1=180°-∠C-∠CAP,∠2=180°-∠D-∠DAP,所以∠CPD=360°-∠1-∠2=∠C+∠CAP+∠D+∠DAP=∠C+∠CAD+∠D.

方法3：如圖7, 連接AP并延長, 因為∠1、∠2 分別是ΔACP、ΔADP的外角, 所以∠1 = ∠3 + ∠C, ∠2 =∠4+∠D,所以∠CPD=∠1+∠2=∠3+∠C+∠4+∠D=∠CAD+∠C+∠D.

方……