小議一道數學題中蘊含的多種數學思想方法

張彥榮

摘 要文章通過對一道簡單數學題的五種解法中所蘊含的數學思想方法進行詳細闡述后指出，在中小學數學教學中，教師必須重視和加強對學生數學思想方法的滲透與培養，使得學生更加深刻地領會數學所包含的思想方法以及由此形成的數學知識體系，切實加強學生的創新和實踐能力。

關鍵詞數學思想方法;滲透;重要性

中圖分類號：O552.2 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）10-0163-01

數學思想方法，就是運用數學知識分析問題和解決問題的觀點和方法，這是數學的靈魂。數學思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數學的精髓，它對數學教學具有絕對性的指導意義。在數學教學中，要結合實例挖掘、揭露其思想方法，加深學生對思想方法的理解和認識，使其領悟思想方法實質，不斷提高解題能力和糾錯能力。

例：已知有103個蘋果，分別用大小不同的兩種箱子裝，大箱裝12個，小箱裝5個，要剛好裝完，問各需大箱和小箱多少個？

解法一﹑（統計思想）不妨拿103個蘋果模型和足夠多的大小箱子，對103蘋果模型進行裝箱，在通過此法把103個蘋果模型進行大小箱裝配時，統計每次裝配的過程和相關數據，看是否存在一種配置結果使得103個蘋果模型恰好裝完時所裝大小箱也恰好裝滿，即所謂的最優配置，從而得到結果。

解法二、（化歸思想）對于5，12這兩個數，不妨先算出5，12兩數之積（也就是5和12的最小公倍數）與之和。

5 12=60，5+12=17。

再觀察60，17，103這三個數，可以發現60+60-17=103，即（5×12）+（12×5）-（5+12）=103。

因此，我們可以這樣解釋這道題：⑴先另外從別處借來17個蘋果，這時總共有蘋果120個;⑵再對120個蘋果進行裝箱，很容易知道需大箱5個，小箱12個時，120個蘋果恰好裝完;⑶最后把借來的17個蘋果再還回去。借來的17個蘋果恰好能裝一大箱和一小箱，所以，歸還的時候只需拿走大小箱各一個，即5-1=4（箱），12-1=11（箱）。

此種解法真可謂“有‘借有‘還，再‘解不難”。

解法三、（轉化思想）不妨設需大箱 個，小箱 個時，103個蘋果恰好裝完，則可得 。其中對于數 ?來說，其個位數為5和0，對于數 ?來說，其個位數為0、2、4、6、8，數103個位數是3，而8+5=13，數13個位數也恰好是3。所以對于 只能取奇數（如1，3，5，7，9，……），對于 只能取個位為4的正整數（如4，14，24，……），然而又要求 ， （ ），所以 只能取4，進而得 。

解法四、（方程思想）定義[1]形如 的方程叫做二元一次不定方程。

一般地，方程的個數少于未知元個數的方程叫做不定方程。

求二元一次不定方程整數解的方法較多，這里只介紹一種常用的方法（逐步取整法，就是通過逐步縮小未知系數的絕對值來求出方程的整數解），以本題所列方程為例（ ）。求方程 的正整數解。

解法五、（函數思想）對于解法四中的方程 ，可將其轉化為 ，很明顯這是一個一次函數，那么就能畫出這個函數的圖像。根據題意及函數的相關知識可知如果能在函數圖像上找到滿足一定條件的點（ ， ），問題就解決了。而對于點（ ， ）必須滿足縱橫坐標都是正整數（即 ），所以就要描出平面直角坐標系中第一象限中的格點（所謂格點就是平面直角坐標系中橫坐標和縱坐標都為整數的點，又稱整點。）再觀察哪些格點在函數圖像上。根據以上描述，畫出圖形，這樣便能很直觀地從圖形中得到答案。

從以上的五種解法中可以看出，一道簡單的數學題中蘊含了統計思想，化歸思想，轉化思想，方程思想，函數思想。這是一道培養學生數學思想方法的好題，在講解時一方面要通過解題和反思活動，從具體數學問題和例題中總結歸納解題方法，并提煉和抽象成數學思想;另一方面在解題過程中，要充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，舉一反三，觸類旁通，以數學思想觀點為指導，靈活運用數學知識和方法分析問題、解決問題。

總而言之，數學思想方法是人類智慧的結晶，學習數學的思想方法能夠使我們更加深刻地領悟到數學的美，從而更加自由地在數學王國中揚帆前行。然而在實際教學過程中，學生雖然做題不計其數，教師對學生的訓練也非常到位，可是在總結數學思想方法這一塊還是有所欠缺，課堂上經常使用的是精講多練的方法，殊不知忽略了數學思想方法的滲透，從而導致學生有的時候只知其然而不知其所以然。因此，在中小學數學教學過程中，教師除了基礎知識和基本技能的教學外，還應重視數學思想方法的滲透，注重對學生進行數學思想方法的培養，這對學生今后的數學學習和數學知識的應用將產生深遠的影響。

參考文獻：

[1]張雄，李得虎.數學方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]孫安成，陳偉康.一道數學題解法中蘊涵的數學思想方法[J].浙江教學研究，2008（5）：26-27.

[3]黃少武.淺談初中數學思想和方法的教學[C]//2007.