平面幾何入門的語(yǔ)言教學(xué)探究

熊娜

摘? 要：幾何語(yǔ)言作為幾何證明的表達(dá)方式，是平面幾何入門時(shí)必跨的一道門檻。不少學(xué)生剛接觸時(shí)，覺得很困難，第一個(gè)關(guān)卡就是幾何語(yǔ)言，比如：概念不理解、圖形不熟悉、不會(huì)表達(dá)等。本文在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行了探索，對(duì)原因和語(yǔ)言教學(xué)進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：平面幾何? 幾何語(yǔ)言? 幾何教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1672-1578（2020）01-0092-02

平面幾何是在平面上研究幾何圖形的形狀、位置、數(shù)量關(guān)系等性質(zhì)[1]。在平面幾何的入門教學(xué)中，基本概念、名詞、符號(hào)語(yǔ)言等都將一一出現(xiàn)。學(xué)生在小學(xué)階段習(xí)慣于數(shù)式計(jì)算，而進(jìn)入初中后要開始研究圖形，這就使得部分學(xué)生在初學(xué)幾何時(shí)感到不適應(yīng)。所以，抓好平面幾何的入門教學(xué)可以幫助學(xué)生順利進(jìn)入圖形的學(xué)習(xí)。在平面幾何入門教學(xué)中，學(xué)生要想理解概念、找出基本圖形、準(zhǔn)確而靈活地進(jìn)行邏輯推理和演繹推理，就必須先學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地理解、表述幾何語(yǔ)言。

1? ?問(wèn)題提出

1.1 統(tǒng)計(jì)調(diào)查

近幾年，在七、八兩個(gè)年級(jí)中對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果從主觀和數(shù)據(jù)上都反映幾何語(yǔ)言已經(jīng)成為幾何教學(xué)中的一項(xiàng)急需解決的問(wèn)題。部分調(diào)查如下：

（1）“在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，你覺得哪個(gè)方面最困難？”

A、基本概念? ?B、識(shí)別圖形? ?C、幾何語(yǔ)言的理解與表述

D、順利說(shuō)理? ?E、沒有困難

據(jù)2017、2018年統(tǒng)計(jì)，選C的學(xué)生占29.8%，僅次于選D的38.1%;而選擇A、B、E的分別占5.2%、11.8%和15.1%。

（2）作圖：在直線AB上取一點(diǎn)C。

據(jù)2018年統(tǒng)計(jì)，50%的七年級(jí)學(xué)生畫成圖1。

（3）不能改正“直線外一點(diǎn)到直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離”這句話錯(cuò)誤的學(xué)生占48%。

1.2 分析原因

1.2.1 教學(xué)內(nèi)容的變化

教學(xué)內(nèi)容從代數(shù)到圖形的變化，引起數(shù)學(xué)語(yǔ)言從代數(shù)語(yǔ)言到幾何語(yǔ)言的變化。例如，有理數(shù)減法法則“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，可以表述為a-b=a+（-b）。代數(shù)中類似的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言都比較簡(jiǎn)單，學(xué)生容易理解。但是，幾何中的文字語(yǔ)言，對(duì)于不同的圖形、不同的字母并沒有統(tǒng)一規(guī)定。因而，學(xué)生可能會(huì)把圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言這三者分裂開來(lái)，只是單純地記憶概念、定理，做題時(shí)卻不會(huì)靈活地進(jìn)行推理論證。

1.2.2 幾何語(yǔ)言與日常用語(yǔ)的沖突

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求嚴(yán)謹(jǐn)，七年級(jí)學(xué)生思維能力、分析能力不強(qiáng)，很多學(xué)生會(huì)混淆概念、定理中的文字語(yǔ)言與日常生活用語(yǔ)。例如，上面調(diào)查中，在直線AB上取一點(diǎn)C，很多初學(xué)者都畫成點(diǎn)C在直線AB上方。究其原因，是我們?cè)谌粘Ｉ钪校瑢?duì)“上”的理解多為方位上的上方。這是由于幾何概念的本質(zhì)，引起幾何語(yǔ)言與日常用語(yǔ)的不同。

1.2.3 圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化

學(xué)生不能根據(jù)題目要求將圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言。例如圖2，AD平分∠BAC，可以轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言：∠BAD=∠CAD，∠BAD=1/2∠BAC，∠CAD=1/2∠BAC，∠BAC=2∠BAD，∠BAC=2∠CAD，具體使用哪個(gè)結(jié)論要看題目要求。而很多學(xué)生只會(huì)得出∠BAD=∠CAD這個(gè)結(jié)論。

1.3 反思提問(wèn)

在幾何入門中，類似的問(wèn)題層出不窮，筆者認(rèn)為要解決此類問(wèn)題，不妨讓學(xué)生先學(xué)會(huì)運(yùn)用幾何語(yǔ)言。那么，又有哪些常用的幾何語(yǔ)言？如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何語(yǔ)言，加強(qiáng)符號(hào)語(yǔ)言能力，幫助學(xué)生度過(guò)語(yǔ)言這一關(guān)呢？這些正是本文要探索解決的。

2? ?入門階段使用的幾何語(yǔ)言

平面幾何在入門階段的教學(xué)中，提出并使用了大量的符號(hào)語(yǔ)言，它們更簡(jiǎn)練、更嚴(yán)謹(jǐn)，主要有以下幾種：

2.1 常用的幾何術(shù)語(yǔ)

如“任意（取）” “任何一個(gè)” “分別” “有且只有”等，學(xué)生常常會(huì)理解錯(cuò)誤。例如，“在直線AB外取一點(diǎn)C”，這里“取”并不完全是“隨意取”，因?yàn)橹本€可以向兩邊無(wú)限延長(zhǎng)，所以要保證直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C;而“在射線OA上取一點(diǎn)P”，這里的“取”就是“任意取”的意思。

2.2 表示圖形位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的名詞

如“相交” “相鄰” “垂直” “等角” “補(bǔ)角” “平分”等，學(xué)生常常不能分辨出這些名詞是指幾個(gè)圖形之間的關(guān)系。例如，“等角的補(bǔ)角相等”，部分學(xué)生不明白這句話指的是幾個(gè)角之間的關(guān)系;它們還分不清“互余”、“互補(bǔ)”都是指兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，而不是位置關(guān)系[2]。

2.3 表示畫圖、尺規(guī)作圖的語(yǔ)句

如“連接” “延長(zhǎng)” “反向延長(zhǎng)線段AB至點(diǎn)C，使得AC=AB”、“過(guò)點(diǎn)P作直線AB的垂線CD，垂足為點(diǎn)O”等，部分學(xué)生不能根據(jù)題意準(zhǔn)確地畫出圖形;反過(guò)來(lái)，尺規(guī)作圖后又不能使用規(guī)范的文字語(yǔ)言來(lái)描述圖形語(yǔ)言。

3? ?加強(qiáng)學(xué)生幾何語(yǔ)言能力的教學(xué)探索

平面幾何教學(xué)中涉及三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言：文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言。正確掌握這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化，是初步學(xué)好幾何的重要條件[3]。針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何語(yǔ)言產(chǎn)生的種種困難及原因，筆者進(jìn)行了一些教學(xué)探索。

3.1 教師的課堂語(yǔ)言

幾何學(xué)習(xí)入門階段，教師在課堂上對(duì)圖形的描述、分析、畫法，以及講解例題和板書時(shí)，都會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生潛移默化的影響。例如，教學(xué)“兩點(diǎn)之間確定一條直線”，要引導(dǎo)學(xué)生理解“確定”是“有且只有”的意思，“有”表示存在，“只有”表示唯一存在。不能用日常語(yǔ)言去理解類似的符號(hào)語(yǔ)言，兩者之間是有區(qū)別的。

在學(xué)習(xí)同位角的概念時(shí)，如圖3，蘇教版七年級(jí)下冊(cè)教材上是這樣給的“在兩條直線a、b被第三條直線c所截而成的8個(gè)角中，像∠1與∠2這樣的一對(duì)角稱為同位角”。會(huì)有學(xué)生這樣理解，認(rèn)為同位角即“位置相同”的角，誤以為圖4中的∠1與∠2是同位角。教學(xué)中應(yīng)該明確闡述“位置相同”的含義，是指“這兩個(gè)角分別在兩條直線相同的一側(cè)，并且都在第三條直線的同旁”。因此，教師在課堂上必須要做到語(yǔ)言精準(zhǔn)、板書準(zhǔn)確、畫圖規(guī)范，給學(xué)生正確的示范。

3.2 重視基礎(chǔ)語(yǔ)言訓(xùn)練

從基本概念、基本事實(shí)、定理入手，抓好幾何語(yǔ)言的教學(xué)。嚴(yán)格要求學(xué)生在課堂上仔細(xì)閱讀教材，讀懂教材上的文字語(yǔ)言所表達(dá)的內(nèi)容，對(duì)概念、基本事實(shí)、定理進(jìn)行復(fù)述和記憶，從而使學(xué)生進(jìn)一步理解常用的幾何語(yǔ)言[2]。這樣也有利于培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，避免因看不懂題而無(wú)從下筆。

必要時(shí)應(yīng)幫助學(xué)生分析幾何語(yǔ)句，使學(xué)生能理清句子的主要成分，從而理解句子所要表達(dá)的意思。例如，在定理“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”的教學(xué)中，幫助學(xué)生把點(diǎn)到直線的距離理解為“垂線段的長(zhǎng)度”。這樣，不僅有利于學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的掌握，也避免前面調(diào)查第3題的錯(cuò)誤。

3.3 加強(qiáng)文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的互相轉(zhuǎn)化訓(xùn)練

3.3.1 將文字語(yǔ)言翻譯為符號(hào)語(yǔ)言

根據(jù)概念、定理的文字語(yǔ)言，準(zhǔn)確地畫出圖形，再轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)明的符號(hào)語(yǔ)言。例如，在教定理“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”時(shí)，應(yīng)該先讓學(xué)生理解文字語(yǔ)言所表達(dá)的含義，再讓他們畫出正確的圖形（如圖5），最后根據(jù)圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確地表達(dá)出符號(hào)語(yǔ)言。在此基礎(chǔ)上，可以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)于命題的證明。

例如，證明“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”：

已知：如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，求證：∠A+∠C=90°。

這樣，在證明文字命題時(shí)，用同樣的方法根據(jù)文字語(yǔ)言畫出圖形語(yǔ)言，分清“已知”與“求證”，從而克服在推理教學(xué)中語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的障礙，對(duì)于后面的說(shuō)理論證很有幫助。

3.3.2 將符號(hào)語(yǔ)言翻譯為文字語(yǔ)言

可以采用讓學(xué)生“看圖說(shuō)話”的形式，即先把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，再轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言。如圖7，學(xué)生根據(jù)圖中的OM=ON，l⊥MN于點(diǎn)O，說(shuō)出“直線l垂直平分MN”等。教學(xué)中還可以讓學(xué)生概括出一些簡(jiǎn)單的定理，比如“平行線的性質(zhì)” “三角形的內(nèi)角和定理”等。

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)而要求學(xué)生根據(jù)圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，用簡(jiǎn)練準(zhǔn)確的文字語(yǔ)言表達(dá)出相應(yīng)的幾何結(jié)論（如命題等）。

例如，如圖8，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，MG平分∠AMF，NH平分∠CNE，MG、NH相交于點(diǎn)O，求證：MG⊥NH（證明過(guò)程略）。

根據(jù)圖8，用對(duì)應(yīng)的符號(hào)語(yǔ)言說(shuō)出條件和結(jié)論，學(xué)生可以概括出命題“兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相垂直”。

4? ?結(jié)語(yǔ)

綜上所述，抓好幾何語(yǔ)言是平面幾何教學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好平面幾何，有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力，更好地發(fā)展學(xué)生合情推理、演繹推理的能力，也為立體幾何的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。從七年級(jí)開始，教師就要不斷地探索幾何語(yǔ)言的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)的幾何語(yǔ)言基本功，帶領(lǐng)學(xué)生感受平面幾何的美。

參考文獻(xiàn)：

[1] 高一子.基本圖形在平面幾何中的教學(xué)運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2015（6）：38.

[2] 楊裕前.平面幾何入門教學(xué)[M].江蘇：江蘇教育出版社，1988：66.

[3] 謝一平.淺談幾何入門的語(yǔ)言教學(xué)和推理論證教學(xué)[J].中學(xué)生數(shù)理化：學(xué)研版，2013（5）：50.